6.3.4 空间距离的计算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.3　空间向量的应用 6.3.4　空间距离的计算 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.　2.通过空间中距离问题的求解,体会向量方法在研究几何问题中的作用. [素养目标]　水平一:利用向量方法推导点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离公式.(数学运算、直观想象) 水平二:利用向量方法统一研究空间距离问题.(逻辑推理、数学运算) 学习引语 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,请找一找里面蕴藏了哪些距离问题? 探究活动1　点到平面的距离 内容索引 探究活动2　点到直线的距离 课时作业 巩固提升 探究活动3　直线(平面)到平面的距离 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　点到平面的距离 问题　如何求平面α外一点P到平面α的距离? 提示　如图,A为平面α内任一点,过点P作PO⊥α,垂足为O,PO的长度可理解为向量在方向上的投影向量的长度. 若P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,则点P到平面α的距离d=. 知识生成 [例1]　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离. 知识应用 [解]　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0), 所以=(0,1,0), =(-2,1,1), =(-1,-1,2). 设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,点A到平面EFG的距离为d, 则所以 所以 令z=1,此时n=(1,1,1), 所以d===, 即点A到平面EFG的距离为. 求点到平面的距离的主要方法 1.作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. 2.在三棱锥中用等体积法求解. 3.向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,PA为过点A的斜线段).　 反思感悟 1.如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点,求点D到平面PEF的距离. 跟踪训练 解:建立以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,如图所示. 则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E,F, ∴=,=,=. 设n=(x,y,z)是平面PEF的法向量, 则n·=x+y-z=0,① n·=x+y-z=0,② ①-②并整理得x-y=0. 令x=y=1,则z=. ∴n=, ∴点D到平面PEF的距离d====. 探究活动2　点到直线的距离 问题　如图,借助于向量,如何求点P到直线l的距离PO? 提示　思路一　如问题图(1),P到直线l的距离可转化为:向量在向量n上的投影向量的长度(其中A为l上任意一点,n为的方向向量). 思路二　如问题图(2),可转化为:先求向量与直线l的方向向量e的夹角φ,即φ=<,e>,再借助三角函数求解. 若P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离为d=. 设e是直线l的方向向量,记φ=<,e>,则点P到直线l的距离为d=||sin φ. 知识生成 [例2]　如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离. 知识应用 [解]　因为AB=1, BC=2,AA'=3, 所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0), 所以直线A'C的方向向量=(1,2,-3). 法一:因为=(0,2,0), 所以cos<,>=,sin<,>=, 所以点B到直线A'C的距离 d=||sin<,>=2×=. 法二:设在平面BA'C内与直线A'C垂直的向量n=(x,y,z), 则由n⊥得x+2y-3z=0. 由n与,共面可知,存在实数m,t,使得n=m+t, 即(x,y,z)=m(1,2,-3)+t(0,2,0) =(m,2m+2t,-3m), 即得z=-3x.又x+2y-3z=0, 令x=1,则y=-5,z=-3,即n=(1,-5,-3), 故点B到直线A'C的距离d== =. 用向量法求点到直线距离的步骤 1.建立适当的空间直角坐标系. 2.求所求点P与直线上某一点A所构成的向量||. 3.若已知直线的方向向量e,则利用公式||·sin<,e>求解;若已知直线的法向量n,可利用d=求解. 反思感悟 2.如图,P为矩形ABCD所在平面外的一点,PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离. 跟踪训练 解:如图,分别以AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0), ∴=(3,0,-1),=(-3,4,0). 法一:取a==(3,0,-1),设<a,>=φ, ∴cos φ==-, ∴sin φ=, ∴点P到BD的距离d=||·sin φ=. 法二:设在平面PBD内与直线BD垂直的向量n=(x,y,z),则由n⊥,得-3x+4y=0. 由n与,共面可知,存在实数m,t,使得n=m+t, 即(x,y,z)=(-3m+3t,4m,-t), 即 ∴4x+3y+12z=0, 令x=4,y=3,z=-, 即n=, 故点P到BD的距离为d= ==. 探究活动3　直线(平面)到平面的距离 1.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 2.如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 知识生成 [例3]　在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点. (1)求证:AD∥平面A1EFD1; (2)求直线AD到平面A1EFD1的距离. 知识应用 (1)[证明]　如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a),所以=(a,0,0),=(a,0,0),所以. 又D1A1⊂平面A1EFD1,DA⊄平面A1EFD1,所以DA∥平面A1EFD1. (2)[解]　由(1)得D1(0,0,a),F, 所以=,=. 