章末检测(九) 平面向量-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

章末检测(九)　平面向量 第9章 平面向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知点A(1，－1)，B(－1，2)，则向量＝(　　) A.(0，1) B.(2，－3) C.(－2，3) D.(－2，1) 15 16 17 18 19 C 解析：＝(－1－1，2＋1)＝(－2，3). 2.已知向量a＝(m＋1，3m－1)，b＝(－2，1)，若a∥b，则m＝(　　) A.－ B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 解析：已知向量a＝(m＋1，3m－1)，b＝(－2，1)，a∥b， 则a＝λb，即解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知单位向量a，b满足a·b＝，则｜3a＋b｜＝(　　) A. B.3 C. D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析：因为a，b是单位向量，所以｜a｜＝1，｜b｜＝1，又a·b＝，所以｜3a＋b｜＝＝＝＝. 4.若e1，e2不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是(　　) A.e1＋e2与e1－e2 B.e1＋2e2与2e1＋e2 C.3e1－e2与2e2－6e1 D.e2与e1＋e2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析：对于A，不存在实数λ，使得e1＋e2＝λ(e1－e2)，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，所以e1＋2e2与2e1＋e2不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为3e1－e2＝－(2e2－6e1)，所以3e1－e2与2e2－6e1共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数λ，使得e2＝λ(e1＋e2)，所以e2与e1＋e2不共线，即选项D中两个向量能作为基底，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知非零向量a，b满足(a－b)⊥(a＋2b)，且2｜a｜＝3｜b｜，则向量a，b的夹角的余弦值为(　　) A.－ B.－ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 解析：因为(a－b)⊥(a＋2b)， 所以(a－b)·(a＋2b)＝a2＋a·b－2b2＝0， 即a·b＝2｜b｜2－｜a｜2＝｜a｜2－｜a｜2＝－｜a｜2. 设向量a，b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度v1＝(m，8)，水流速度v2＝(6，0)，那么当航程最短时，船实际航行的速度为(　　) A.5 B.10 C.8 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 解析：如图所示， 设A1是河对岸一点，且AA1与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿AA1方向行驶时，航程 最短， 此时，｜v｜＝｜｜＝8，｜v2｜＝ ｜｜＝6，｜v1｜＝｜｜＝＝10， 所以当航程最短时船实际航行的速度大小为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.在△ABC中，点E是AB上靠近A的三等分点，F是CE上靠近C的三等分点，则＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析：由点E是AB上靠近A的三等分点，F是CE上靠近C的三等分点， 得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×＝＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知非零不共线向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，｜a－b｜＝2，则a·b的取值范围为(　　) A. B. C.(－1，8) D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 解析：设｜b｜＝m，m＞0，则｜a｜＝2m，由｜a－b｜＝2两边平方得，｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝4，整理得，a·b＝m2－2， 因为a，b是非零不共线向量，所以｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜＜｜a｜＋｜b｜，即m＜2＜3m，解得＜m＜2， 此时函数f(m)＝m2－2单调递增，故－＜f(m)＜8，即a·b的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论不正确的是(　　) A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件 B.对于任意向量a，都有0∥a C.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 D.两个非零向量a与b夹角的范围是[0，π] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AC 解析：对于A，a∥b且｜a｜＝｜b｜，当a，b方向相反时，a＝－b，即a∥b且｜a｜＝｜b｜不是a＝b的充要条件，A错误； 对于B，零向量与任意向量共线，B正确； 对于C，当a⊥b时，a·b＝0，C错误； 对于D，两个非零向量a与b夹角的范围是[0，π]，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知向量a＝(－2，0)，b＝(1，1)，则下列结论正确的是(　　) A.｜a｜＝｜b｜ B.(a＋b)∥b C.a与b的夹角为π D.a在b上的投影向量为(－1，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 CD 解析：对于A，｜a｜＝＝2，｜b｜＝＝，故A错误； 对于B，a＋b＝(－1，1)，而b＝(1，1)，故(a＋b)与b不共线，故B错误； 设向量a与b的夹角为θ. 对于C，cos θ＝＝＝－，由于θ∈[0，π]，故a与b的夹角为π，C正确； 对于D，a在b上的投影向量为｜a｜cos θ·＝·＝b＝－b＝(－1，－1)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.在▱ABCD中，｜｜＝｜｜＝12，·＝72，设＝λ＋μ，其中λ，μ∈[0，1]，则下列命题是真命题的是(　 　) A.向量与的夹角为 B.当点Q在线段AC上时，λ＝μ C.当λ＋μ＝1时，点Q在对角线BD上 D.当3λ＋μ＝时，点Q在某线段上运动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BCD 解析：设向量与的夹角为θ. 