9.2.2 向量的数乘-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.2　向量运算 9.2.2　向量的数乘 第9章 平面向量 [学习目标]　通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义. [素养目标]　水平一：1.通过教材实例抽象出向量数乘的概念.(数学抽象)　2.掌握向量数乘的规定及运算律，能进行有关的运算.(逻辑推理、数学运算)　3.理解两个向量共线的含义，能利用向量共线的条件解决相关问题.(逻辑推理) 水平二：熟练掌握向量的共线条件及其线性运算法则，并能解决相应的问题.(逻辑推理) 如图，一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？ 通过今天的学习，相信各位同学将能回答以上情景中的问题. 探究活动1　向量的数乘及其几何意义 内容索引 探究活动2　向量数乘的运算 探究活动3　向量共线定理 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　向量的数乘及其几何意义 问题　如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样？ 提示　＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍. 知识生成 1.一般地，实数λ与向量a的积是一个______，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜. (2)若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反. 实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的______. 特别地，当λ＝0时，0a＝0； 当a＝0时，λ0＝0. 2.向量数乘λa的几何意义是：当λ＞0时，把向量a沿着a的______方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的______方向放大或缩小. 向量 数乘 相同 相反 [例1]　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　 　) A.λ＜0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.λ＝0时，λa与a是共线向量 C.｜λa｜＝λ｜a｜ D.λμ＞0时，λa的方向与μa的方向一定相同 知识应用 ABD 解析　对于A，根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ＞0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故C错误. λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 1.如图，已知向量a与b，求作向量3a－b. 跟踪训练 解：作向量＝3a，＝b，则即为所求向量，如图. 探究活动2　向量数乘的运算 问题1　已知a(a≠0)，求作3(2a)和6a，并进行比较. 提示　 3(2a)＝6a. 问题2　如图，已知向量a，b，求作向量2(a＋b)和2a＋2b，并进行 比较. 提示　如图，作＝a，＝b，＝a＋b，＝2(a＋b). 作＝2b，＝2a，＝2a＋2b＝2(a＋b). 则2(a＋b)＝2a＋2b. 1.向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的______、______和______统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识生成 加法 减法 数乘 [例2]　(1)3(6a＋b)－9＝_____； 知识应用 9a 解析　3(6a＋b)－9 ＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝____________. a－b＋c 解析　将原等式变形为 2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y－a－c＋b＝0， y＝a－b＋c， ∴y＝＝a－b＋c. 向量的线性运算的基本方法 1.类比方法：向量的线性运算可类似于代数多项式的运算.例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数. 2.方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 2.化简下列各式. (1)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)； 跟踪训练 解：原式＝a＋b＝0. (2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n为实数). 解：原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b) ＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb ＝ma－nb. 探究活动3　向量共线定理 问题1　观察a＝m－n，b＝－2m＋2n有何关系. 提示　因为b＝－2a，所以a与b平行. 问题2　若向量a与b为平行向量，能否得出b＝λa或a＝λb？ 提示　若a，b都为非零向量可以，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，仅能存在λ＝0使得a＝λb，同理若b＝0，a≠0，情况类似. 一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，有如下的向量共线定理： 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么___________一个实数λ，使b＝λa. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识生成 有且只有 [例3]　(1)设a，b是不共线的两个非零向量.若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； 知识应用 证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线. (2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求证：x＋y＝1. 证明　由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ， 即－＝λ(－)， 所以＝(1－λ)＋λ， 故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1. 1.证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 2.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值. 3.已知e1，e2是两个非零不共线向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值. 跟踪训练 解：因为a与b是共线向量， 所以存在实数λ使a＝λb，所以2e1－e2＝λ(ke1＋e2)， 即(2－λk)e1＝(λ＋1)e2. 因为e1，e2不共线，所以 解得k＝－2. 1.牢记3个知识点 (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算； (2)λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的｜λ｜倍，向量表示与向量a同向的单位向量； (3)向量共线定理. 2.掌握1种方法 判断两个向量a(a≠0)，b是否共线，关键是能否找到实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；若λ不存在，则不共线. 3.注意2个易错点 (1)0a＝0，而不是0； (2)证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得三点共线. 备选题库 教师独具 1.若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　) A.－a B.－b C.－c D.以上都不对 C 解析：原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. 2.下列说法中正确的是(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数) B.若a，b共线，则b＝λa(λ为实数) C.若｜b｜＝2｜a｜，则b＝±2a D.若b＝±2a，则｜b｜＝2｜a｜ D 3.在△ABC中，若点D满足＝2，则＝(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ D 解析：示意图如图所示， 由题意可得＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋. 4.已知＝，且＝k，则实数k＝___. 4 解析：因为＝，所以A，B，P三点共线，其位置关系如图， 由图知，点B在线段AP四等分点的位置(靠近点P)，所以＝4，所以k＝4. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.＝(　　) A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b B 解析：原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：如图， 易知＝(＋)，则＝＋＝＋＝－＋＝－×＋＝－－＋＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由于a，b为不共线的非零向量，向量和，向量和显然没有倍数关系，根据向量共线定理，它们不共线，A，C选项错误；＝＋＝a＋5b＝，且，有公共点B，于是A，B，D三点共线，B选项正确；＝＋＝－a＋13b，显然和没有倍数关系，D选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2＋＋＝0，则(　　) A.＝2 B.＝ C.＝3 D.2＝ B 解析：因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0.所以＝－.所以＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值可以是(　　) A.－1 B. C.4 D.3 AD 解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得a＋(2－m)b＝λ(ma－3b)，即a＋(2－m)b＝λma－3λb， 所以解得m＝－1或3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　) A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C.已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e， 可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线. 选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线. 选项C，a，b显然不共线. 选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量，不是共线向量，即不能判定a，b共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.若｜a｜＝3，｜b｜＝2，b与a反向，则a＝_____b. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝__________.(用a，b表示) －a＋b 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋＝－a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形.又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，. 解：因为＝＝＝(－)＝(a－b)， 所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b. 因为＝＝， 所以＝＋＝＋＝＝(＋)＝(a＋b). ＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0). (1)求证：A，B，M三点共线； 证明：因为＝λ＋(1－λ)， 所以＝λ＋－λ， 所以－＝λ－λ，即＝λ. 又λ∈R，λ≠1，λ≠0，且，有公共点A， 所以A，B，M三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围. 解：由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则，同向，且｜｜＞｜｜(如图)，所以λ＞1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.如图，已知在△ABC中，D为AB的中点，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A.－ B.－ C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝－＋， 所以λ＝－，μ＝.故λ＋μ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)欧拉线定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半.”设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中，结论正确的是(　 　) A.＝2 B.＋＋＝0 C.＝＋＋ D.＝＝ ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：如图，根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且GH＝2OG. 对于A，因为GH＝2OG，所以＝2，故A正确； 对于B，取BC的中点为D，则＋＋＝ ＋2＝0，故B正确； 对于C，＝3＝3(－)＝ 3＝2－3＝2(＋)－3＝2－＝＋＋，故C正确； 对于D，＝＝显然不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝______. －2 解析：因为点P在直线AB上， 所以＝λ，λ∈R，－＝λ(－)， 即＝λ＋(1－λ)，所以所以x＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，线段BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量，，； 解：因为＝a，＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c－a). 同理可得＝(a＋c－b)，＝(a＋b－c). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分. 证明：设线段EL的中点为P1， 则＝(＋)＝(a＋b＋c). 设FM，GN的中点分别为P2，P3， 同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)， 所以＝＝， 即线段EL，FM，GN交于一点且互相平分. $$