9.2.3 向量的数量积-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.2　向量运算 9.2.3　向量的数量积 第9章 平面向量 [学习目标]　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.　2.通过几何直观的了解投影向量的概念以及投影向量的意义.　3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. [素养目标]　水平一：1.理解平面向量的数量积的定义.(数学抽象)　2.了解投影向量的概念.(直观想象)　3.了解向量的数量积与实数的乘法的区别.(数学运算)　4.掌握向量数量积的性质及其运算律.(逻辑推理) 水平二：1.能够根据数量积的定义计算两个向量的数量积.(数学运算)　2.会用数量积的性质及运算律解决相关问题.(数学运算) 前面我们学习了向量的线性运算，类比于实数的运算，对向量的加法、减法和数乘进行定义，然后进一步探究这些运算的性质(如运算法则、几何意义、运算律)等等，最后应用它们解决几何、物理和其他一些实际问题.类比于实数的运算，我们接下来应研究向量的乘法. 那么向量到底能不能进行乘法运算呢，如果能，又该怎样进行运算呢，是否还如同线性运算一样带有浓厚的实数运算的影子呢？这些都是本节课需要解决的问题. 探究活动1　向量的数量积 内容索引 探究活动2　投影向量 探究活动3　向量数量积的运算律及性质 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　向量的数量积 问题　一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？功是力F和位移s的乘积吗？ 提示　如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝｜F｜·｜s｜·cos θ.功是一个数量，它由力和位移两个向量所确定，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关，是一种新的运算. 1.向量数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量｜a｜｜b｜cos θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为___. 2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ＝求得. 知识生成 0 3.平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝｜a｜cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝. (4)｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. [例1]　如图，在平行四边形ABCD中，已知｜｜＝4，｜｜＝3，∠DAB＝60°，求： (1)·； 知识应用 解　∵与平行且方向相同，∴与的夹角 为0°，∴·＝｜｜｜｜cos 0°＝3×3×1＝9. (2)·； 解　∵与平行且方向相反， ∴与的夹角是180°， ∴·＝｜｜｜｜cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)·. [解]　∵与的夹角是60°， ∴与的夹角是120°， ∴·＝｜｜｜｜cos 120°＝4×3×＝－6. 向量数量积的求法 1.求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键. 2.根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 1.在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝__，·＝______，·＝______. 跟踪训练 0 －16 －16 解析：由题意，得｜｜＝4，｜｜＝4， ｜｜＝4， 所以·＝4×4×cos 90°＝0， ·＝4×4×cos 135°＝－16， ·＝4×4×cos 135°＝－16. 探究活动2　投影向量 问题　若a，b是两个非零向量，＝a，＝b，如图，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，记，能否用a，b表示呢？ 提示　能.与共线，其方向与模可由a，b的模及夹角确定. 1.投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b______，向量称为向量a在向量b上的__________. 知识生成 投影 投影向量 2.向量a在向量b上的投影向量为(｜a｜cos θ). 3.向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数 量积. [例2]　已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； 知识应用 解　a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝5×4×＝－10. (2)求a在b上的投影向量. 解　a在b上的投影向量为(｜a｜cos θ)＝5×cos 120°×b＝ －b. 求投影向量的方法 1.依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影 向量. 2.首先根据题意确定向量a，b的模，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式(｜a｜cos θ)计算. 2.已知向量a，b满足｜b｜＝2，｜a｜＝1，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量是___. 跟踪训练 a 解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影向量为(｜b｜cos θ)＝a. 探究活动3　向量数量积的运算律及性质 问题　若实数a，b，c，ab＝bc(b≠0)，则a＝c，对于两个向量a，b，若a·b＝b·c是否也可以得出结论a＝c？ 提示　不可以.理由如下：   如图，a·b＝｜a｜｜b｜cos β＝｜b｜｜｜， b·c＝｜b｜｜c｜cos α＝｜b｜｜｜. 所以a·b＝b·c，但是a≠c. 平面向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(数乘结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 知识生成 [例3]　(1)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　 　) A.a·c－b·c＝(a－b)·c B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2 知识应用 ACD 解析　根据数量积的运算律知A，D正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线， ∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形， ∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正确. (2)(多选)已知向量a，b的夹角为θ，且满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜b－2a｜＝，则下列结论正确的是(　　) A.