由·＝·＝｜｜·｜｜·cos θ＝144cos θ＝72，得cos θ＝，因为θ∈(0，π)，所以向量与的夹角为，A错误； 当点Q在线段AC上时，设＝k＝k(＋)＝k＋k，则λ＝μ＝k，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当λ＋μ＝1时，Q，B，D三点共线，则点Q 在对角线BD上，C正确； 如图，在AB，AD上分别取点N，M，使得 ＝6，＝2， ＝λ＋μ＝6λ＋2μ， 若3λ＋μ＝，则6λ＋2μ＝1，得Q，N，M三点共线， 所以点Q在线段MN上运动，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，1)，若(λa＋b)⊥a，则λ＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 － 解析：由(λa＋b)⊥a，可得(λa＋b)·a＝λa2＋a·b＝λ[12＋(－1)2]＋1×2＋(－1)×1＝0，即2λ＋1＝0， 解得λ＝－. 13.若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则｜F1＋F2｜＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析：由题意，向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2， 可得F1＋F2＝＋＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)， 所以｜F1＋F2｜＝＝. 14.设点P是△ABC的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F 两点，已知＝3，＝k，则k＝____；若AB＝4，AC＝6，则 ·＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析：延长AP交BC于点D，则D是线段BC 的中点，故＝＋. 因为E，P，F三点共线，所以＝λ＋ (1－λ)＝λ＋. 因为P是△ABC的重心，所以＝＝＋， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以解得k＝. 因为＝－， 所以·＝(＋)·(－)＝×(62－42)＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，且向量a与b的夹角为60°. (1)求a·b与(2a－b)·(a＋b)的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由已知得a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝1， 所以(2a－b)·(a＋b)＝2｜a｜2＋a·b－｜b｜2＝8＋1－1＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若向量ka＋b与ka－b互相垂直，求实数k的值. 解：已知ka＋b与ka－b互相垂直，所以向量(ka＋b)·(ka－b)＝0， 即k2｜a｜2－｜b｜2＝0，4k2－1＝0，所以k＝或k＝－. 16.(15分)已知点A(1，1)，B(3，5)，C(－2，5)，D(－3，3)， (1)设向量在上的投影向量为m，求m的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：∵A(1，1)，B(3，5)，C(－2，5)，∴＝(2，4)，＝(－3，4). 设向量与的夹角为θ. ∵向量在上的投影向量为m， ∴m＝｜｜cos θ·， m＝｜｜cos θ·＝｜｜··＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)证明：四边形ABCD是直角梯形. 证明：∵A(1，1)，B(3，5)，C(－2，5)，D(－3，3)， ∴＝(2，4)，＝(－1，－2)，＝(－5，0)，＝(－4，2)， ∴＝－2，又∵AB，CD没有交点，则AB∥CD. ∵·＝－4×2＋2×4＝0，·＝－1×(－4)＋2×(－2)＝0， 可得AB⊥AD，AD⊥CD，∴四边形ABCD是直角梯形. 17.(15分)在△ABC中，＝，＝，＝λ，λ∈(0，1)，设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：因为＝，＝a，＝b， 所以＝－＝－＝a－b. 因为＝，所以＝， 所以＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λa＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若AB＝3，AC＝2，∠CAB＝60°，则当CD⊥EF时，求λ的值. 解：当CD⊥EF时，·＝0， 即·＝0， 所以λa2＋a·b－λa·b－b2＝0， 所以λa2＋a·b－b2＝0. 因为a2＝9，b2＝4，a·b＝｜a｜·｜b｜cos 60°＝3， 所以×9λ＋×3－×4＝0， 故λ＝. 18.(17分)如图，在△ABC中，＝λ，＝，其中λ∈(0，1)，CP的延长线与AB交于点F.已知｜｜＝4，｜｜＝3，∠BAC＝. (1)若λ＝，请用向量，表示向量，并求｜｜的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以｜｜2＝＝＋ ·＋， 因为｜｜＝4，｜｜＝3，∠BAC＝， 所以｜｜2＝×16＋×4×3×cos＋×9＝， 所以｜｜＝. (2)若＝μ，μ∈(0，1)，证明：3λ＋＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 证明：法一：由C，P，F三点共线，可设＝k，k∈(0，1). 因为＝λ，λ∈(0，1)， 所以＝＋＝＋k＝＋k(－)＝k＋(1－k)＝kμ＋(1－k)·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)得＝＋，所以 所以以3λ＋＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法二：因为＝μ，μ∈(0，1)，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝＋， 因为C，P，F三点共线，所以＋＝1， 即3λ＋＝4. 19.(17分)设平面内两个非零向量m，n的夹角为θ，定义一种运算“ ”：m n＝｜m｜｜n｜sin θ.试求解下列问题： (1)已知向量a，b满足a＝(2，1)，｜b｜＝2，a·b＝4，求a b的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由已知a＝(2，1)，得｜a｜＝， 所以a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ＝4⇒2cos θ＝4，即cos θ＝， 又0≤θ≤π，所以sin θ＝， 所以a b＝｜a｜｜b｜sin θ＝2×＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用坐标x1，y1，x2，y2表示a b. 解：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则｜a｜＝，｜b｜＝， 所以cos θ＝＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 sin θ＝ ＝＝， 所以a b＝｜a｜｜b｜sin θ＝｜x1y2－x2y1｜. ②在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，B(－1，2)，C(0，4)，求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：＝(－3，1)，＝(1，2)， 所以 ＝｜－3×2－1×1｜＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)已知向量a＝，b＝，α∈，求a b的最小值. 解：由(2)得a b＝｜a｜｜b｜sin θ＝｜x1y2－x2y1｜， 故a b＝＝＋， ＋＝(cos2α＋sin2α)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即tan α＝时等号成立， 所以a b的最小值是9. $$