14.3 统计图表-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

14.3　统计图表 第14章 统计 [学习目标]　1.掌握常用的几种统计图表的功能及其特点.　2.掌握频率分布表的作法以及频率直方图的画法.　3.能针对实际问题和收集到的数据特点，选择科学的统计图表，并能从统计图表中获取有价值的信息. [素养目标]　水平一：1.掌握频率分布直方图的画法.(直观想象)　2.频率分布直方图对数据总体的估计的理解.(数学抽象) 水平二：1.掌握各种统计图表.(逻辑推理)　2.会通过频率分布直方图求概率等.(数据分析) 　　要得到合理、科学的统计推断，需要对获得的数据进行统计分析.为此，就要将这些数据进行数学表示，并运用数学知识、方法加以研究.怎样用图表表示和分析数据呢？ 探究活动1　扇形统计图、折线统计图、频数直方图 内容索引 探究活动2　频率分布直方图 探究活动3　频率分布直方图的应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　扇形统计图、折线统计图、频数直方图 问题　初中所学过的统计图有哪些？ 提示　扇形统计图、折线统计图、条形统计图、频数直方图等. 知识生成 扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例；折线统计图可以看出变化趋势；频数直方图既能够反映分布状况，又可以表示变化趋势. 知识应用 [例1]　现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1 500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图. (1)图中D所在扇形的圆心角的度数为__________； 解　根据题意得360°×(1－40％－25％－20％)＝54°. (2)若2024年全市共有30 000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？ 解 根据题意得30 000×＝16 000(名)，则估计视力在4.9以下的学生约有16 000名. (3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？(合理即可) 解 建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力. 1.扇形图的特点 (1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比. (2)易于显示每组数据相对于总数的大小. 2.折线图的特点 (1)能清楚地反映事物的变化情况. (2)显示数据变化趋势. 跟踪训练 1.甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为(　　) A.150　　　　　　　　　 B.250 C.300 D.400 B 解析：因为甲组人数为120，占总人数的百分比为30％， 所以总人数为120÷30％＝400， 因为丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1－30％－7.5％＝62.5％， 所以丙、丁两组人数和为400×62.5％＝250. 2.某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”.乙说：“八年级共有学生264人.”丙说：“九年级的体育达标率最高.”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是(　　) A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.甲、乙和丙 B 解析：由扇形统计图可以看出，八年级共有学生800×33％＝264(人)； 七年级的达标率为×100％≈87.8％； 九年级的达标率为×100％≈97.9％； 八年级的达标率为×100％≈94.7％. 则九年级的达标率最高，则乙、丙的说法是正确的. 探究活动2　频率分布直方图 知识生成 频率分布直方图和频率折线图 (1)频率分布直方图 把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为______，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的______，这些矩形就构成了直方图，我们将这种直方图称为频率分布直方图. 组距 频率 (2)频率折线图 将频率分布直方图中各个矩形的上底边的______顺次连接起来，并将两边端点向外延伸______组距，就得到频率折线图，简称折线图. 中点 半个 知识应用 [例2]　为加强对中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表回答问题： 分组 频数 频率 [60，70) a 0.26 [70，80) 15 c [80，90) 18 0.36 [90，100] b d 合计 50 e (1)求a，b，c，d，e的值； 解　根据题意知，得分在[60，70)内的频数a＝50×0.26＝13，得分在[90，100]内的频数b＝50－13－15－18＝4，得分在[70，80)内的频率c＝＝0.30，得分在[90，100]内的频率d＝＝0.08，频率之和e＝1. (2)作出频率分布直方图. 解　根据题中频率分布表作出频率分布直方图，如图所示. 绘制频率分布直方图时的注意事项 1.制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是不是1来检验该表是否正确. 2.将数据分成互不相交的组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据的多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多. 3.频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率. 跟踪训练 3.有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：[10，15)，4；[30，35)，9；[15，20)，5；[35，40)，8；[20，25)，10；[40，45]，3；[25，30)，11. (1)列出样本频率分布表； 数据段 频数 频率 [10，15) 4 0.08 [15，20) 5 0.10 [20，25) 10 0.20 [25，30) 11 0.22 [30，35) 9 0.18 [35，40) 8 0.16 [40，45] 3 0.06 合计 50 1 解：由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表. (2)画出频率分布直方图及频率折线图. 解：频率分布直方图和频率折线图如图所示. 探究活动3　频率分布直方图的应用 知识应用 [例3]　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ 解　频率直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08. 又因为第二小组的频率＝， 所以样本容量＝＝＝150. (2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ 解　由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100％＝88％. (3)样本中不达标的学生人数是多少？ 解　由(2)知达标率为88％，样本容量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12. 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18. (4)第三组的频数是多少？ 解　第三小组的频率为＝0.34. 又因为样本容量为150， 所以第三组的频数为150×0.34＝51. 频率分布直方图的性质 1.因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率的大小. 2.在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. 3.＝样本容量. 跟踪训练 4.