章末检测(十四) 统计-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

章末检测(十四)　统计 第14章 统计 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.一组数据1，2，2，4，5，6的极差为(　　) A.2　　　　　　　　　　 B.3 C. D.5 15 16 17 18 19 D 解析：因为数据1，2，2，4，5，6的最小数为1，最大数为6， 所以其极差为6－1＝5. 2.学校为了调查高二年级学生体重情况，随机抽取50个高二年级学生进行体重测量，这50个学生的体重是(　　) A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析：从高二年级随机抽取50个高二年级学生进行体重测量，则这50个学生的体重组成一个样本. 3.有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析：依题意，2＋4＋5＋7＋6＋7＋x＋10＝48，解得x＝7， 所以组数据的方差为×(42＋22＋12＋12＋02＋12＋12＋42)＝5. A 4.下列叙述中，错误的是(　　) A.数据的标准差比较小时，数据比较分散 B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 C.数据的极差反映了数据的集中程度 D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 解析：数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误； 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故B正确； 数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确； 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确. 5.已知样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10.去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征的值一定不变的是(　　) A.平均数 B.众数 C.极差 D.中位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 解析：样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10， 去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从x1到x10，极差和众数可能变化，故B，C错； 平均数为＝，可能变化，故A错； 中位数还是按从小到大排序中间两个数的平均数，即，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.某电影的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多(　　) A.6人 B.9人 C.12人 D.18人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 解析：设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层抽样可知＝，＝， 解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.空气质量的指标AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为优，AQI指数大于50且不超过100，空气质量为良，AQI指数大于100，空气质量为污染，如图是某市某年空气质量指标AQI的月折线图.下列关于该市某年空气质量的叙述中不一定正确的是(　　) A.全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为 优或良 B.每月都至少有一天空气质量为优 C.空气质量为污染的天数最多的月份是2月份 D.2月，8月，9月和12月均出现污染天气 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析：对于A，由折线图知平均AQI指数值不超过100，所以A正确； 对于B，通过折线图知最小值AQI指数均在50以下，说明每月至少有一天空气质量为优，所以B正确； 对于C，根据折线图2月份出现最大值，并不表示空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份，所以C错误； 对于D，2月，8月，9月和12月的最大值AQI指数大于100，空气质量为“污染”，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35％.某县有40万人，调查数据如下， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则该县(　　) A.是小康县 B.达到标准①，未达到标准②，不是小康县 C.达到标准②，未达到标准①，不是小康县 D.两个标准都未达到，不是小康县 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 年人均 收入/元 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000 人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3 解析：由图表可知：年人均收入为7 050＞7 000，达到了标准①；年人均食品支出为2 695，而年人均食品支出占收入的×100％≈38.2％＞35％，未达到标准②，所以不是小康县. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法不正确的是(　　 ) A.样本的数据个数等于频数之和 B.通过扇形统计图可知扇形各部分的数量 C.如果一组数据可以用扇形统计图表示，那么也一定可以用频数分布直方图表示 D.将频率分布直方图中各小长方形上边的一个端点顺次连接起来，就可以得到频率分布折线图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BCD 解析：因为频数之和就是样本中所有的数据个数，故A正确. 扇形统计图是用整个圆表示总体(单位“1”)，用圆内各个扇形的大小表示各部分占总体的百分比，通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分比，并不能知道各部分的数量分别是多少，故B，C错误. 对于选项D，将频率分布直方图中小长方形上面一边的中点顺次连接起来，就可以得到频率分布折线图，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知一组数据：2，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则下列说法正确的是(　　) A.这组数据的极差为5 B.这组数据的平均数为4.5 C.这组数据的众数为4 D.这组数据的70百分位数是5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AC 解析：对于A，这组数据的极差为7－2＝5，故A正确； 对于B，这组数据的平均数为＝4.6，故B错误； 对于C，这组数据中出现次数最多的数是4，所以这组数据的众数为4，故C正确； 对于D，因为10×70％＝7，所以这组数据的70百分位数是第7个数和第8个数的平均数：5.5，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩(满分100分)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( 　　) A.图中x＝0.1 B.估计样本数据的60百分位数约为85 C.若每组数据以所在区间的中点值为代表， 则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D.若按各组人数比例用分层抽样的方法抽取27名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70)内的学生应抽取9人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BCD 解析：对于A，由图知10(x＋0.015＋0.02＋ 0.03＋0.025)＝1，解得x＝0.01，故A错误； 对于B，成绩在[50，80)内对应的频率为0.1＋ 0.15＋0.2＝0.45＜0.6， 成绩在[50，90)内对应的频率为0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75＞0.6， 因此60百分位数m位于区间[80，90)内，m＝80＋＝85， 所以估计样本数据的60百分位数约为85，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C，平均数约为＝55×0.1＋65×0.15＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.25＝79.5，故C正确； 对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1∶0.15∶0.2＝2∶3∶4， 则应选取成绩在[60，70)内的学生人数为27×＝9，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.