9.2.2 第1课时 向量的线性运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

9.2.2　向量的数乘 第1课时　向量的线性运算[教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义. 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 逐点清(一)　向量数乘的概念 　　　　　[多维理解] 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘 长度 |λa|=|λ||a| 方 向 a≠0 λ>0 λa与a方向相同 λ<0 λa与a方向相反 特殊情况 当λ=0时，0a=0；当a=0时，λ0=0 几何意义 当λ>0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ<0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小 [微点练明] 1.(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题正确的是 (　　) A.2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B.-2a的方向与3a的方向相反，且-2a的模是3a的模的 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量　 解析：选ABC　2a=a+a与a方向相同，且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|，故A正确.-2a=(-a)+(-a)与-a同方向，3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向，∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|，|3a|=3|a|，∴-2a的模是3a的模的，故B正确.∵-2a+2a=(-2+2)a=0，∴-2a与2a是一对相反向量，故C正确.∵-(b-a)与b-a是一对相反向量，a-b与b-a是一对相反向量，∴-(b-a)与a-b是相等的，故D错误. 2.(多选)已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是 (　　) A.λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B.λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C.λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D.λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 解析：选ABC　由λ与向量a的积λa的方向规定，知A、B正确；对于C、D，当λμ>0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ<0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C正确，D错误.故选ABC. 3.要得到向量-2a，可将 (　　) A.向量a向左平移2个单位长度 B.向量a向右平移2个单位长度 C.向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍 D.向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍 解析：选D　根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量-2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍.故选D. 4.设a为任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式正确的是 (　　) A.e= B.a=|a|e C.a=-|a|e D.a=±|a|e 答案：D 逐点清(二)　向量的线性运算 [多维理解] 1.数乘运算的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，那么 (1)λ(μ a)=(λμ)a； (2)(λ+μ)a=λa+μa； (3)λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. [微点练明] 1.(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是 (　　) A.m(a-b)=ma-mb 　B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb，则a=b 　D.若ma=na，则m=n 解析：选AB　m(a-b)=ma-mb，A正确；(m-n)a=ma-na，B正确；若m=0，则a，b不一定相等，C错误；若a=0，则m，n不一定相等，D错误. 2.-= (　　) A.a-b+2c B.5a-b+2c C.a+b+2c D.5a+b 解析：选A　-=(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c.故选A. 3.若2-(c+b-3y)+b=0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y=　　　　　.  解析：由题意，得2y-a-c-b+y+b=y-a-c+b=0，则y=a-b+c，∴y==a-b+c. 答案：a-b+c 4.化简下列各式： (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a)； (2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)]； (3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x，y∈R). 解：(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b. 逐点清(三)　向量的线性表示 [典例]　(1)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则= (　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n (2)如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若=a，=b，用a，b表示=　　　　　.  解析：(1)因为BD=2DA，所以=3.所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B. (2)=++=a+b+ =a+b+=a+b+(b-a)=a+b. 答案：(1)B　(2)a+b |思|维|建|模| 向量线性表示的求解思路 (1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中. (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. [针对训练] 1.(多选)如图，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是 (　　) A.=+　 B.=+ C.=- D.=+ 解析：选AC　=+=+，A正确；=+=+=(+)+=+，B错误；=++=-++=-，C正确；=++=-++=-，D错误.故选AC. 2.在△ABC中，若点D满足=λ=-，则λ=　　　　.  解析：易知=+=+=+(-)=-+.又因为=-，所以⇒λ=2. 答案：2 [课时跟踪检测] 1.3(a+b)-2(a-b)-a= (　　) A.5a B.5b C.-5a D.-5b 解析：选B　根据向量运算公式可知，3(a+b)-2(a-b)-a=3a+3b-2a+2b-a=5b. 2.点C在直线AB上，且=3，则等于 (　　) A.-2 B. C.- D.2 解析：选D　如图，=3，所以=2. 3.在△ABC中，=3，则3= (　　) A.+4 B.-4 C.-4 D.4- 解析：选D　3=3(+)=3=3+4=3+4(-)=4-. 