章末检测(六)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

章末检测(六) (时间:120分钟,满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a=(1,2,-1),则=(　　) A.　　　　　　　　　　B.2 C. D. 解析:==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 2.已知向量a=,b=,若a∥b,则x=(　　) A.-1 B.1 C.-5 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 解析:因为a=,b=且a∥b, 所以a=tb,即=t,所以解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.在空间四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,则 -(+)=(　　) A.- B. C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析:在空间四边形ABCD中,E为BC的中点,则+=2, 所以-(+)=-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2),平面α的法向量为n=(2,2,4),则(　　) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交 解析:因为n=(2,2,4),a=(1,1,2),故可得n=2a,即n∥a,则直线l⊥α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 5.已知A,B,C,则向量在上的投影向量的坐标是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:因为A,B,C, 所以=,=, 所以==,==, ·=×1+2×1+0×2=1, 所以向量在上的投影向量是··=·==, 所以向量在上的投影向量的坐标是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.如图,已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分别为AB,CD1,AD的中点,则异面直线A1G与EF所成角为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:如图分别以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则A1(2,0,2),G(1,0,0),E(2,1,0),F(0,1,1), 所以=(-1,0,-2),=(-2,0,1), 设异面直线A1G与EF所成角为θ, 则cos θ===0, 所以异面直线A1G与EF所成角为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=λ(0<λ<1), =μ(0<μ<1),若MN∥平面AA1C1C,则线段MN的长度的最小值为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:如图,连接DN,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),B(1,1,0), 依题意,=λ=λ(1,0,1)=(λ,0,λ), =+=+μ=(0,1,0)+μ(0,-1,1)=(0,1-μ,μ), 于是,=-=(-λ,1-μ,μ-λ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又DB⊥AC,CC1⊥平面ABCD,DB⊂平面ABCD,则CC1⊥BD, 又CC1∩AC=C,CC1,AC⊂平面ACC1A1,故BD⊥平面ACC1A1, 故平面AA1C1C的法向量可取为n==(1,1,0), 因为MN∥平面AA1C1C,所以·n=-λ+1-μ=0,即λ+μ=1. 则||2=λ2+(1-μ)2+(μ-λ)2=2λ2+(1-2λ)2 =6λ2-4λ+1=6+, 因为0<λ<1,所以当λ=时,||min=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是(　　) A.AC1=12 B.直线BD1与AC所成角的正弦值为 C.向量与的夹角是60° D.AC1⊥平面CB1D1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:由题意可得===6,·=·=·=6×6×=18, 又=++,则|| = ===6,所以AC1=6,故A错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由于=+-,=+, 则||=|+-|= ==6,||=|+|===6, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又·=(+-)·(+)=·+·-++·-·=36, 则cos<,>===,所以sin<,>=,故B错误; 由于BB1∥AA1 ,所以向量与的夹角即为与的夹角, 由于==6,∠CBB1=60°,所以△CBB1是等边三角形,故∠BB1C为60°, 进而与的夹角为∠BB1C的补角,故与的 夹角为120°,故C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可得=,=, ·=·=·++·-·-·-=0, ·=·=·++·-·-·-=0, 所以,,即AC1⊥B1C,AC1⊥B1D1,又B1C∩B1D1=B1,B1C,B1D1⊂ 平面CB1D1 , 所以AC1⊥平面CB1D1,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'=2AB=4AD=4,C'D与CD'交于点P,以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A.点A'的坐标为 B.点P的坐标为 C.= D.= 答案:AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析:由题意可得A',P,B'(1,2,4),D',A(1,0,0),B, 所以=,=,故C,D错误,A,B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱B1C1,B1B的中点,则下列结论正确的为(　　) A.=2 B.·=0 C.=2 D.不是平面ACD1的一个法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BD 解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,F. 对于A选项,=(-2,0,2),=,则=-2,故A错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于B选项,=,=,则·=4-4=0,故B正确; 对于C选项,=,故==3,故C错误; 对于D选项,·=-4+2≠0,故不是平面ACD1的一个法向量,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是平面A1B1C1D1和平面CDD1C1的中心,则下列结论正确的是( 　　) A.与,共面 B.直线BC1与CD1所成的角为 C.平面AEF与平面ABCD夹角的正弦值为 D.若正方体棱长为2,则点A到直线BF的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ACD 解析:对于A,由于=,而与,显然是共面向量,所以与,共面,故A正确; 对于B,因为CD1∥BA1,所以异面直线BC1与CD1所成的角就是∠A1BC1, 而在三角形A1BC1中,由正方体和各面对角线长相等,可知它是等边三角形, 所以∠A1BC1=,即直线BC1与CD1所成的角为, 故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C,如图建系.设正方体的棱长为2,可知:A,E(1,1,2),F, 则=,=,设平面AEF的法向量为n=, 则⇒令z=1,则x=-1,y=-3, 即n=, 而平面ABCD的法向量可以取y轴方向上的单位向量m=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则cos<n,m>===, 即sin<n,m>==, 所以平面AEF与平面ABCD夹角的正弦值为,故C正确; 对于D,因为=(-2,1,1),=(-2,-1,1),设与的夹角为θ,则cos θ==, 所以sin θ=,所以点A到直线BF的距离d=||sin θ=×=.故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.在空间直角坐标系中,点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B,则·=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:在空间直角坐标系中,可得点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B(2,1,3), 则=(2,-1,3),=(2,1,3),所以·=(2,-1,3)·(2,1,3)=12. 