第6章 培优微突破2 构建空间直角坐标系的策略-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

培优微突破2　构建空间直角坐标系的策略 第6章　空间向量与立体几何 坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法,运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系. 抓住空间几何图形的结构特征,充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据.常见的建系策略有: (1)利用共顶点的互相垂直的三条棱,构建空间直角坐标系; (2)利用线面垂直关系,构建空间直角坐标系; (3)利用面面垂直关系,构建空间直角坐标系. [微重点] [例]　如图所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点. 求证:FH∥平面EDB. [证明]　∵四边形ABCD为正方形, ∴AB⊥BC,又EF∥AB, ∴EF⊥BC. 又EF⊥FB,FB∩BC=B, ∴EF⊥平面BFC,又FH⊂平面BFC, ∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点, ∴FH⊥BC,AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABC. 以H为坐标原点,为x轴正方向,为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1). 设AC与BD的交点为G,连接GE,GH, 则G(0,-1,0),∴=(0,0,1). 又=(0,0,1),∴. 又GE⊂平面EDB,HF⊄平面EDB, ∴FH∥平面EDB. [微训练] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值. 解:如图,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz, 则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),A(0,-,0),P(0,0,), ∴E, ∴=, =(0,-,-). ∴·=0+0+×(-)=-, ||=,||=. ∴cos<,>===-. ∵异面直线所成的角为锐角或直角, ∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为. $$