6.3.2 第1课时 空间向量与平行关系-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.3　空间向量的应用 6.3.2　空间线面关系的判定 第1课时　空间向量与平行关系 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.　2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. [素养目标]　水平一:利用向量的方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(数学建模) 水平二:利用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面平行.(数学建模、逻辑推理) 学习引语 在“立体几何初步”一章中,我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系? 探究活动1　直线和直线平行 内容索引 探究活动2　直线与平面平行 课时作业 巩固提升 探究活动3　平面与平面平行 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　直线和直线平行 问题　由直线与直线的平行关系,可以得到直线的方向向量具有什么关系? 提示　平行. 设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1=(a1,b1,c1),e2=(a2,b2,c2),则l1∥l2⇔e1∥e2⇔e1=λe2⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R). 知识生成 温馨提醒　1.此处不考虑线线重合的情况. 2.证明线线平行的两种思路: (1)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明. (2)建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示. [例1]　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点. 求证:PQ∥RS. 知识应用 [证明]　法一:以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1), =(-3,2,1),=(-3,2,1), 所以=,所以. 又RS,PQ不共线,所以PQ∥RS. 法二:=+=-+, =+=+-, 所以=,所以, 又RS,PQ不共线,所以PQ∥RS. 证明两直线平行的方法 1.平行直线的传递性. 2.基向量法,分别取两条直线的方向向量m,n,证明m∥n,即m=λn. 3.坐标法,建立空间直角坐标系,把直线的方向向量用坐标表示,如m1=(x1,y1,z1),m2=(x2,y2,z2),即证明m1=λm2,即x1=λx2,y1=λy2且z1=λz2.　 反思感悟 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形. 跟踪训练 证明:如图所示,以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz,则,,,分别为直线AE,FC1,EC1,AF的方向向量,不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F, ∴=, =, =, =, ∴=,=,∴,, 又∵F∉AE,F∉EC1, ∴AE∥FC1,EC1∥AF, ∴四边形AEC1F是平行四边形. 探究活动2　直线与平面平行 问题　如图,直线l与平面α平行,e是直线 l 的方向向量,n是平面α的法向量,e与n有什么关系? 提示　垂直. 设直线l的方向向量为e=(a1,b1,c1),平面α的法向量为n=(a2,b2,c2),则l∥α⇔e⊥n⇔e·n=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 知识生成 温馨提醒　1.证明线面平行的关键是直线的方向向量与平面的法向量垂直. 2.特别强调直线在平面外. [例2]　如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且M和N分别为B1C和D1D的中点. 求证:MN∥平面ABCD. 知识应用 [证明]　如图,以A为原点,AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0), A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2), 又因为M,N分别为B1C和D1D的中点, 得M,N(1,-2,1).由以上可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,=,由此可得·n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 1.证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基底表示. 2.证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证. 3.先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.　 反思感悟 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由. 跟踪训练 解:存在点E使CE∥平面PAB. 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz(图略),∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), 设E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1), ∵,∴y·(-1)-2(z-1)=0,① ∵=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量, 又=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB, ∴,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0. ∴y=1,代入①得z=,∴E是PD的中点, ∴存在点E,当E为PD中点时,CE∥平面PAB. 探究活动3　平面与平面平行 问题　如图,平面α,β平行,n1,n2分别是平面α,β的法向量,n1与n2具有什么关系? 提示　平行. 设平面α1,α2的法向量分别为n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2),则α1∥α2⇔n1∥n2⇔n1=λn2⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R). 知识生成 [例3]　如图,已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面AMN∥平面EFBD. 知识应用 [证明]　正方体的棱长为4,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4). 法一:取MN的中点K,EF的中点G,BD的中点O,连接AK,OG,则O(2,2,0),K(3,1,4),G(1,3,4).=(2,2,0),=(2,2,0),=(-1,1,4),= (-1,1,4), ∴=,=,∴MN∥EF,AK∥OG, ∵MN⊄平面EFBD,AK⊄平面EFBD,EF⊂平面EFBD, OG⊂平面EFBD, ∴MN∥平面EFBD,AK∥平面EFBD,又∵MN∩AK=K,∴平面AMN∥平面EFBD. 法二:设平面AMN的法向量是a=(a1,a2,a3),平面EFBD的法向量是b=(b1,b2,b3). 由a·=0,a·=0,得 取a3=1,得a=(2,-2,1). 由b·=0,b·=0, 得取b2=-2,得b=(2,-2,1). ∴a∥b,∴平面AMN∥平面EFBD. 利用空间向量证明两个平面平行的思路方法 1.直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,证明两个法向量平行. 2.间接证明法:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明. 反思感悟 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点, 求证:(1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 跟踪训练 证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一个法向量,则n1⊥,n1⊥, 即 得 令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2). 