13 14 15 16 17 18 19 13.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成 角的正弦值等于　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 解析:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2, 则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2), 则=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥, 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ, 则sin θ=|cos<n,>|==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等,点M,P,N分别是棱 AA1,BB1,BC的中点,则二面角P-A1C1-B1的正弦值为　　　　,异面直线 MN与PC1所成的角的余弦值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析:取A1B1的中点O,连接C1O,则在正三棱柱ABC-A1B1C1中,C1O⊥平面ABB1A1, 四边形ABB1A1为正方形,以O为坐标原点, 建立如图空间直角坐标系, 平面A1B1C1的一个法向量为m=,不妨设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2, 则A1,C1,P,=(-1,0,),=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设平面A1PC1的一个法向量为n=, 则即取z=1,则x=,y=2,n=, cos<m,n>===,sin<m,n>==, 所以二面角P-A1C1-B1的正弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 M,N, =,=, cos<,>== ==, 所以异面直线MN与PC1所成的角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知空间三点A,B,C(-3,2,3),设a=,b=. (1)求,; (2)求a与b的夹角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)由题意,a==,b==, 所以==2,= =. (2)由(1)可知cos<a,b>===-, 又<a,b>∈,所以<a,b>=,即a与b的夹角为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1. (1)求证:A1C⊥平面ABC1; (2)求直线A1B与AC1所成角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)证明:由题意以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=1,则AB=AC=AA1=1, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),A1(0,0,1), 所以=(0,1,-1),=(1,0,0),=(0,1,1), 所以·=0,·=1-1=0, 所以,,即A1C⊥AB,A1C⊥AC1. 又因为AB∩AC1=A,AB⊂平面ABC1,AC1⊂平面ABC1, 所以A1C⊥平面ABC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解:由(1)知,=(1,0,-1),=(0,1,1),所以=,=,·=-1, 设直线A1B与AC1所成角为θ,则 cos θ===, 故直线A1B与AC1所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,侧棱长为3,E为棱CC1上靠近C的三等分点,F在棱AA1上靠近点A1的三等分点. (1)求证:点B,E,F,D1共面; (2)求点D1到EF的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)证明:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图, 由已知可得:B,E(0,2,1),D1,F, 所以=,=,所以=,即向量,共线, 所以点B,E,F,D1共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解:由(1)可得:=,=, 设向量,的夹角为θ,则·=·cos θ, 所以==1,又==, 所以点D1到直线EF的距离d===2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=2,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=90°,AB=2,CD=AD=1,N是PB的中点,点M,Q分别在线段PD与AP上,且=λ,=μ. (1)若平面MNQ∥平面ABCD,求λ,μ的值; (2)若MQ∥平面PBC,求的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)若平面MNQ∥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,平面PAB∩平面MNQ=QN,所以QN∥AB, 又因为N为PB的中点,所以Q为PA的中点,同理M为PD的中点,所以λ=μ=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)因为∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD, 如图,以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 故P,B(0,2,0),C,D,则=,=(1,1,-2), 设平面PBC的法向量为t=,则 取y=1,可得t=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为=λ,=μ,所以M,Q, 则=, 因为MQ∥平面PBC,所以⊥t,即·t=0, 所以×1+0×1+×1=0,即-=0, 所以=0,所以μ=1+2λ, 所以==4λ++4≥2+4=8, 当且仅当4λ=,即λ=时取等号,所以的最小值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)如图,圆台的下底面圆的直径为AB,圆台的上底面圆的直径为PQ,C是弧AB上一点,且PA=AC=PC=BC=2,PB=2. (1)求证:PQ⊥AC; (2)若M是线段Q上一动点,求直线AP与平面BCM所成角的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)证明:如图,取AC的中点E,连接PE,O1E,O1O2, ∵PC=BC=2,PB=2,∴PC2+BC2=PB2,∴PC⊥BC, 又∵C是以AB为直径的圆上一点,∴BC⊥AC, ∵AC∩PC=C,PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, ∴BC⊥平面PAC,∵PE⊂平面PAC,∴PE⊥BC, 又∵PA=PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC, ∵AC∩BC=C,AC⊂平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴PE⊥平面ABC, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 在圆台O1O2中,O1O2⊥平面ABC, ∴PE∥O1O2,又∵在圆台O1O2中,圆O1∥圆O2, ∴PE=O1O2,∴四边形O1O2PE为平行四边形, ∴PO2∥O1E且PO2=O1E, 在Rt△ACB中,O1为AB的中点,E为AC中点, ∴O1E∥BC,又∵BC⊥AC,∴O1E⊥AC,又∵PO2∥O1E, ∴PQ⊥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解:以为正交基底建立空间直角坐标系, A(1,0,0),C(-1,0,0),B(-1,2,0),O1(0,1,0),P(0,0,),O2(0,1,), ∵=,∴Q(0,2,), 设=λ(0≤λ≤1),则M(0,λ+1,λ), =(0,-2,0),=(1,λ+1,λ), 设平面BCM的法向量为n=(x,y,z), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 取z=1,则n=(-λ,0,1),=, 设直线AP与平面BCM所成角为θ,则 sin θ=== = = , 令t=3λ+1,∵0≤λ≤1,∴1≤t≤4, 令f(t)=,t∈, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵函数y=t+在上单调递减,在上单调递增, ∴4≤t+≤5,∴2≤t+-2≤3,∴≤≤1,则1≤≤, ∴f(t)=的取值范围为, 即sin θ∈,又θ∈,所以θ∈, ∴直线AP与平面BCM所成角的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$