午练3 空间向量与线面的位置关系-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

午练3　空间向量与线面的位置关系 一、单选题 1．已知A(0，1，1)，B(-1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为(　　) A．(0，1，-1)　　　　　　 B．(-1，0，1) C．(1，1，1) D．(-1，0，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2．若直线l的方向向量为a＝(1，-2，3)，平面α的法向量为n＝(-3，6，-9)，则(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l⊂α D．l与α位置关系不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 解析：由于直线l的方向向量为a＝(1，-2，3)，平面α的法向量为n＝ (-3，6，-9)， 由于n＝-3a，所以直线l与平面的法向量共线，所以l⊥α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3．已知直线l的一个方向向量为a＝(m，1，3)，平面α的一个法向量为b＝(-2，n，1)，下列结论正确的是(　　) A．若l∥α，则2m＋n＝3 B．若l⊥α，则2m-n＝3 C．若l∥α，则mn＋2＝0 D．若l⊥α，则mn＋2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 解析：当a，b不共线时，由c·a＝0且c·b＝0，可推出l⊥α，当a，b为共线向量时，由c·a＝0且c·b＝0，不能够推出l⊥α，所以c·a＝0且c·b＝0不是l⊥α的充分条件； 若l⊥α，则一定有c·a＝0且c·b＝0，所以c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的必要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题 9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2.在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在线段PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：由题＝(-1，0，0)，＝(1，-1，-1)， 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z), 可得即所以 选项A中向量(0，1，-1)符合题意． 解析：直线l的一个方向向量为 a＝(m，1，3)，平面α的一个法向量为b＝(-2，n，1)， 对于A，若l∥α，则 a·b＝-2m＋n＋3＝0，∴2m-n＝3，故A错误； 对于B，若l⊥α，则 a∥b，即＝＝，解得m＝-6，n＝， ∴2m-n＝-，故B错误； 对于C，若l∥α，则 a·b＝-2m＋n＋3＝0， 则n＝2m-3，∴mn＋2＝2m2-3m＋2＝22＋≥，故C错误； 对于D，若l⊥α，则 ＝＝，解得m＝-6，n＝， 则mn＋2＝0，故D正确． 二、多选题 5．设两条不同直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个不同平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，下列命题正确的是(　　) A．若e1∥e2，则l1∥l2 B．若e1∥n1，则l1⊥α1 C．若e1⊥n1，则l1∥α1 D．若α1，α2的夹角为60°，则cos 〈n1，n2〉＝ 解析：对于A，两条不同的直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，当e1∥e2时，l1∥l2，故选项A正确； 对于B，直线l1的方向向量为e1，平面α1的法向量为n1，当e1∥n1时，l1⊥α1，故选项B正确； 对于C，当e1⊥n1时，l1∥α1或l1⊂α1，故选项C错误； 对于D，若α1，α2的夹角为60°，则cos 〈n1，n2〉＝或cos 〈n1，n2〉＝-，故选项D错误． 6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝，＝，＝，下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP∥BD C．AP⊥平面ABCD D．四边形ABCD为矩形 解析：由题意可知，， 都是非零向量， 对于A，·＝-1×2＋2×＋×＝0，即AP⊥AB，故A正确； 对于C，·＝-1×4＋2×2＋×0＝0，即AP⊥AD， 且AB，AD⊂平面ABCD，AD∩AB＝A， 所以AP⊥平面ABCD，故C正确； 对于B，因为AP⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AP⊥BD，故B错误； 对于D，因为·＝2×4＋×2＋×0＝6≠0，即AB，AD不垂直，故D错误． 三、填空题 7．设直线l的方向向量v＝，平面α的法向量n＝，若l⊥α，则x＝________． 解析：由l⊥α，得v∥n，则＝＝，所以x＝1. 8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝________． 解析：如图所示， 以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz.设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，可得D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(1，2，0)，N(2，1，0)， 则＝(2，2，-2)， 设＝λ，0<λ<1，所以＝λ＝(2λ，2λ，-2λ)，所以P(2λ，2λ，2-2λ)， 又＝(2λ，2λ，2-2λ)，＝(-1，0，-2)，＝(0，-1，-2)， 设平面B1MN的一个法向量n＝(x，y，z)，则有即 不妨令x＝-2，则n＝(-2，-2，1). 因为DP∥平面B1MN，所以·n＝(2λ，2λ，2-2λ)·(-2，-2，1)＝-4λ-4λ＋2-2λ＝0， 解得λ＝，即＝. 证明：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴C(0，0，0)，D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M， ∴＝(0，-1，2)，＝(2，3，0)，＝. (1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量， 则即 令y＝2，得n＝(-，2，1)， ∵n·＝-×＋2×0＋1×＝0， ∴n⊥. 又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD. (2)如图2，取AP的中点E，连接BE，则E(，2，1)，＝(-，2，1). ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵·＝(-，2，1)·(2，3，0)＝0， ∴⊥，即BE⊥DA. 又∵PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD. ∵BE⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. $$