11.2 第1课时 正弦定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

11.2　正弦定理 第1课时　正弦定理 第11章 解三角形 [学习目标]　借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. [素养目标]　水平一：结合教材实例理解正弦定理的推导过程.(逻辑推理) 水平二：能综合应用正弦定理、余弦定理解三角形，证明简单的问题.(数学运算、逻辑推理) 考古专家发现一块类似三角形刀状玉佩，其一角已破损.现测得如下数据：BC＝2.57 cm，CE＝3.57 cm，BD＝4.38 cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，如何计算原玉佩两边的长(精确到0.01 cm). 探究活动1　正弦定理 内容索引 探究活动2　已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 探究活动3　已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　正弦定理 问题　在课本中，用向量证明了＝＝.你还有其他方法吗？ 提示　还可借助外接圆或面积法来证明. 例如外接圆转化法. 如图所示，圆O是△ABC的外接圆，直径为AD＝2R，则∠C＝∠D， ∴sin C＝sin D＝， ∴2R＝(R为△ABC的外接圆的半径)， 同理可得2R＝，2R＝， ∴＝＝. 1.正弦定理 知识生成 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 _______＝＝ 文字叙述 三角形的各边与它所对角的_____的比相等 正弦 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (4)＝2R. [例1]　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝120°，a＝2，则b的值为(　　) A.2 B. C.2 D.3 知识应用 B 解析　由正弦定理＝，得＝⇒b＝. (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝(　　) A.1 B.2 C. D. A 解析　由sin B＝，C＝，得B＝，则A＝. 根据正弦定理＝，得b＝＝1. 已知三角形的两角和任意一边解三角形的思路 1.若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角. 2.若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边. 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b的值. 跟踪训练 解：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°. 由＝得，a＝＝＝10. ∵sin 105°＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， ∴b＝＝20×＝5＋5. 探究活动2　已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 [例2]　(1)在△ABC中，若A＝60°，BC＝，AC＝，则角B的大小为(　　) A.30° B.45° C.135° D.45°或135° 知识应用 B 解析　在△ABC中，由正弦定理可知＝，即＝， 所以sin B＝. 因为0°＜B＜180°，所以B＝45°或135°. 因为BC＞AC，所以A＞B，因此B＝45°. (2)在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝　 　　. 105°或15° 解析　由正弦定理＝，得 sin B＝＝＝. 因为0°＜B＜180°且b＞a， 所以B＝45°或135°， 所以C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法 1.由正弦定理求出另一边的对角的正弦值. 2.若已知角为大边所对角，由大边对大角知另一边所对的角为锐角，由正弦值可求得唯一角. 3.若已知角为小边所对的角，则不能确定另一边所对的角是不是锐角，由正弦值可求得两个角，此时要分类讨论. 2.在△ABC中，已知a＝2，c＝，A＝45°，解三角形. 跟踪训练 解：∵＝， ∴sin C＝＝＝， ∵0°＜C＜180°，c＞a， ∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°， b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°， b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 探究活动3　已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数 问题　我们知道，已知两边及其中一边的对角解三角形时有时有两个解，有时有一个解或无解，如何判定三角形的解的个数呢？ 提示　在△ABC中，已知a，b和A时，可利用sin B＝讨论. (1)若sin B＞1，无解. (2)若sin B＝1，有一解. (3)若sin B＜1，则得B的两个值，再由内角和定理或“大边对大角”等性质判定即可. [例3]　不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a＝5，b＝4，A＝120°； 知识应用 解　sin B＝＝×＜， 所以三角形有一解. (2)a＝9，b＝10，A＝60°； 解　sin B＝＝×＝， 而＜＜1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°＜B＜90°.满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解. (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 解　sin B＝＝sin C＞sin C＝. 所以B＞45°， 此时B＋C＞180°，故三角形无解. 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 1.应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. 2.在△ABC中，已知a，b和A，解的个数见下表：   A为钝角 A为直角 A为锐角 a＞b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a＜b 无解 无解 a＞bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a＜bsin A 无解 3.已知在△ABC中，b＝4，c＝3，C＝30°，那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 跟踪训练 B 解析：由正弦定理和已知条件，得＝， ∴sin B＝＜1， ∵b＞c，∴B＞C， 故B可能为锐角也可能为钝角. 1.牢记2个知识点 (1)正弦定理. (2)正弦定理的变形. 2.掌握2种方法——化归转化、数形结合 3.注意1个易错点 已知两边及一边的对角解三角形时易忽略分类讨论. 备选题库 教师独具 1.在△ABC中，一定成立的等式是(　　) A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A C 解析：由正弦定理＝， 得asin B＝bsin A. 2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足A＝，B＝，c＝2，则a＝(　　) A.＋1 B.－1 C. D. C 解析：由题意可得C＝π－－＝， 故由正弦定理＝，得a＝＝＝. 3.已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 C 解析：由正弦定理和已知条件，得＝， ∴sin B＝＞1，∴此三角形无解. 4.在△ABC中，若AC＝5，BC＝6，sin A＝，则角B的大小为　　　. 30° 解析：由正弦定理得＝，可得sin B＝＝＝. 由AC＜BC，可得B＜A，所以B＝30°. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组] 1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，sin B＝，b＝2，则a＝(　　) A. B. C. D. A 解析：由正弦定理得a＝·sin A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　) A. B. C. D. B 解析：由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝.因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝4，b＝4，C＝30°，则角A等于(　　) A.90° B.60°或120° C.30° D.30°或90° D 解析：由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝. 因为0＜B＜180°，且b＞c，所以B＝60°或120°， 所以角A的度数为90°或30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若△ABC的三个内角A，B，C满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则sin A＝(　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：由题意及正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，设a＝2t，b＝3t，c＝4t，(t＞0) 所以cos A＝＝， 所以A为锐角，故sin A＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B C.在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B D.在△ABC中，＝ ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：对于A，由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sin A＞sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理＝＝＝2R， 可得右边＝＝＝2R＝左边，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为　　. 解析：由cos A＝－，得sin A＝＝，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2R＝＝2，即△ABC的外接圆的半径为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝　　　. 2 解析：因为cos A＝，所以sin A＝.因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，又＝，所以b＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，bsin 2A＝asin B. (1)求角A的大小； 解：由bsin 2A＝asin B及正弦定理可知 2sin Bsin Acos A＝sin Asin B. 因为sin Asin B≠0，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若sin B＝，求c. 解：因为sin A＝sin ＝， 所以sin B＜sin A，所以B＜A， 所以cos B＝＝. 因为A＋B＋C＝π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝. 由正弦定理得c＝＝3××＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组] 9.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边.若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形(　　) A.有两个解 B.有一个解 C.无解 D.有无穷多解 B 解析：由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝，则“b＝”是“B＝”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：在△ABC中，a＝1，A＝，若b＝，则由正弦定理得＝，解得sin B＝. 因为b＞a，所以B＞A，B可为锐角也可为钝角， 所以B＝或B＝； 若B＝，则＝，所以b＝， 因此“b＝”是“B＝”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝，则c∶sin C＝　　　　. 2∶1 解析：因为cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0， 所以2cos2B－3cos B＋1＝0， 解得cos B＝或cos B＝1(舍去). 因为0＜B＜π，所以B＝， 由正弦定理得c∶sin C＝b∶sin B＝2∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围. 解：由正弦定理，得＝＝， 即＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C， ∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C ＝＋2sin B＋2sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ＝＋3sin B＋cos B ＝＋2sin. 又B∈， ∴B＋∈， ∴sin∈， ∴L∈(2，3]. 即△ABC的周长的取值范围为(2，3]. $$