9.2.1 第1课时 向量的加法运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.2　向量运算 9.2.1　向量的加减法 第1课时　向量的加法运算 第9章 平面向量 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算法则，理解其几何意义.　2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. [素养目标]　水平一：掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，能利用这两个法则进行两个向量的加法运算.(数学抽象、直观 想象) 水平二：能熟练运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及其几何意义进行向量的加法运算.(数学运算) 如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可以得出什么结论？ 探究活动1　向量加法的定义及三角形法则 内容索引 探究活动2　向量加法的运算律及平行四边形法则 探究活动3　向量加法的实际应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　向量加法的定义及三角形法则 1.向量加法的定义 (1)求两个向量____的运算叫作向量的加法. (2)任一向量与其相反向量的和是________. 知识生成 和 零向量 2.向量求和的三角形法则 三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的________法则   三角形 [例1]　如图所示. (1)a＋b＝____； (2)c＋d＝____； (3)a＋b＋d＝____； (4)c＋d＋e＝____. 知识应用 c f f g 应用三角形法则求向量和的基本步骤 1.平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合. 2.以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和. 1.如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 跟踪训练 解：作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1). 解：作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2). 解：作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3). 探究活动2　向量加法的运算律及平行四边形法则 问题1　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示　如图1，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 借助图2，不难证明满足结合律. 问题2　你能从问题1的结论出发，给出求解向量之和的另一种方 法吗？ 提示　平行四边形法则. 1.向量加法的运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 知识生成 2.向量加法的平行四边形法则 平行四边形法则 对于任意两个不共线的非零向量a，b，分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和.这种求两个向量和的方法叫作向量加法的____________法则   平行四边形 [例2]　(1)如图所示，求作向量a＋b＋c. 知识应用 解　法一：(三角形法则)如图1所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求. 法二：(平行四边形法则)如图2所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求. (2)化简：①(＋)＋(＋)； 解　(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝. ②＋(＋)＋. 解　＋(＋)＋＝＋＋＋＝0. 1.应用平行四边形法则应注意的问题： (1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和. (2)基本步骤可简述为：共起点，以两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量. 2.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立. 2.设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)＋＋； 跟踪训练 解：＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝. (2)＋＋＋； 解：＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) ＝0＋0＝0. (3)＋＋＋＋. 解：＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋＝＋＝0. 探究活动3　向量加法的实际应用 [例3]　在某地抗震救灾时，一架飞机先从A地按北偏东35°方向飞行800 km到达B地接受伤人员，然后从B地按南偏东55°方向飞行800 km将受伤人员送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移之和. 知识应用 解　如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km到达B地，从B地按南偏东55°方向飞行800 km到达C地. 则飞机飞行的路程是｜｜＋｜｜，两次飞行的位移的和是＋＝. 依题意，有｜｜＋｜｜＝800＋800＝1 600(km). 因为∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以｜｜＝ ＋ ＝＝800(km). 由题可知∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°， 故飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移之和的大小为800 km，方向为北偏东80°. 用向量的方法解决实际问题的基本步骤 1.表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. 2.运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. 3.还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答 问题. 3.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计). 跟踪训练 解：如图，设，分别表示A，B处所受的力， 10 N的重力用表示，则＋＝. 易得∠ECW＝180°－150°＝30°，∠FCW＝180°－120°＝60°，｜｜＝｜｜×cos 30°＝10×＝5， ｜｜＝｜｜×cos 60°＝10×＝5. 故A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小 为5 N. 1.牢记2个知识点 (1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本法则，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则； (2)向量的加法满足交换律与结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行. 2.注意2个易错点 (1)使用向量加法的三角形法则时特别注意“首尾相接”； (2)向量相加的结果是向量. 备选题库 教师独具 1.化简＋＋＋＝(　　) A.0 B. C.0 D. B 2.在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD一定是(　　) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 D 解析：因为＝＋，根据向量的三角形法则，有＝＋，则可知＝，故四边形ABCD为平行四边形. 3.(多选)下列等式不正确的是(　　) A.a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b B.＋＝0 C.＝＋＋ D.｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜ BD 解析：B错误，＋＝0；D错误，当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜. 4.已知正方形ABCD的边长为1，则｜＋｜＝____. 解析：如图所示， 因为正方形ABCD的边长为1，所以由向量加法的平行四边形法则得，｜＋｜＝｜｜＝. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [A组] 1.在四边形ABCD中，＋＋＝(　　) A. B. C. D. D 解析：＋＋＝＋＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(＋)＋(＋)＝(　　) A. B. C. D. B 解析：(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，则＋＋＝(　　) A. B. C. D. B 解析：＋＋＝＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1＋)km B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：如图，＝a表示“向东航行1 km”，＝b表示“向北航行 km”，根据向量加法的三角形法则，得＝a＋b， ∵tan∠CAB＝， ∴∠CAB＝60°，且｜｜＝＝2 km， ∴a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　 　) A.＋＝ B.＋＋＝ C.＋＋＝ D.＋＋＝0 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝≠，故B不正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＋＝＋＝0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式成立的是(　 　) A.a＋b＝c B.a＋d＝b C.b＋d＝a D.｜a＋b｜＝｜c｜ ABD 解析：由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故｜a＋b｜＝｜c｜也成立； 由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.化简：(＋)＋(＋)＋＝_____. 解析：(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知｜｜＝｜｜＝1，且∠AOB＝60°，则｜＋｜＝____. 解析：以OA，OB为邻边，构造平行四边形OACB(图略)，则＋＝，由∠AOB＝60°，得｜｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.作五边形ABCDE，并作出下列各题中的和向量： (1)＋； 解：五边形ABCDE如图所示： ＋＝.如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)＋＋＋. 解：五边形ABCDE如图所示： ＋＋＋＝＋＋＝.如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.点P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于 (　　) A.△ABC的AB边上 B.△ABC的BC边上 C.△ABC的内部 D.△ABC的外部 D 解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，四边形PACB为平行四边形，故点P位于△ABC的外部. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值与最小值的和为_____. 24 解析：当a与b同向共线时，｜a＋b｜max＝20；当a与b反向共线时，｜a＋b｜min＝4，所以｜a＋b｜的最大值与最小值的和为24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力｜F1｜＝24 N.绳BO与墙壁垂直，所受拉力｜F2｜＝12 N，则F1与F2的合力大小为_________，方向为__________. 12 N 竖直向上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F， 即＋＝. 因为∠OAC＝60°，｜｜＝24，｜｜＝ ｜｜＝12， 所以∠ACO＝90°，所以｜｜＝12， 所以F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图，已知点D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0. 证明：连接EF(图略)，由题意知＝＋，＝＋，＝＋，＝，＝， ∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝(＋＋＋)＋(＋) ＝(＋＋＋＋)＋0 ＝＋＋＝＋＋＝0. $$