6.3.2 第2课时 空间向量与垂直关系-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.3　空间向量的应用 6.3.2　空间线面关系的判定 第2课时　空间向量与垂直关系 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.　2.能利用直线的方向向量与平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系. [素养目标]　水平一:利用向量的方法解决线线、线面、面面的垂直关系.(数学建模) 水平二:利用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面垂直.(数学建模、逻辑推理) 学习引语 神奇的大自然中处处充满着奇妙的东西,许多我们以为熟悉的事物也并不完全是想象中的样子.比如,那个会跟着我们到处跑的影子,随着人不停跑动,这个影子忽前忽后、忽左忽右,但无论怎样,人始终与地面上的影子相交于一点,并始终保持垂直.把地面抽象成平面α,站直的人抽象成直线l,直线l与平面α的位置关系是什么?直线l的方向向量u与平面α的法向量v有什么关系? 探究活动1　直线和直线垂直 内容索引 探究活动2　直线与平面垂直 课时作业 巩固提升 探究活动3　平面与平面垂直 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　直线和直线垂直 问题　如图,直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,直线l1,l2垂直时,e1,e2之间有什么关系? 提示　垂直. 设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1=(a1,a2,a3),e2=(b1,b2,b3),则l1⊥l2⇔e1⊥e2⇔e1·e2=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 知识生成 温馨提醒　1.两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直. 2.基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. [例1]　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点,求证: (1)BD1⊥AC; (2)BD1⊥EB1. 知识应用 [证明]　建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,B1(1,1,1). (1)∵=(-1,-1,1),=(-1,1,0), ∴·=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0, ∴,∴BD1⊥AC. (2)∵=(-1,-1,1),=, ∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0, ∴, ∴BD1⊥EB1. 利用向量法证明线线垂直的方法,用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要思路是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法如下: (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出其数量积为0即可. (2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积运算说明两向量的数量积为0.　 反思感悟 1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求证: AC⊥BC1. 跟踪训练 证明:∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边AC=3,BC=4,AB=5,∴CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,∴AC,BC,C1C两两垂直. 如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0), ∵=(-3,0,0),=(0,-4,4), ∴·=0,∴AC⊥BC1. 探究活动2　直线与平面垂直 问题　如图,设e是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,当直线l垂直平面α时,e,n之间有什么关系? 提示　平行(共线). 设直线l的方向向量为e=(a1,b1,c1),平面α的法向量为n=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔e∥n⇔e=kn⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k∈R). 知识生成 [例2]　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点. 求证:EF⊥平面B1AC. 知识应用 [证明]　法一:设正方体的棱长为2,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2). ∴=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2), =(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0). ∴·=(-1,-1,1)·(0,2,2)= (-1)×0+(-1)×2+1×2=0. ·=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0, ∴,,∴EF⊥AB1,EF⊥AC. 又AB1∩AC=A,∴EF⊥平面B1AC. 法二:同法一得=(0,2,2),=(-2,2,0),=(-1,-1,1). 设平面B1AC的法向量n=(x,y,z), 则·n=0,·n=0, 即取x=1,则y=1,z=-1, ∴n=(1,1,-1),∵=-n,∴∥n,∴EF⊥平面B1AC. 利用向量法证明线面垂直 1.基向量法,具体步骤如下: (1)设出基向量,用基向量表示出直线的方向向量; (2)找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示; (3)分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积; (4)由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直. 反思感悟 2.坐标法,具体方法如下: 方法一:①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示; ④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积; ⑤由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直. 方法二:①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求平面的法向量; ④说明平面的法向量与直线的方向向量平行. 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC. 跟踪训练 证明:如图,以D为坐标原点,DC,DA,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,C(1,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),B1(1,1,2), =(1,0,-1),=(0,1,-1), =(1,1,1),=(0,-1,-2), =(-1,0,-2). ·=(1,1,1)·(1,0,-1)=0, 所以,即PB1⊥PC. 又·=(1,1,1)·(0,1,-1)=0. 所以,即PB1⊥PA. 又PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,所以PB1⊥平面PAC. 探究活动3　平面与平面垂直 问题　设n1,n2分别是平面α,β的法向量,当平面α垂直于平面β时,n1,n2之间有什么关系? 提示　垂直. 设平面α1的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面α2的法向量为n2=(a2,b2,c2),则α1⊥α2⇔n1⊥n2⇔n1· n2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 温馨提醒　若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直. 知识生成 [例3]　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点. 求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C. 知识应用 [证明]　由题意得AB,BC,B1B两两垂直,以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E,则=(0,0,1), =(-2,2,0),=(-2,2,1),=. 设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则即 令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0). 设平面AEC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则即 令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴n2=(1,-1,4). ∴n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0, ∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.　 反思感悟 3.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1. 跟踪训练 证明:法一:如图,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),C1(0,1,). ∵D为BC的中点,∴D点坐标为(1,1,0), ∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0), ∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0, ·=0×(-2)+0×2+×0=0, ∴,,∴BC⊥AD,BC⊥AA1. 又A1A∩AD=A,A1A,AD⊂平面A1AD,∴BC⊥平面A1AD. 又BC⊂平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 法二:同法一建系后,得=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,). 设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1), 平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2). 由得令y1=-1,则x1=1,z1=0, ∴n1=(1,-1,0). 由得 令y2=1,则x2=1,z2=,∴n2=. ∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2, ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 课堂小结 1．知识清单 (1)直线与直线垂直的向量表示． (2)直线与平面垂直的向量表示． (3)平面与平面垂直的向量表示． 2．方法归纳 转化法、法向量法． 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知平面α,β的法向量分别为a=,b=,则这两个平面的位置关系为(　　) A.平行　　　　　　　　 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.不能确定 C 解析:因为a=,b=, 所以a·b=1×5+×+2×=0, 则a⊥b,所以α⊥β. 2.