第9章 培优微突破1 利用向量坐标方法解决平面几何中的问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

培优微突破1　利用向量坐标方法解决平面几何中的问题 第9章 平面向量 对于以图形为背景的向量相关的题目，只需把握图形的特征，建立恰当的平面直角坐标系，并写出相应点的坐标，通过计算即可求解.一般用图形中已有的垂直关系来建立平面直角坐标系. [微重点] [例]　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，DE＝2EC，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，求·的最小值. 解　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分 别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， 则A(0，0)，B(3，0)，D(0，2)，E(2，2)， M(3，1)， 所以＝(3，0)，＝(0，2)， 令＝λ＋(1－λ)＝(3λ，2－2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ，2－2λ)(0≤λ≤1)，则＝(2－3λ，2λ)(0≤λ≤1)，＝(3－3λ，2λ－1)(0≤λ≤1)， 即·＝(2－3λ)(3－3λ)＋2λ(2λ－1)＝13λ2－17λ＋6(0≤λ≤1)，当λ＝ 时，·取得最小值. [微训练] 已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点(含端点)，则(＋)·(＋)的取值范围是(　　) A.[4，12] B.[4，20] C.[8，20] D.[8，24] D 解析：以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)，设D(x，0)， x∈[－2，2]， 则＝(－x，2)，＝(－2－x，0)，＝ (2－x，0)， 所以(＋)·(＋)＝(－2－2x)(2－2x)＋12＝4x2＋8， 因为x∈[－2，2]，所以4x2＋8∈[8，24]. $$