一个单位共有职工600人，其中不超过45岁的有360人，超过45岁的有240人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为75的样本，应抽取超过45岁的职工__________人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析：因为超过45岁的职工为240人，占比例为＝，所以抽取的75人中超过45岁的职工为×75＝30(人). 30 13.很多收费软件需要产品密钥激活才能使用，其中由25个字符构成的产品密钥比较常见，下面是三个25字符的密钥示例： JDHTC－NCQHB－6W444－97QYC－KW3MB 9CG86－9NVW6－2YBJ7－CV6F6－9K289 D68QB－N79BC－DMXTD－PM8TY－6VJXM 这三个产品密钥由数字和字母组成，将其中的数字从小到大排列，得到一组数据，则这组数据的20百分位数是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 解析：由题易知共有26个数字，这26个数字从小到大排列得： 2，2，3，4，4，4，6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9. 由于26×20％＝5.2，则这组数据的20百分位数是其第6项，即为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15，女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是__________，方差是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 166　 45 解析：设样本中男生平均身高为＝170，女生平均身高为＝160，该校高一年级学生身高的均值是＝166， 方差为s2＝×[＋(－166)2]＋×[＋(－166)2]＝×31＋×66＝45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)为了解某商场今年4月份的营业额，抽查了该商场在今年4月份中5天的营业额，结果如下(单位：万元)：2.5，2.8，2.7，2.4，2.6. (1)在这次调查中，总体和样本分别是什么？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：总体：该商场在今年4月份的营业额，样本：抽取的该商场在今年4月份中5天的营业额. (2)小王根据抽查的5天的数据推断：该商场4月份每天的营业额都低于3万元.你同意小王的推断吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：不同意.因为抽取的样本不够全面，而抽取的5天营业额只反映被抽到的5天的情况，不能反映这个月中每天的情况. 16.(15分)某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键部件的某项指标的情况，随机抽取了100件关键部件的该项指标数据，按[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)求m的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由图可知，5×(0.02＋m＋0.05＋0.08＋0.02)＝1， 解得m＝0.03. (2)估计样本中指标数据的70百分位数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由频率分布直方图可知，数据小于25的指标 数据所占比例为10％＋15％＋25％＝50％， 数据小于30的指标数据所占比例为10％＋15％＋ 25％＋40％＝90％， 所以70百分位数一定在[25，30)内，由25＋＝27.5， 所以估计样本中指标数据的70百分位数为27.5. 17.(15分)某校高一(1)班、(2)班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记(1)班所有学生的成绩分别为x1，x2，…，x40，平均成绩为，方差为，已知xi＝3 200，＝260 000. (1)求，； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由题意知xi＝3 200，得＝＝80， ＝－＝×260 000－802＝100. (2)记(2)班所有学生的成绩分别为y1，y2，…，y42，其平均成绩为82，＝6 834，试求两个班的所有学生的平均成绩(结果保留整数)，并说明哪一个班的成绩比较稳定. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：记(2)班的平均成绩为，方差为， 则＝82，所以yi＝42×82＝3 444， 所以两个班所有学生的平均成绩为＝≈81， ＝－＝6 834－822＝110， 因为＜，所以(1)班的成绩比较稳定. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)某百货公司连续40天的销售额数据(单位：万元)如下： 41　25　29　47　38　34　30　38　43　40 46　36　45　37　37　36　45　43　33　44 35　28　46　34　30　37　44　26　38　44 42　36　37　37　49　39　42　32　36　35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)取组距为5，起点为25，列出样本的频数分布表，并绘制频率分布直方图； 解：销售额的频数分布表如表： 组段 频数 频率 [25，30) 4 0.10 [30，35) 6 0.15 [35，40) 15 0.375 [40，45) 9 0.225 [45，50] 6 0.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 销售额的频率分布直方图如图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)在绘制的频率分布直方图上指出数据组的中位数、众数、平均数所在区域，并比较它们之间的大小； 解：将40个数据从小到大排列依次为25，26，28，29，30，30，32，33，34，34，35，35，36，36，36，36，37，37，37，37，37，38，38，38，39，40，41，42，42，43，43，44，44，44，45，45，46，46，47，49， 选择第20个和第21个数据的平均数作为中位数，即＝37， 37出现了5次，次数最多， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以中位数为37，众数为37， 平均数为×(25＋26＋28＋…＋47＋79)＝37.85， 中位数、众数、平均数都在[35，40)内，其平均数最大，中位数和众数相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)试估计该百货公司一年(按365天计算)的销售额. 解：由(2)可知平均每天的销售额为37.85万元， 所以该百货公司一年的销售额约为365×37.85＝13 815.25(万元). 19.(17分)已知总体划分为2层，通过分层抽样，第i层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为ni，，，i＝1，2.记总样本数据的均值为，总样本数据的方差为s2. (1)写出与s2的计算公式(直接写出结果，不需证明). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：依题意可得＝＋， s2＝[＋(－)2]＋[＋(－)2]. (2)某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30. ①如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：男、女的样本量按比例分配， 则总样本的均值为×172.5＋×162.5＝168.5(cm)， 总样本的方差为×[16＋(172.5－168.5)2]＋×[30＋(162.5－168.5)2]＝45.6. ②如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：男、女的样本量都是50， 总样本的均值为×172.5＋×162.5＝167.5(cm)， 总样本的方差为×[16＋(172.5－167.5)2]＋×[30＋(162.5－167.5)2]＝48， 不能作为总体均值和方差的估计，因为分层抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差. $$