第6章 培优微突破1 利用数量积证明垂直问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

培优微突破1　利用数量积证明垂直问题 第6章　空间向量与立体几何 用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可,其一般步骤为: (1)把几何问题转化为向量问题; (2)用已知向量表示所证向量; (3)结合数量积公式和运算律计算数量积; (4)将向量问题回归到几何问题. [微重点] [例]　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O是底面ABCD的中心. 求证:B1O⊥平面PAC. [证明]　不妨设正方体的棱长为1,=a,=b,=c, 则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c=0. 由题图得:=+=--=-b-c, =+=-+=a-c. =+=-c+(-a+b)=-a+b-c. ∵·=· =a·b-b2+b·c+a·c-b·c+c2, ·=· =-a2+a·b-a·c+a·c-b·c+c2, 且|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=0, ∴·=0,·=0, ∴,,∴PA⊥B1O,PC⊥B1O. 又∵PA∩PC=P,∴B1O⊥平面PAC. [微训练] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5, ∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分别为D1C1,C1B1的中点.求证:MN⊥AC1. 证明:设=a,=b,=c,则 =+=a-b, =++=a+b+c, 所以·=·(a+b+c) =a·a+a·b+a·c-b·a-b·b-b·c =×42+×42×cos 60°+×4×5×cos 60°-×42×cos 60°-×42-×4×5×cos 60° =0. 所以MN⊥AC1. $$