午练13 二项分布与超几何分布-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

午练13　二项分布与超几何分布 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4．某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个(不要求每个城市必须要有学生选择).若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8．一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为________，方差为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 60 96 解析：设该学生在这次数学测验中选择正确的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y， 则Y＝4X. 由题意知X～B(25，0.6)， 所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6， E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96， 所以该学生在这一次测验中的成绩的均值为60，方差为96. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题 9．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生佩戴眼镜，那么，他佩戴的是角膜塑形镜的概率是多大？ (2)从这8名佩戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的概率分布； (3)若将样本的频率当作估计总体的概率，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的均值和方差． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以男生人数X的概率分布为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3)由已知可得Y～B(20，0.08)， 则E(Y)＝20×0.08＝1.6，D(Y)＝20×0.08×0.92＝1.472. 则佩戴角膜塑形镜的人数Y的均值是1.6，方差是1.472. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题 1．已知离散型随机变量X服从二项分布X～B，则P＝(　　) A．　 　　B．　 　　C．　 　　D． 解析：因为X～B，所以P＝C×3＝. 2．现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为ξ，已知P＝，则本次测试的不合格率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析：设10名学生中有n名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为ξ， 由P＝，得＝，化简得n＝6×3×7，解得n＝3， 即本次测试的不合格率为×100%＝30%. 3．已知20道试题中有8道选择题，甲无放回地依次从中抽取5道题，乙有放回地依次从中抽取5道题，甲、乙每次均抽取一道试题，抽出的5道题中选择题的道数分别为ξ1，ξ2，ξ1，ξ2的期望分别为E，E，方差分别为D，D，则(　　) A．E＝E，D<D B．E＝E，D>D C．E<E，D<D D．E<E，D>D 解析：由题意可知，ξ1的可能取值为0，1，2，3，4，5，ξ2的可能取值为0，1，2，3，4，5， 随机变量ξ1服从超几何分布，随机变量ξ2服从二项分布， 根据超几何分布的均值、方差公式得 n＝5，N＝20，M＝8，即E(ξ1)＝2， D(ξ1)＝. 根据二项分布的均值、方差公式得 n＝5，p＝＝，即E(ξ2)＝np＝5×＝2， D(ξ2)＝np(1-p)＝5××＝， 所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2). 解析：设有X个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率P＝＝， 则X～B， 设有k个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则 即 即 解得≤k≤， 又k∈N*，所以k＝7， 所以有7个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 二、多选题 5．从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则(　　) A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有CC种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为1- C．抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1- D．抽出的产品中次品数的数学期望为 解析：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件次品， 则合格品的取法有C种，次品的取法有C种， 则恰好有1件是次品的取法有CC种取法，则A正确； 抽出的3件产品中至多有1件是次品，用间接法分析： 在100件产品中任选3件，有C种取法，其中有2件是次品的取法有CC种， 则抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有C-CC种取法，抽出的产品中至多有1件是次品的概率为1-，B不正确； 在100件产品中任选3件，有C种取法，其中全部为合格品的取法有C种， 则抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有C-C种取法，抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1-，C正确； 抽出的产品中次品数X服从超几何分布，数学期望为n×＝3×＝，D正确． 6．若随机变量X～B，下列说法中正确的有(　　) A．P＝C B．期望E＝ C．期望E＝3 D．方差D＝4 解析：因为随机变量X～B，则P＝C24，E＝6×＝2， D＝6××＝， 由期望的性质可得E＝2E-1＝2×2-1＝3， 由方差的性质可得D＝4D＝4×＝，故A，C正确，B，D错误． 三、填空题 7．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为_______． 解析：设有白球x个，因为从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是， 所以＝＝1-，解得x＝5或x＝14(舍去). 解：(1)根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B， 则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB， P(A)＝＝0.24，P(AB)＝＝0.08， 故所求的概率为P(B|A)＝＝＝， 所以从样本中选一位学生，已知这位小学生佩戴眼镜，则他佩戴的是角膜塑形镜的概率是. (2)依题意知，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生， 故从中抽取3人，男生人数X的所有可能取值为0，1，2， 其中P(X＝0)＝＝＝； P(X＝1)＝＝＝； P(X＝2)＝＝＝. X 0 1 2 P $$