午练5 空间距离的计算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

午练5　空间距离的计算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 解析：∵AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E， ∴FC1∥平面AB1E， 直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离， 如图，以D点为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、填空题 7．在长方体OABC-O1A1B1C1中，若OA＝2，AB＝3，AA1＝2，则点O1 到直线AC的距离为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8．长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内，其余顶点均在平面α的同侧，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，若顶点B到平面α的距离为2，顶点D 到平面α的距离为2，则顶点A1到平面α的距离为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题 9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题 1．已知A，B，C，则点A到直线BC的距离为(　　) A．2　　　　　　　　　 B． C．4 D． 解析：由题意可得，＝，＝，则在上的投影为＝＝，则点到直线的距离为 ＝ ＝. 2．已知A是平面α内一点，n＝是平面α的法向量，若点P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(　　) A． B． C． D．2 解析：由题意得＝，故点P到平面α的距离d＝＝＝. 3．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．直线FC1到平面AB1E的距离为(　　) A． B． C． D． 则A，B1，C1，E，F(2，2，1)， ＝，＝，＝，＝， 设平面AB1E的法向量为n＝， 则 令z＝2，则n＝， 设点C1到平面AB1E的距离为d， 则d＝＝＝， 故直线FC1到平面AB1E的距离为. 4．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．则直线AC到平面PEF的距离为(　　) A．2 B． C． D． 解析：以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示． 则P(0，0，1)，A(1，0，0)，E，F， ＝，＝. 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)， 因为＝，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，所以AC∥平面PEF，所以AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，为. 二、多选题 5．在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，设P(0，t，0)， 所以＝，＝，＝(0，3，0)， 设n＝为平面AD1P的法向量， 则令y＝3，可得n＝(t，3，t)， 则点B到平面AD1P的距离为d＝＝， 因为0<t<3，所以2t2＋9∈，所以d∈(，3). 6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离为 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 解析：如图，建立空间直角坐标系， 则A，B， D，A1，C1，D1，E， 所以＝，＝. 设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝， sin θ＝ ＝. 故A到直线BE的距离d1＝sinθ＝1×＝，故A正确； 易知＝＝， 平面ABC1D1的一个法向量＝， 则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确； ＝，＝，＝. 设平面A1BD的法向量为n＝， 则所以 令z＝1，得y＝1，x＝1， 所以n＝， 所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝. 因为平面A1BD∥平面B1CD1， 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为，故C错误； 因为＝＋＋1， 所以＝. 又＝，则＝， 所以点P到AB的距离d4＝ ＝＝，故D错误． 解析：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)， ∴＝(-2，0，2)，＝(-2，3，0)， 记φ＝〈，〉， ∴cos φ＝＝＝， ∴sin φ＝ ＝， ∴点O1到直线AC的距离d＝||·sinφ＝2×＝. 解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，A1(0，0，5)， 所以＝(3，0，0)，＝(0，4，0)，＝(0，0，5)， 设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由题意可得解得 所以顶点A1到平面α的距离为＝＝. 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3). 设F(0，0，z). 由题意得四边形AEC1F为平行四边形， ∴＝，∴(-2，0，z)＝(-2，0，2)， ∴z＝2，∴F(0，0，2). ∴＝(-2，-4，2)， ∴||＝2，即BF的长为2. (2)设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，由(1)可知＝(0，4，1)，＝(-2，0，2)， 则⇒ 令x＝1，则z＝1，y＝-，∴n＝. 又＝(0，0，3)，∴点C到平面AEC1F的距离d＝＝＝. $$