设平面α和β的法向量分别为m=(1,2,-3),n=(-2,k,6).若α⊥β,则k=(　　) A.4 B.-4 C.10 D.-10 解析:因为α⊥β, 所以m·n=-2+2k-18=0,解得k=10. C 3.设直线l的方向向量为m=,平面α的一个法向量为n=,若直线l⊥平面α,则实数z的值为　　　　.  解析:由题意可知m∥n, 所以==,解得z=-1. -1 4.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是　　　　.  垂直 解析:以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系(图略), P(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,0),C(0,1,0), 则E,F,∴=, 易得平面PBC的一个法向量n=(0,1,1). ∵=-n,∴∥n,∴EF⊥平面PBC. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知两直线的方向向量为a,b,则下列选项中能使两直线垂直的为(　　) A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0) B.a=(0,1,0),b=(1,0,1) C.a=(0,1,-1),b=(0,-1,1) D.a=(1,0,0),b=(-1,0,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:因为a=(0,1,0),b=(1,0,1),所以a·b=0×1+1×0+0×1=0,所以a⊥b.故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.平面α的法向量为,平面β的法向量为,若α⊥β,则k=(　　) A.-2　　　　　　　　　 .2 C.1 D.-1 解析:因为α⊥β,所以3×+1×1+×k=0,解得k=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 3.已知直线l的方向向量是a=(3,2,1),平面α的法向量是u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是(　　) A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α 解析:因为a·u=-3+4-1=0, 所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),因为=(-1,0,-2),=(-2,0,1),因为·=0,所以直线NO,AM的位置关系是异面垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)已知e为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合,直线l不在平面α,β内),那么下列说法中正确的有(　　) A.n1∥n2⇔α∥β B.n1⊥n2⇔α⊥β C.e∥n1⇔l∥α D.e⊥n1⇔l⊥α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AB 14 解析:∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴A,B正确;直线l的方向向量平行(垂直)平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴C,D都错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是(　　) A.若两条不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2 B.若直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),则l⊥α C.若两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β D.若直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),则l∥α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 14 解析:对于A,两条不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),且b=-a, 所以l1∥l2,选项A正确; 对于B,直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),且a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0, 所以l∥α或l⊂α,选项B错误; 对于C,两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),且u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,选项C正确; 对于D,直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),且u=-a, 所以l⊥α,选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线l与平面α的位置关系为　　　　;若a=(-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关系为　　 　　.  解析:当a=(1,1,2)时,a=n,则l⊥α; 当a=(-1,-1,1)时,a·n=(-1,-1,1)·(2,2,4)=0,则l∥α或l⊂α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 l⊥α l∥α或l⊂α 14 8.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=,则n的坐标为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (-2,4,1)或(2,-4,-1) 14 解析:根据题意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2). 设n=(x,y,z), ∵n与平面ABC垂直, ∴即 可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵|n|=,∴=, 解得y=4或y=-4. 当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1. ∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.如图,在三棱锥 P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,E,F,M分别为AP,AC,PB的中点,PA=AB=BC=1.求证: EF⊥AM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明:以A为原点,AB为x轴,过A且与BC平行的直线为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图. 则由题意得A,P(0,0,1),C,B, E,F, M, =,=, ∴·=×+0+×=0,即, ∴EF⊥AM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.如图,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB=2,M,N分别为AB,PC的中点.求证:MN⊥平面PCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明:如图,因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,所以以,,分别为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系. 又PA=AB=2,M,N分别为AB,PC的中点, 则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0), M(1,0,0),N(1,1,1), 于是,=(0,1,1),=(0,-2,2),=(2,0,0),不妨设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则有令y=1,故可取n=(0,1,1). 因为∥n,所以MN⊥平面PCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中点,M是棱AA1上一点,且平面MBD⊥平面OC1D1,则=(　　) A. B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, B,D,O,D1(0,0,1),C1, 设M,0≤t≤1,平面OC1D1的法向量为m=, 则·m=·=-x+y+z=0, ·m=·=-x-y+z=0, 解得y=0,令z=1得x=2, 则m=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设平面MBD的法向量为n=, 则·n=·=a+b=0, ·n=·=a+ct=0, 令c=1,则a=-t,b=t, 故n=, 由题意得m·n=·=-2t+1=0, 解得t=,故=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(　　) A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.和AC,MN都不垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a). ∴=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0), ∴·=0,·=0, ∴OM⊥MN,OM⊥AC.OM和AA1显然不垂直. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4), =(4,2,0),=(-1,2,-1),给出下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量. 其中正确的结论是　　　　(填序号).  13 ①②③ 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:∵·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴,则AP⊥AB. ∵·=4×(-1)+2×2+0=0, ∴,则AP⊥AD. 又AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD, 故是平面ABCD的一个法向量. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ. (2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ). =(-2,0,2),=(-1,0,λ). 当λ=1时,=(-1,0,1), 因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP. 而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ, 故直线BC1∥平面EFPQ. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:存在. 由(1)知=(1,1,0),=(-1,0,λ). 设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z), 由可得 于是可取n=(λ,-λ,1). 同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1). 若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.故存在λ=1±, 使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角. 13 14 $$