｜a－b｜＝ B.｜a＋b｜＝2 C.θ＝ D.a⊥b AD 解析　对于选项C，D：∵｜a｜＝｜b｜＝1，且｜b－2a｜＝，则b2－4a·b＋4a2＝5， 整理得a·b＝0，∴a⊥b，即a，b的夹角θ＝，故C错误，D正确； 对于选项A：∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2， ∴｜a－b｜＝，故A正确； 对于选项B：∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2， ∴｜a＋b｜＝，故B错误. 1.求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝｜a｜2，即｜a｜＝，勿忘记开方. 2.求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤： (2)注意事项：在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值. 3.(多选)下列说法中错误的是(　 　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.(a·b)c＝a(b·c)＝b(a·c) C.若a·b＝a·c，则b＝c D.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 跟踪训练 ABC 解析：A：当b＝0时，a与c关系不确定，故A错误； B：两个向量之积为常数，a，b，c的方向不一定相同，故B错误； C：当a·b＝a·c时，得a·(b－c)＝0，不一定有b＝c，故C错误； D：向量满足完全平方公式，故D正确. 4.(多选)已知正方形ABCD的边长为1，向量a，b满足＝a，＝b－a，且向量a，b的夹角为θ，则(　 　) A.｜b｜＝1 B.cos θ＝ C.｜a·b｜＝1 D.(2a－b)⊥b BCD 解析：∵＝a，＝b－a， ∴＝＋＝b，又正方形ABCD的边长为1， ∴｜｜＝｜a｜＝1，｜｜＝｜b｜＝，θ＝，故A错误； ∵θ＝， ∴cos θ＝，a·b＝1××＝1，即｜a·b｜＝1，故B，C正确； ∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2－2＝0，即(2a－b)⊥b，故D正确. 1.牢记2个知识点 (1)两个向量的数量积 ①两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量. ②数量积的运算律：满足交换律、分配律，但不满足结合律和消去律. (2)投影向量 a在b上的投影向量与b在a上的投影向量不同，前者为(｜a｜cos θ)，后者为(｜b｜cos θ). 2.掌握2种方法：利用数量积 (1)求向量的模：｜a｜＝. (2)求非零向量a，b的夹角θ：cos θ＝(0°≤θ≤180°). 备选题库 教师独具 1.设e1，e2是两个平行的单位向量，则下列选项中正确的是(　　) A.e1·e2＝1 B.e1·e2＝－1 C.｜e1·e2｜＝1 D.｜e1·e2｜＜1 C 解析：e1，e2是两个平行的单位向量， 故它们的模均为1，方向相同或相反，即夹角为0°或180°， 有e1·e2＝1或e1·e2＝－1，即｜e1·e2｜＝1. 2.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A. B. C. D. C 解析：由题意，知a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝. 3.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　) A.2 B.2 C.6 D.12 B 解析：∵｜a－4b｜2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴｜a－4b｜＝＝2. 4.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为_______. －e 解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－， 所以a在b上的投影向量为｜a｜cos θ·e＝3×e＝－e. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于 (　　) A.3 B.－3 C.－3 D.3 B 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.设单位向量a，b的夹角θ＝60°，则｜a＋2b｜＝(　　) A. B. C. D. D 解析：∵｜a｜＝｜b｜＝1，θ＝60°， ∴｜a＋2b｜2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×＋4＝7， ∴｜a＋2b｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，且向量m，n的夹角θ＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A.4 B.－4 C. D.－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：因为n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝0，所以tn·m＋n2＝0， 则t｜n｜｜m｜cos θ＋｜n｜2＝0. 因为4｜m｜＝3｜n｜，cos θ＝， 所以t｜n｜·｜n｜·＋｜n｜2＝0，解得t＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 D 解析：由·＝·得，·(－)＝0，即·＝0，所以PB⊥CA. 同理，PA⊥BC，PC⊥AB，所以P是△ABC的垂心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)已知任意的非零平面向量a，b，c，则下列说法正确的是 (　　) A.0·a＝0 B.a·b＝0⇒a⊥b C.(a·b)·c＝a·(b·c) D.(a＋b)·(a－b)＝｜a｜2－｜b｜2 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：对于A，0·a＝0，A错误； 对于B，a，b为非零向量，a·b＝0⇒a⊥b，B正确； 对于C，(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，而a，c无任何关系，C错误； 对于D，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E是CD的中点，则(　　) A.