因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE, 所以FC1∥平面ADE. (2)由(1)得=(2,0,0),设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥,n2⊥, 得 得 令z2=2,得y2=-1, 所以n2=(0,-1,2). 所以n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F. 课堂小结 1．知识清单 (1)线线平行的向量表示． (2)线面平行的向量表示． (3)面面平行的向量表示． 2．方法归纳 坐标法、转化化归． 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　) A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y= D 解析:由题意得,==,∴x=6,y=. 2.(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是(　　) A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) AD 解析:若l∥α,则a·n=0.A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0. 3.设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为　　　　.  解析:∵v=-3(1,2,-2)=-3u, ∴α∥β. 平行 4.已知l∥α,且l的方向向量为m=(2,-8,1),平面α的法向量为n=(1,y,2), 则y=　　　　.  解析:∵l∥α,∴l的方向向量m=(2,-8,1)与平面α的法向量n=(1,y,2)垂直,∴2×1-8y+2=0,∴y=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是(　　) A.m=(1,2,1),n=(1,0,1) B.m=(0,1,0),n=(0,3,0) C.m=(1,-2,3),n=(-2,2,2) D.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:对于选项A:m·n=1×1+2×0+1×1=2≠0,故选项A不正确; 对于选项B:m·n=0×0+1×3+0×0=3≠0,故选项B不正确; 对于选项C:m·n=-2×1-2×2+2×3=0,所以m⊥n,所以l∥α,故选项C正确; 对于选项D:m·n=-1×0+2×0-1×1=-1≠0,故选项D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则λ的值是(　　) A.-　　　　　　　　　 B.6 C.-6 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:∵α∥β,∴α的法向量与β的法向量也互相平行. ∴==,∴λ=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,=(1,0,1),=(-1,1,0), 设=(a,b,c), 则取a=1, 则=(1,1,-1), ∵=(-1,-1,1)=-, ∴. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)若直线l的一个方向向量为d=(6,2,3),平面α的一个法向量为n= (-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系可能是(　　) A.垂直 B.平行 C.直线l在平面α内 D.不能确定 解析:∵d·n=-6+2×3+0=0,∴d⊥n, ∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 5.(多选)已知平面α与平面β平行,若n=是平面α的一个法向量,则平面β的法向量可能为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 解析:设平面β的法向量可能为m,则由题意可得m∥n, 对于A选项,m==-n,满足题意; 对于B选项,设=λ,λ无解,所以不符合题意; 对于C选项,设=λ,λ无解,所以不符合题意; 对于D选项,m==2n,满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k=　　　　.  解析:①当k=0或k=-3时,a与b不平行; ②当k≠0且k≠-3时,由==, 解得k=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -2 7.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z=　　　　.  解析:∵α∥β,∴u1∥u2.易知z≠0, ∴==,∴y=1,z=-4,∴y+z=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -3 8.已知空间四边形ABCD,P,Q分别是△ABC和△BCD的重心,求证:PQ∥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明:如图,连接AP并延长交BC于点E,连接ED,易知Q在线段ED上, ∵P,Q分别是△ABC和△BCD的重心, ∴=-=-=(-)=,∴,即PQ∥AD, 又AD⊂平面ACD,PQ⊄平面ACD,∴PQ∥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9.设α,β是不重合的两个平面,α,β的法向量分别为n1,n2,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为e1,e2,那么α∥β的一个充分条件是(　　) A.l⊂α,m⊂β,且e1⊥n1,e2⊥n2 B.l⊂α,m⊂β,且e1∥e2 C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2 D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:对于C,可得n1∥n2,则α∥β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选)已知空间三点A(1,0,3),B(-1,1,4),C(2,-1,3).若,且||=,则点P的坐标为(　　) A.(4,-2,2) B.(-2,2,4) C.(-4,2,-2) D.(2,-2,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 解析:∵B(-1,1,4),C(2,-1,3), ∴=(3,-2,-1).∵, ∴设=(3λ,-2λ,-λ). 又||=, ∴=, 解得λ=±1, ∴=(3,-2,-1)或=(-3,2,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-1,y,z-3), ∴或 解得或 故点P的坐标为(4,-2,2)或(-2,2,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱 AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz(图略), 设AB=a,AP=b,则点P坐标为(0,0,b), B1(a,0,1),D(0,1,0),E, =(a,0,1),=,=(0,-1,b), ∵DP∥平面B1AE, ∴存在实数λ,μ,使=λ+μ, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ. ∴∴b=λ=,即AP=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:如图所示,以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,Q(0,1,m), 则O,P, A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 法一:因为=, =(-1,-1,1), 所以, 于是OP∥BD1. =,=(-1,0,m), 当m=时,=, 即AP∥BQ,所以平面D1BQ∥平面PAO, 故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 法二:=,=. 设平面PAO的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则有n1⊥,n1⊥, 因此 取x1=1,则n1=(1,1,2). 又因为=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设平面D1BQ的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则有n2⊥,n2⊥, 因此 取z2=1,则n2=(m,1-m,1). 要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2, 因此==,解得m=,这时Q. 故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. $$