9.2.1 第2课时 向量的减法运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.2　向量运算 9.2.1　向量的加减法 第2课时　向量的减法运算 第9章 平面向量 [学习目标]　借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义. [素养目标]　水平一：1.能通过向量的加法运算抽象出向量减法运算.(数学抽象)　2.掌握向量的减法运算，并理解其几何意义.(直观 想象) 水平二：掌握向量的加减运算法则及其几何意义，并能运用它们解决相应的向量问题.(直观想象) 了解了向量的加法运算，自然地，我们就接着来考虑向量的减法运算.关于“减法运算”，你还记得在实数中是如何运算的吗？如何用类比数的减法法则来定义向量的减法？ 探究活动1　向量的减法及其几何意义 内容索引 探究活动2　向量的加、减法运算 探究活动3　向量加、减法的综合应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　向量的减法及其几何意义 问题1　如图，向量是向量与向量x的和，你能作出向量x吗？ 提示　能.由向量加法的三角形法则可知，连接BD(图略). ＋＝，故x＝. 问题2　如何进行向量的减法运算？ 提示　转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 问题3　若a，b是不共线向量，则｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义分别是什么？ 提示　如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以｜a＋b｜＝｜｜，｜a－b｜＝｜｜，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 1.向量的减法 定义：若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量等于加上这个向量的______向量，求两个向量差的运算，叫作向量的减法. 知识生成 相反 2.减法的作图方法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b.因为＋＝，即b＋＝a，所以＝a－b，如图所示. 3.几何意义 如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. [例1]　如图，已知向量a，b，c，试作出向量a－b－c. 知识应用 解　如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c.连接DB，得向量.向量即要作的向量a－b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 1.可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. 2.可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 1.如图，已知向量a，b，c，试作出向量a－b－c. 跟踪训练 解：如图，作向量＝a，＝b，则向量a－b＝，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 探究活动2　向量的加、减法运算 [例2]　(1)(多选)下列各式中结果为零向量的是(　　) A.＋＋＋ B.＋＋ C.＋＋＋ D.－＋－ 知识应用 BD 解析　由向量加法的法则得 A中，＋＋＋＝＋＋＝，故结果不为零 向量； B中，＋＋＝＋＝0，结果为零向量； C中，＋＋＋＝＋＝，结果不为零向量； D中，－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，结果为零向量. (2)已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为___， ｜｜的范围是________. 2 (0，4) [解析]　因为－＋ ＝＋＋＝. 又因为｜｜＝2， 所以｜－＋｜＝｜｜＝2. 又因为＝＋，且在菱形ABCD中， ｜｜＝2，所以｜｜｜－｜｜｜＜｜｜＝｜＋｜＜｜｜＋｜｜，即0＜｜｜＜4. 1.在进行向量的减法运算时，可以通过相反向量，把向量的减法运算转化为加法运算. 2.掌握向量加法、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理. 2.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.若＋＝，则－＝ B.若＋＝，则＋＝ C.若＋＝，则－＝ D.若＋＝，则＋＝ 跟踪训练 ABC 解析：由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A，B，C都正确.由相反向量定义知，若＋＝，则＋＝－－＝－(＋)＝－，故D错误. 3.在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝____，d＋a＝____. c b 解析：根据题意画出图形，如图所示，d－a＝－＝＋＝＝c， d＋a＝＋＝＋＝＝b. 探究活动3　向量加、减法的综合应用 [例3]　已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示下列各式： (1)－； 知识应用 解　－＝(－)－(－)＝－＝d－b. (2)＋； (3)－. 解　＋＝(－)＋(－)＝b－a＋f－c＝b＋f－a－c. 解　－＝(－)－(－)＝－＝c－e. 用向量法解决平面几何问题的步骤 1.将平面几何问题中的量抽象成向量. 2.化归为向量问题，进行向量运算. 3.将向量问题还原为平面几何问题. 4.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示以下向量： (1)； (2)； (3). 跟踪训练 解：由题图知，＝＝c. 解：易知＝－＝b－a. 解：易知＝＋，所以由(1)(2)得＝b－a＋c. 1.牢记2个知识点 (1)向量减法的定义及几何意义； (2)重要结论：＝－，可记为“共起点，连终点，向被减”. 2.注意1个易错点 作两个向量的差，要结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头不要搞错了，a－b的箭头要指向向量a的终点；如果指向向量b的终点，则表示b－a. 备选题库 教师独具 1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a B.a＋b C.b－a D.a－b D 解析：＝－＝a－b. 2.向量－＋＋＝(　　) A.0 B. C. D. D 解析：－＋＋＝＋＋＋＝＋＝. 