某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)求图中a的值； 解：依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005. (2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数. 分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90] x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 解：数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5(人)，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×＝20(人)，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×＝40(人)，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×＝25(人)，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10(人). 1.理解4个概念 (1)扇形统计图. (2)折线统计图. (3)频数直方图. (4)画频率分布直方图的步骤. 2.掌握2种方法 (1)图表识别. (2)数据分析. 3.注意2个易错点 (1)频数分布直方图中小矩形的高代表意义理解不清. (2)频率分布直方图中每个小长方形的面积＝相应各组的频率. 备选题库 教师独具 1.(多选)某社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6％，49.0％，34.6％和3.8％，则适合表示上述调查结果的是(　　) A.柱形图　　　　　　　　 B.折线图 C.扇形图 D.频率分布直方图 AC 解析：柱形图和扇形图可用于表示百分比，折线图表示变化趋势，频率分布直方图是用面积表示频率. 2.下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是(　　) D 解析：用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图.注意B选项中的图不能称为统计图. 3.观察某医院某段时间内新生儿的体重，其频率直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)内的频率为(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析：由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)内的频率为0.001×300＝0.3. C 4.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本量是__________. 40 解析：设中间小长方形的面积为S，则S＝(1－S)，解得S＝，即中间一组的频率为. 又因为中间一组的频数为10， 所以样本量＝＝＝40. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.下面是两户居民家庭某月各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占月总支出的百分比作出的判断中，正确的是(　　) A.甲户比乙户大　　　　　 B.乙户比甲户大 C.甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：条形统计图反映具体数值，则由图甲可知，甲户教育支出占月总支出的百分比为1 200÷(1 200＋2 000＋1 200＋1 600)＝20％；从扇形统计图乙可知，乙户教育支出占月总支出的百分比为25％.所以乙户比甲户大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.8，则估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为(　　) A.14个 B.15个 C.16个 D.17个 B 解析：∵样本中数据在[20，60)上的频率为0.8， ∴样本中数据在[20，60)上的频数为30×0.8＝24， ∴样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为24－4－5＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.某网站对该网站的某服装店近50天每天的访客量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图，则访客量在125条以上的大约有(　　) A.1天 B.2天 C.3天 D.4天 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：因为访客量在125条以上的频率为1－(0.006＋0.009＋0.010 5＋0.012＋0.007 5＋0.003)×20＝0.04，所以访客量在125条以上的大约有50×0.04＝2(天). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.某商场一年中各月份的收入、支出(单位：万元)情况的统计如折线统计图所示，则下列说法正确的是(　　) A.1至2月份的收入的变化率与10至11月 份的收入的变化率相同 B.支出最高值与支出最低值的比是6∶1 C.第三季度月平均收入为60万元 D.利润最高的月份是2月份 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：对于A，1至2月份的收入是由 50万元增长到80万元，10至11月份的 收入是由50万元增长到70万元，增长 率不同，故A错误； 对于B，支出最高值为60万元，最低值为10万元，支出最高值与支出最低值的比是6∶1，故B正确； 对于C，第三季度月平均收入为＝50(万元)，故C错误； 对于D，利润最高的月份是3月份和10月份，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)根据给出的三幅统计图，判断正确的选项是(　　) A.从折线统计图中能看出世界人口随时间的变化情况 B.预测2050年非洲人口大约达到15亿 C.预测2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：易知A是正确的；从条形统计图中可得到：预测2050年非洲人口大约达到18亿，所以B是错误的；从扇形统计图中可得到：预测2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，所以C是正确的；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年哪个洲人口增长速度最慢，所以D是错误的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图. 下列说法正确的是(　　) A.月收入低于5 000元的职工有5 500名 B.如果个税起征点调整至5 000元，估计 有50％的当地职工会被征税 C.月收入高于或等于7 000元的职工约为 当地职工的5％ D.根据此次调查，为使60％以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000，6 000)内 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：月收入低于5 000元的职工有10 000×(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25)×1 000＝5 500(名)，A正确；如果个税起征点调整至5 000元，由(0.000 25＋0.000 15＋0.000 05)×1 000×100％＝45％，可估计有45％的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100％＝5％，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.为了了解某校高三年级学生的身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3∶2，则全校抽取学生数为__________人. 