设n=(x,y,z)是平面A1EFD1的法向量,则 所以 取z=1得y=,则n=, 所以点D到平面A1EFD1的距离 d===a. 所以直线AD到平面A1EFD1的距离是a. 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤 1.确定法向量. 2.选择参考向量. 3.利用公式求解.　 反思感悟 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求证:平面EGF∥平面ABD; (3)求平面EGF与平面ABD的距离. 跟踪训练 (1)证明:如图所示建立空间直角坐标系, 设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2), G. 所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2). 所以·=0+0+0=0,·=0+4-4=0. 所以,,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD. 又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD. (2)证明:由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),=,=(0,1,-1),所以=2,=2,所以,. 所以GF∥AB,EF∥BD. 又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD. (3)解:由(1)(2)知,是平面EGF和平面ABD的法向量. 因为平面EGF∥平面ABD,所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离,设为d. 因为=(0,0,3),=(0,2,2), 所以d===.即两平面间的距离为. 课堂小结 1.熟练应用一种转化思想 线面距、面面距可转化为点面距计算，线线距可转化为点线距计算. 2.熟记两个距离公式 (1)点P到直线的距离. (2)点P到平面的距离. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知空间向量=,=,则点B到直线AC的距离为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. A 解析:=,=,故在上的投影向量的模为==, 故点B到直线AC的距离为==. 2.已知平面α的一个法向量n=,点A在平面α内,则点P到平面α的距离为(　　) A.10 B.3 C. D. C 解析:由题得=, 所以P到平面α的距离为==. 3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A. B. C. D. D 解析:由正方体的性质得AB1∥DC1,D1B1∥DB, 因为AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D, 且AB1⊂平面AB1D1,D1B1⊂平面AB1D1, DC1⊂平面BDC1,DB⊂平面BDC1, 所以平面AB1D1∥平面BDC1, 则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离. 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴, 建立空间直角坐标系,如图所示. 连接A1C,由正方体的棱长为1,所以A,B,A1,C,B1,D1, 所以=,=, =,=. 由·=· =1×0+×1+1×1=0,·=·=1×+×+1×0=0, 所以⇒CA1⊥AB1,⇒CA1⊥B1D1, 且AB1∩B1D1=B1, 可知CA1⊥平面AB1D1, 得平面AB1D1的一个法向量为n==, 则两平面间的距离: d====. 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中 点,则直线MN到平面ACD1的距离为　　　　.  解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M,A(1,0,0), ∴=,=(-1,1,0),=(-1,0,1). 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z), 则即 令x=1,则y=z=1,∴n=(1,1,1). ∴点M到平面ACD1的距离d==. 又=,故MN∥平面ACD1. 故直线MN到平面ACD1的距离为. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 解析:∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1), ∴两平面间的距离d===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 解析:以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,1),C1(0,1,1), = =, 平面ABC1D1的一个法向量为=(1,0,1),点O到平面ABC1D1的距离d===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.在空间直角坐标系中,已知点A,B,D,若点D到平面ABC的距离为,则点C的坐标可以为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 解析:对于A,当C的坐标为时,设n1=为平面ABC的一个法向量, =,=,=, 所以即令y1=2,则n1=, 则点D到平面ABC的距离为d===≠,故A错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于B,当C的坐标为时,设n2=为平面ABC的一个法向量, =,=,=, 所以即令y2=1,则n2=, 则点D到平面ABC的距离为d===≠,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于C,当C的坐标为时,设n3=为平面ABC的一个法向量, =,=,=, 所以即令y3=3,则n3=, 则点D到平面ABC的距离为d===≠,故C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于D,当C的坐标为时,设n4=为平面ABC的一个法向量, =,=,=, 所以即令y4=1,则n4=, 则点D到平面ABC的距离为d===,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(多选)已知空间四点A,B,C(1,1,1),D,则下列四个结论中正确的是(　 　) A.AB⊥CD B.AD= C.