＝＋ B.｜｜＝12 C.·＝－6 D.在上的投影向量为 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：如图，设＝a，＝b，则｜a｜＝4，｜b｜＝2，a·b＝4×2×cos 60°＝4. 对于A项，＝＋＝＋＝＋， 故A项正确； 对于B项，由A项可得，＝a＋b，两边取平方， ｜｜2＝＝a2＋a·b＋b2＝×16＋4＋4＝12，则｜｜＝2，故B项错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C项，因＝a＋b，＝－a＋b， 则·＝·(－a＋b) ＝－a2－a·b ＋b2＝－×16－×4＋4＝－6，故C项正确； 对于D项，在上的投影向量为＝＝，故D项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，且(2a＋b)⊥(a－2b)，则a·b＝______. － 解析：依题意可得，(2a＋b)·(a－2b)＝2｜a｜2－3a·b－2｜b｜2＝－10－3a·b＝0，解得a·b＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知平面向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝1，a与b的夹角为45°，(λb－a)⊥a，则实数λ的值为___. 2 解析：由(λb－a)⊥a，得(λb－a)·a＝0， 即λb·a－a2＝0. 又｜a｜＝，｜b｜＝1，a，b的夹角为45°， 所以a·b＝｜a｜｜b｜·cos 45°＝×1×＝1， 所以λ－2＝0，解得λ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知非零向量a，b，满足｜a｜＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝. (1)求向量a，b的夹角； 解：因为(a－b)·(a＋b)＝， 所以a2－b2＝，即｜a｜2－｜b｜2＝. 又｜a｜＝1，所以｜b｜＝.设向量a，b的夹角为θ， 因为a·b＝，所以｜a｜｜b｜cos θ＝， 所以cos θ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°， 所以向量a，b的夹角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求｜a－b｜. 解：因为｜a－b｜2＝(a－b)2＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝，所以｜a－b｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知｜a｜＝2｜b｜＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e. (1)求a与b的夹角θ. 解：由题意知｜a｜＝2，｜b｜＝1. 又a在b方向上的投影向量为｜a｜cos θ e＝－e， 所以cos θ＝－，所以θ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求(a－2b)·b. 解：由题意易知a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝－1， 所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？ 解：因为λa＋b与a－3b互相垂直， 所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0. 所以λ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.在△ABC中，∠C＝90°，｜｜＝6，点P满足｜｜＝2，则·的最大值为(　　) A.9 B.16 C.18 D.25 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：取AB的中点D，连接CD(图略). 因为∠C＝90°，｜｜＝6， 所以｜｜＝｜｜＝3. 设与的夹角为α， 则·＝(＋)·(＋) ＝｜｜2＋·(＋)＋· ＝｜｜2＋·(＋) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ＝22＋·2 ＝4＋2｜｜·｜｜cos α ＝4＋2×2×3cos α＝4＋12cos α， 当α＝0°时，·取得最大值，为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)在如图所示的正八边形ABCDEFGH中，已知｜OA｜＝1，则下列结论正确的有(　　) A.·＝－ B.＋＝－ C.·＝· D.在向量上的投影向量的模为 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：对于A：·＝1×1×cos ＝－，故正确. 对于B：＋＝ ＝－ ，故正确. 对于C：因为｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜， 但对应向量的夹角不相等，所以不成立，故错误. 对于D：在向量上的投影向量的模为 ≠，故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知向量a，b的夹角为45°，且｜a｜＝4，·(2a－3b)＝12，则｜b｜＝_____；b在a上的投影向量的模等于___. 1 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos 45°＝4｜b｜cos 45°＝2｜b｜，又·(2a－3b)＝｜a｜2＋a·b－3｜b｜2＝16＋｜b｜－3｜b｜2＝12， 解得｜b｜＝或｜b｜＝－(舍去). b在a上的投影向量的模为｜｜b｜cos 45°｜＝cos 45°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且｜a｜＝3，｜b｜＝1，x为正实数. (1)若a＋2b与a－4b垂直，求cos θ； 解：由题意得(a＋2b)·(a－4b)＝0，即a2－2a·b－8b2＝0. 又｜a｜＝3，｜b｜＝1，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，解得cos θ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若θ＝，求｜xa－b｜的最小值及对应的x的值，并证明此时向量a与xa－b垂直. 解：｜xa－b｜＝＝ ＝ ＝＝. 故当x＝时，｜xa－b｜取得最小值，最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：已知xa－b＝a－b，a·＝a2－a·b＝×32－3×1×＝0，故向量a与xa－b垂直. $$