12.2 第1课时 复数的加法、减法、乘法运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

12.2　复数的运算 第1课时　复数的加法、减法、乘法运算 第12章 复数 [学习目标]　1.掌握复数代数形式的加、减运算.　2.理解复数乘法的运算法则，能进行复数的乘法运算.　3.掌握共轭复数的概念及应用. [素养目标]　水平一：会进行复数代数形式的乘法运算.(数学运算) 水平二：理解共轭复数的概念.(数学抽象) 　　通过引进虚数单位i，我们把数集进行了扩充，实数可以进行四则运算，虚数单位i也可以与实数一起按照实数的运算法则进行运算.任意的两个复数又该如何进行运算呢？ 探究活动1　复数的加、减运算 内容索引 探究活动2　复数的乘法运算 探究活动3　共轭复数 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　复数的加、减运算 问题　如何确定一个复数？由确定复数的条件你能给出两复数相加的合适的方法吗？ 提示　一个复数是由实部和虚部共同确定，两个复数相加关键在于实部与虚部的运算，可以依照合并同类项进行. 1.复数加、减的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝_________________. 2.加法运算律 对任何z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝________； (2)(z1＋z2)＋z3＝______________. 知识生成 (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) [例1]　计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)； 知识应用 解　原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)； 解　原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R). 解　原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i. 复数的加、减运算 1.复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项. 2.两个复数相加、减所得结果依然是一个复数，其实部与虚部分别是两个复数的实部与虚部的和、差.注意：实部和虚部中间用“＋”. 提醒　复数中出现字母时，首先要判断其是不是实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加、减. 1.计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)； 跟踪训练 解：原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5. (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 解：原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i. 探究活动2　复数的乘法运算 问题　复数的加减法可以看作多项式相加减(合并同类项).两个一次式相乘有(ax＋b)(cx＋d)＝ax·cx＋adx＋bcx＋bd＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，两复数乘法能否进行类似运算呢？ 提示　可以(遇到i2化为－1). 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________＋(bc＋ad)i. 两个复数的积仍是__________. 知识生成 (ac－bd) 一个复数 2.乘法运算律 对于任何z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝______ 结合律 (z1z2) z3＝__________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________ z2 z1 z1(z2 z3) z1 z2 ＋ z1 z3 [例2]　计算下列各式的值. (1)(1－2i)(2＋i)(3－4i)； 知识应用 解　根据复数的乘法运算法则，展开化简可得(1－2i)(2＋i)(3－4i)＝(2＋i－4i－2i2)(3－4i)＝(4－3i)(3－4i)＝12－16i－9i＋12i2＝－25i. (2)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R. 解　根据复数的乘法运算法则，展开化简可得(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4. 复数的乘法运算技巧 1.复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似，结果利用i2＝－1化简. 2.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致. 3.对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如，平方差公式、完全平方公式等. 4.注意常见的恒等式：(1±i)2＝±2i. 2.下列运算结果为纯虚数的是(　　) A.i(1－i)　　　　　　　　 B.i(2＋i)2 C.i3(1＋i) D.3(1＋i)2 跟踪训练 D 解析：i(1－i)＝1＋i；i(2＋i)2＝－4＋3i；i3(1＋i)＝1－i；3(1＋i)2＝6i. 3.已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y＝_____. 2i 解析：因为xi－y＝－1＋i，所以 则(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i. 探究活动3　共轭复数 1.把实部______、虚部____________的两个复数叫作互为共轭复数. 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数记作，即＝a－bi. 3.当复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部b＝0时，z＝，也就是说，实数的共轭复数是________. 知识生成 相等 互为相反数 它本身 [例3]　已知复数z满足：z＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和. 知识应用 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z＝a2＋b2， ∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i， ∴解得 ∴a＋b＝4， ∴复数z的实部与虚部的和是4. 共轭复数性质的巧用 1.实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数. 2.若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 4.设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1是实数，则实数t等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C.－ D.－ 跟踪训练 A 解析：∵z2＝t＋i，∴＝t－i. z1＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i， 又∵z1∈R，∴4t－3＝0， ∴t＝. 1.牢记3个知识点 (1)复数的加减运算法则. (2)复数的乘法运算法则及运算律. (3)共轭复数的概念. 2.掌握1种方法——类比法 3.注意1个易错点 注意把i2换成－1. 备选题库 教师独具 1.