点A到直线BC的距离为 D.点D到平面ABC的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ABD 解析:对于选项A: 结合题意可得=,=, 因为·=-3+1+2=0,所以AB⊥CD,故选项A正确; 对于选项B:结合题意可得AD==,故选项B正确; 对于选项C:结合题意可得=, 取a==,u==(-1,-1,0)=, 所以a2=11,a·u=2,所以点A到直线BC的距离为==, 故选项C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于选项D:结合题意可得=,=,=, 设平面ABC的法向量为n=, 则令x=1,则n=(1,-1,-2), 所以点D到平面ABC的距离为d===,故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点 P(4,3,2)到l的距离为　　　　.  解析:因为=(-2,0,-1),又n与l垂直, 所以点P到l的距离为==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑,如图.已知在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC, PA=AB=BC=2,M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析:以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系, 如图,则B(0,0,0),A(2,0,0),P(2,0,2),C(0,2,0),由M为PC的中点可得M(1,1,1). 所以=(1,1,1),=(2,0,0), =(2,0,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设n=(x,y,z)为平面ABM的一个法向量, 则 即 令z=-1,可得n=(0,1,-1),点P到平面MAB的距离为d==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [B组　关键能力练] 7.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1=4,则点C到直线AB1的距离为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 解析:如图,取AC的中点O,取A1C1中点D,连接OD,则OD⊥平面ABC, 连接OB,因为△ABC是等边三角形, 所以OB⊥AC, 因为OB,AC⊂平面ABC, 所以OB,AC,OD两两垂直, 所以以O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为AB=BB1=4,所以AO=OC=2,OB==2,BB1=2, 故A,B(2,0,0),C,B1(2,0,2), =,=(2,2,2), 点C到直线AB1的距离为 d===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.(多选)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为B1C1边的中点,点P在底面ABCD内运动(包括边界),则下列说法正确的有(　　) A.不存在点P,使得D1P⊥AD1 B.点B到平面ACM的距离为 C.点A1到直线AM的距离为1 D.点N在棱BB1上,且B1N=4NB,若D1P⊥NP,则点P的轨迹是圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB 解析:如图,连接AD1,D1P,AM,MC,AC,PN,以D为原点,DA,DC,DD1所以直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A,C,D1,M,B1,A1(1,0,1),B,设P, 对于A:=,=,则·=x+1≠0,所以D1P与AD1不垂直, 即不存在点P,使得D1P⊥AD1,故A正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于B:=,=,=,设平面ACM的法向量为n=, 则取b=2,则n=, 则点B到平面ACM的距离d==,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于C:=,所以点A1到直线AM的距离= =,故C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于D,因为B1N=4NB,所以N,=, 因为D1P⊥NP,所以·=0, 即x(x-1)+y(y-1)+=0,可得轨迹为圆:+=, 所以圆心,r=>=, 又x,y∈[0,1],所以轨迹为圆+=被四边形ABCD截得的4段圆弧,所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形, AB=2,CC1=2,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的 距离为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2),= (-1,-1,0). 直线BD与EF之间的距离即为点D到直线EF的距离. 由题意知=(0,1,2),设<,>=θ, 则cos θ==-, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴sin θ=, ∴d=||sin θ=3×=. 即直线BD与EF之间的距离为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解:假设存在点E满足题意.以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),=(0,0,2), =(2,-2,2). 设=λ,λ∈(0,1), 则E(2λ,2-2λ,2λ), =(-2,0,1), =(2λ-2,2-2λ,2λ), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设n=(x,y,z)为平面AED的一个法向量, 则⇒ 取x=1,则y=,z=2, 即n=为平面AED的一个法向量. 由于点A1到平面AED的距离d= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =,所以=, 又λ∈(0,1),所以λ=. 故存在点E,且当点E为A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$