4.在平行四边形ABCD中，-= (　　) A. B. C. D. 解析：选C　连接AC，BD相交于点O，则-=-==，故选C. 5.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=λ，则λ= (　　) A. B.2 C. D. 解析：选B　在平行四边形ABCD中，=+=λ，所以λ=2.故选B. 6.如图，已知=a，=b，=3，用a，b表示，则= (　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析：选D　=+=+=+(-)=+=a+b. 7.若D为△ABC的边AB的中点，则= (　　) A.2- B.2- C.2+ D.2+ 解析：选A　如图所示， ∵D为△ABC的边AB的中点， ∴+=2， ∴=2-.故选A. 8.如图所示，在△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则= (　　) A.-- B.-- C.-- D.-+ 解析：选B　=+=+=(+)-=--.故选B. 9.若点M是△ABC所在平面内的一点，满足=+，则= (　　) A. B.4 C. D.3 解析：选C　∵=+=(+)+(+)=+++=+，∴+=0，得=. 10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3--=0，则△ABM与△ABC的面积之比为 (　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 解析：选B　如图，设D为BC边的中点，则=(+).因为3--=0， 所以3=+=2，所以=，所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 11.(5分)化简(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=　　　　　.  解析：原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0. 答案：0 12.(5分)如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且==，则=　　　 . 解析：∵==，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC.∴=. 又与同向，∴=. 答案： 13.(5分)在△ABC中，点M满足++=0，若++m=0，则实数m的值为　　　　.  解析：∵在△ABC中，点M满足++=0，∴M为△ABC的重心，根据三角形重心的性质可得=. 又∵++m=0，∴m=-3. 答案：-3 14.(10分)如图所示，O是线段A0A2 025外一点，若A0，A1，A2，…，A2 025中，相邻两点间的距离相等，=a，=b，试用a，b表示++…+OA2 025. 解：设A为线段A0A2 025的中点，则A也为线段A1A2 024，A2A2 023，A3A2 022，…，A1 012A1 013的中点，由向量加法的平行四边形法则可得+=2=a+b，+=2=a+b，…，+=2=a+b，所以++…++=1 013(a+b). 15.(10分)如图，在平行四边形OADB中，设=a，=b，==，试用a，b表示及. 解：由题意得，===(-)=(a-b)，==，则=+=b+a-b=a+b，=+=+==(+)=(a+b)，=-=(a+b)-a-b=a-b. 　　第2课时　向量共线定理及其应用[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.理解向量共线的概念，掌握向量共线定理及简单应用. 2.会应用向量共线定理证明两直线平行及三点共线问题. 1.向量共线定理 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b=λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b=λa. 2.常用结论 (1)设a，b均为实数，若不共线，点P满足=a+b，a+b=1，则A，B，P三点共线. (2)中线向量公式：在△ABC中，若D是BC的中点，则=(+). (3)与同方向的单位向量为，与共线的单位向量为±. (4)O是△ABC的重心的充要条件是++=0. 题型(一)　向量共线的判定 [例1]　已知非零向量a，b，且=a+2b，=-3a+4b，=a-3b，则一定共线的三点是 (　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 解析：选D　∵=a+2b，=-3a+4b，=a-3b， ∴=++=-a+3b. ∴=+=-2a+6b=2. 又与有公共点A，∴A，C，D三点共线. |思|维|建|模| 　　证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.具体依据如下： 若存在实数λ，使=λ，则A，B，C三点共线. [针对训练] 1.设P是△ABC所在平面内的一点，+=2，则 (　　) A.P，A，C三点共线 B.P，A，B三点共线 C.P，B，C三点共线 D.以上均不正确 解析：选A　在△ABC中，取AC的中点D(图略)，则+=2，∴2=2.∴D和P重合.∴P，A，C三点共线. 2.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是 (　　) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.无法判断 解析：选C　∵=++=-8a-2b， ∴=2，即AD∥BC.∵AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形. 题型(二)　向量共线中的参数问题 [例2]　(1)设e1，e2是两个不共线的向量，=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值； (2)设e1，e2是两个不共线的向量，若a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，c=2e1-9e2，问：是否存在实数λ，μ，使d=λa+μb与c共线? 解：(1)若A，B，D三点共线，则与共线.设=λ(λ∈R)，∵=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2，∴2e1+ke2=λe1-4λe2. 由e1与e2不共线可得解得λ=2，k=-8. (2)d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d=kc，即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2. 所以解得λ=-2μ. 故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ=-2μ. |思|维|建|模| 1.证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得=λ(或=λ等)即可. 2.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. [针对训练] 3.已知向量=a-kb，=2a+b，=3a-b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于 (　　) A.10 B.-10 C.2 D.-2 解析：选C　∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使得=λ=λ(-)，∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b)，∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0，∴ 解得故选C. 4.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka+2b与8a+kb的方向相反，则k=　　　　.  解析：因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反，所以存在实数λ(λ<0)，使得ka+2b=λ(8a+kb). 又a，b是两个不共线的非零向量， 所以 解得或(舍去). 答案：-4 学科网（北京）股份有限公司 $