第9章 培优微突破11 可线性化的非线性回归分析-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

培优微突破11　可线性化的非线性回归分析 第9章　统计 非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型y＝ebx＋a ①函数y＝ebx＋a的图象： ②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据一元线性回归模型的方法求出a，b. (2)对数函数型y＝b ln x＋a ①函数y＝b ln x＋a的图象： ②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据一元线性回归模型的方法求出a，b. (3)y＝bx2＋a型 处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据一元线性回归模型的方法求出a，b. [微重点] [例]　下表为收集到的一组数据： (1)已知x和y具有线性相关关系，且样本点分布在某一条指数型曲线y＝c1ec2x的周围，请根据表格数据，预报回归模型； (2)利用所得模型，预报x＝40时y的值． x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 [解]　(1)两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非经验回归方程了，数据可以转化为 x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 [微训练] 为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 求y对x的回归方程． 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 解：作出散点图如图(1)所示． 由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c. 令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a. 相应的散点图如图(2)所示． 从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合． x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 求得经验回归方程为＝0.272x－3.849， ∴＝e0.272x-3.849. (2)当x＝40时，＝e0.272×40-3.849≈1 131. 由表中数据可求得经验回归方程为＝0.69x＋1.112. 因此细菌的繁殖个数对天数的非经验回归方程为＝e0.69x+1.112. $$