(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为(　　) A.5－3i　　　　　　　　 B.3＋5i C.7－8i D.7－2i C 解析：(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i. 2.i(2＋3i)等于(　　) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2i D.－3＋2i D 解析：i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i. 3.i为虚数单位，若复数(1＋mi)(1＋i)是纯虚数，则实数m＝(　　) A.－1 B.0 C.1 D.0或1 C 解析：因为(1＋mi)(1＋i)＝(1－m)＋(1＋m)i是纯虚数，所以即m＝1. 4.若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝__________. 1－2i 解析：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i， 所以解得所以z＝1－2i. 法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由复数的性质可得z＋＝2a， 则2z＋＝(z＋)＋z＝3a＋bi＝3－2i， 所以解得所以z＝1－2i. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.若z－3＋5i＝8－2i，则z＝(　　) A.5－3i　　　　　　　　 B.11－7i C.8＋7i D.8－7i B 解析：由题意z＝8－2i＋3－5i＝11－7i，所以z＝11－7i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.计算(1＋i)(2＋i)＝(　　) A.1－i B.1＋3i C.3＋i D.3＋3i B 解析：(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i＝1＋3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为(　　) A.1 B.2 C.－2 D.－2或1 解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得 解得a＝－2. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知复数z＝(－i)i－(1＋i)(1－i)(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为(　　) A.－1＋i B.－1－i C.－i D.－－I 解析：z＝(－i)i－(1＋i)(1－i)＝(1＋i)－2＝－1＋i， 所以＝－1－i. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，若z1＋z2是实数，则(　　) A.z1∈R，z2∈R B.z1＝ C.z1∈R，z2∈R或z1＝ D.以上都不对 解析：若z1＝2＋i，z2＝1－i，则z1＋z2＝3为实数，而此时z1∉R，z2∉R，z1≠，所以A，B，C错误. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.互为共轭复数的两个复数之差必是纯虚数 B.互为共轭复数的两个复数之和不是纯虚数 C.任何复数的平方都是非负实数 D.互为共轭复数的两个复数的平方仍是共轭复数 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：选项A，如果复数为实数，那么共轭复数为它自身，它们的差为0，故A错误； 选项B，a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数，它们的和为2a，不是纯虚数，故B正确； 选项C，显然i2＝－1，不是非负实数，故C错误； 选项D，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，(a－bi)2＝a2－b2－2abi(a，b∈R)，它们互为共轭复数，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知z1，z2∈C，且z1＝2＋i，z2＝3－4i(其中i为虚数单位)，则z1－z2＝__________. －1＋5i 解析：z1－z2＝2＋i－3＋4i＝－1＋5i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知复数z＝＋i，z的共轭复数为，则z＝_____. 解析：复数z＝＋i的共轭复数为＝－i，所以z＝ ＝＋＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(1)计算：＋(2－i)－； 解：＋(2－i)－＝＋i＝1＋i. (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z. 解：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知复数z与(z＋2)2－8i都是纯虚数，求复数z. 解：因为复数z为纯虚数，所以设z＝bi(b∈R且b≠0)， 则(z＋2)2－8i＝(bi＋2)2－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i， 由于(z＋2)2－8i是纯虚数，所以得b＝－2，所以z＝－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则实数a，b的值分别为(　　) A.a＝－3，b＝－4 B.a＝－3，b＝4 C.a＝3，b＝－4 D.a＝3，b＝4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数， 所以4＋b＝0，b＝－4. 因为z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝ －3，b＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知复数z＝(3a＋2i)(b－i)的实部为4，其中a，b为正实数，则2a＋b的最小值为(　　) A.2 B.4 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵z＝(3a＋2i)(b－i)＝3ab＋2＋(2b－3a)i， ∴3ab＋2＝4，∴ab＝，∵a，b为正实数，∴2a＋b≥2＝2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故2a＋b的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.定义一种运算：＝ad－bc，则复数的共轭复数是__________. －1－3i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i， ∴其共轭复数为－1－3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(1)已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R. ①当a＝1时，求z1的值； 解：当a＝1时，z1＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i. ②若z1－z2是纯虚数，求a的值. 解：由题意z1－z2＝(a－1)＋2i为纯虚数，则a－1＝0，所以a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若复数z1满足(z1－2＋i)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2. 解：由已知，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则(z1－2＋i)(1＋i)＝(x＋yi－2＋i)(1＋i)＝x－y－3＋(x＋y－1)i＝1－i， 所以解得所以z1＝2－2i. 设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝2(1－i)(a＋2i)＝2[a＋2＋(2－a)i]， 因为z1z2是实数，所以2－a＝0，即a＝2，所以z2＝2＋2i. $$