3.已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 A 解析：由－＝－，可得＝， 所以四边形ABCD一定是平行四边形. 4.在△ABC中，若｜｜＝｜｜＝｜－｜，则∠BAC＝____. 解析：｜｜＝｜｜＝｜－｜＝｜｜，故△ABC为等边三角形，故∠BAC＝. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组] 1.若O，E，F是不共线的任意三点，则下列式子成立的是(　　) A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ B 解析：＝＋＝－＝－＝－－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＋－＝(　　) A. B. C. D. D 解析：＋－＝－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.若a，b为非零向量，则下列命题错误的是(　　) A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同 B.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反 C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则｜a｜＝｜b｜ D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同 C 解析：当a，b方向相同时，有｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜；当a，b方向相反时，有｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜，故A，B，D均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜－｜，则下列说法中，错误的有( 　 ) A.四边形ABCD一定是矩形 B.＝0或＝0 C.＝0 D.四边形ABCD一定是正方形 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：由四边形ABCD是平行四边形可知，B，C说法错误；在平行四边形ABCD中，＋＝，－＝，由题知｜｜＝ ｜｜，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD一定是矩形，故A说法正确；无法判断平行四边形ABCD是不是正方形，故D说法错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)下列结论正确的是(　　) A.若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋ B.若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC C.若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC D.若向量与反向共线，则｜－｜＝AB＋BC AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝＋，A正确.在△ABC中，＝＋，但AC≠AB＋BC，B错误.，反向共线时，｜｜＝｜＋｜≠｜｜＋｜｜，也即AC≠AB＋BC，C错误.，反向共线时，｜－｜＝｜＋(－)｜＝AB＋BC，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝___. 0 解析：－＋－＋＝＋＋＋＋＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知｜｜＝a，｜｜＝b(a＞b)，｜｜的取值范围是[5，15]，则a＝____，b＝___. 10 5 解析：因为a－b＝｜｜｜－｜｜｜≤｜－｜≤｜｜＋｜｜＝a＋b， 所以a－b≤｜｜≤a＋b，因为｜｜的取值范围是[5，15]， 所以解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.依据图形，解答下列各题： (1)用a，d，e表示； (2)用b，c表示； (3)用a，b，e表示； (4)用c，d表示. 解：＝＋＋＝d＋e＋a. 解：＝－＝－－＝－b－c. 解：＝＋＋＝e＋a＋b. 解：＝－＝－(＋)＝－c－d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组] 9.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，｜｜2＝16，｜＋｜＝｜－｜，则｜｜＝(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 C 解析：根据｜＋｜＝｜－｜可知，△ABC是以A为直角的直角三角形.∵｜｜2＝16，∴｜｜＝4.又∵M是BC的中点，∴｜｜＝｜｜＝×4＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.在平面上有A，B，C三个不同的点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　) A.A，B，C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD(图略)，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等，可知｜｜＝｜｜，因此平行四边形ABCD是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.若a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b所在直线的夹角是______. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝. 因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝60°， 在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以a与a＋b所在直线的夹角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋. 证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又CH⊥AB，AH⊥BC，∴CH∥DA，AH∥DC， ∴四边形AHCD是平行四边形，∴＝. 又＝－＝＋， ∴＝＋＝＋＝＋＋. $$