午练17 空间图形的表面积和体积-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

午练17　空间图形的表面积和体积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则圆台的体积为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. A 解析：因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为， 所以圆台的高h＝＝， 所以圆台的体积V＝(π×12＋π×32＋π×1×3)×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝，BC＝，则该球的表面积为(　　) A.4π B.8π C.16π D.32π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 解析：由题意可知，AB，AC，AP两两互相垂直， 如图，将三棱锥补成长方体，四面体PABC的外接球和长方体的外接球是同一个外接球， 所以2R＝＝＝4， 所以该球的表面积S＝4πR2＝16π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为(　　) A. B. C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 解析：设甲圆台的高为h1，乙圆台的高为h2，则h1＝＝2r， h2＝＝2r， 所以圆台甲的体积V1＝(πr2＋4πr2＋2πr2)×2r＝πr3， 圆台乙的体积V2＝(πr2＋4πr2＋2πr2)×2r＝πr3， 所以圆台甲、乙的体积之比为＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V＝(3R－h)h2，其中R是球的半径，h是球缺的高.已知该灯笼的高为40 cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为(取π＝3)(　　) A.33 664 cm3 B.33 792 cm3 C.34 674 cm3 D.35 456 cm3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 解析：该灯笼去掉圆柱部分的高为40－8＝32 cm，则R－h＝＝16 cm， 由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有(R－h)2＋122＝R2， 即162＋122＝R2，可得R＝20，则h＝4， V＝2V圆柱＋V球－2V球缺＝2×4×122×π＋×π×203－2×(60－4)×42＝3 456＋32 000－1 792＝33 664. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.(多选)在高为3的正三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1＝4，且上底面的面积为，则(　　) A.正三棱台ABC－A1B1C1的下底面的面积为4 B.正三棱台ABC－A1B1C1的下底面的面积为3 C.正三棱台ABC－A1B1C1的体积为7 D.正三棱台ABC－A1B1C1的体积为8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AC 解析：因为正三棱台ABC－A1B1C1的下底面的面积为×42＝4， 所以正三棱台ABC－A1B1C1的体积V＝×3×(＋4＋)＝7， 则A，C正确，B，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.(多选)已知圆台O1O2的上、下底面圆的直径分别为2和6，母线长为4，则下列结论正确的是(　　 ) A.该圆台的高为2 B.该圆台的体积为 C.该圆台的外接球的表面积为π D.挖去以该圆台的上底面为底面、高为2的圆柱，剩余的几何体的表面积为30π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD 解析：如图所示，ABCD为轴截面，点C， D在下底面的投影分别为F，E， 由题意可知，AB＝6，CD＝2，AD＝4，则AE＝＝2. 对于A，该圆台的高为DE＝＝2，故A错误； 对于B，圆台的体积为×(9π＋π＋)×2＝，故B正确； 对于C，由题意可知，外接球的球心O∈O1O2，设外接球的半径为R， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为即 解得 所以该圆台的外接球的表面积为4πR2＝π，故C正确； 对于D，由题意可知，剩余的几何体的表面有上、下底面圆面，圆台、圆柱的侧面， 所以剩余的几何体的表面积为9π＋π＋(3＋1)×4π＋π×2×2＝30π，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为__. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则＝＝， 所以h＝＝2r＝2，r＝，所以圆锥的体积为πr2h＝. 8.将一个底面半径为2，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12π 解析：设实心铁球的半径为r， 由题意可知22×π×＝×πr3，得r＝， 故实心铁球的表面积为S＝4πr2＝12π. 9.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD＝1，BC＝3，CD＝2，AC＝，BC⊥PC，PC＝PD，侧面PCD⊥平面ABCD. (1)证明：BC∥平面PAD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明：因为AD＝1，CD＝2，AC＝，即AC2＝AD2＋CD2，所以AD⊥CD， 如图所示，取CD中点E，连接PE，BE， 因为PC＝PD，所以PE⊥CD， 又侧面PCD⊥平面ABCD，侧面PCD∩平面ABCD＝CD， 所以PE⊥底面ABCD， 而BC⊂底面ABCD，所以PE⊥BC， 因为BC⊥PC，PC∩PE＝P，PC，PE⊂平面PCD， 所以BC⊥平面PCD， 因为CD⊂平面PCD，所以BC⊥CD， 所以BC∥AD， 因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)若直线BP与平面ABCD 所成角的正切值为，求三棱锥P－ABC的体积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：由(1)知PE⊥底面ABCD，且BE＝ ＝，AD∥BC， 则直线BP与平面ABCD所成的角为∠PBE， 即tan∠PBE＝＝⇒PE＝2， S△ABC＝BC·CD＝3， 故三棱锥P－ABC的体积为V＝PE·S△ABC＝2. $$