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：根据题图可知第四与第五组的频率和为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25， 因为从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3，第二小组频数为12， 所以前三个小组的频数为36， 从而男生有＝48(人). 因为全校男、女生比例为3∶2， 所以全校抽取学生数为48×＝80(人). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况，情况如饼图.则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师百分比为__________. 25％ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由35岁以下本科学历人数和占比可知，35岁以下教师总人数为50÷62.5％＝80，所以35岁以下有研究生学历的教师人数为80－50＝30. 所以35岁以下具有研究生学历的教师的百分比为×100％＝25％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)情况绘制的折线统计图如图所示，试根据折线统计图反映的信息回答下列问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图； 解：该市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)情况如下表： 日期/日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最低气温/℃ －3 －2 0 －1 1 2 0 －1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10％；最低气温为－2 ℃的有1天，占10％；最低气温为－1 ℃的有2天，占20％；最低气温为0 ℃的有2天，占20％；最低气温为1 ℃的有1天，占10％；最低气温为2 ℃的有3天，占30％. 绘制的扇形统计图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位：℃)的条形统计图； 解：绘制的条形统计图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)分析以上折线统计图、扇形统计图、条形统计图的特点. 解：折线统计图能很好地描述数据随时间的变化趋势；扇形统计图能更直观地描述各类数据占总数的比例；从条形统计图中可以更直观地看出不同数据的频数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求出x的值； 解：由题意可知， (0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x)×2＝1， 解得x＝0.075. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量n的数值； 解：设样本容量为n，样本中身高小于100厘米的频率为p1，所以p1＝(0.050＋0.100)×2＝0.30，而p1＝，所以n＝＝＝120. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数. 解：样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75， 所以身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数120×0.75＝90. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.(多选)如图是今年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中正确的是(　　 ) A.今年第一季度GDP总量和增速由高到低排 位均居同一位的省只有1个 B.与去年同期相比，今年第一季度五个省的 GDP总量均实现了增长 C.去年同期C省的GDP总量不超过4 000亿元 D.今年第一季度GDP增速由高到低排第5位的是A省 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由今年第一季度五省GDP情况图知， 在A中，今年第一季度GDP总量和增速由高 到低排位均居同一位的省有B和C，共2个， 故A错误. 在B中，与去年同期相比，今年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故B正确. 在C中，去年同期C省的GDP总量为4 067.4÷(1＋0.066)≈3 815.6(亿元)，不超过4 000亿元，故C正确. 在D中，今年第一季度GDP增速由高到低排第5位的是A省，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.为普及奥运知识，某校在各班选拔部分学生进行奥运知识竞赛.根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图.若要对40％成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为(　　) A.65分 B.75分 C.85分 D.95分 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：根据频率分布直方图可知，成绩在[90，100]的频率为0.018×10＝0.18，成绩在[80，90)的频率为0.044×10＝0.44， 因为＝0.22，0.18＋0.22＝0.4， 所以估计40％成绩较高的学生的分数在[85，100]之间，且最低分数可能为85分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图所示频率分布直方图. 根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是(　　) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6％ B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10％ C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：对于A：根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02＋0.04)×1×100％＝6％，正确；对于B：根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100％＝10％，正确；对于C：根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，错误；对于D：根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100％＝64％＞ 50％，正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.某高校在2024年的综合评价招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示： 组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165) 5 0.05 第2组 [165，170) ① 0.35 第3组 [170，175) 30 ② 第4组 [175，180) 20 0.20 第5组 [180，185] 10 0.10 合计   100 1.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为＝0.30，故①处填35，②处填0.30. 频率分布直方图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)为了选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试. 解：因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为＝，故第3组应抽取30×＝3(名)学生，第4组应抽取20×＝2(名)学生，第5组应抽取10×＝1(名)学生，所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3人，2人，1人. $$