专题06 正余弦定理（5大考点65题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学下学期苏教版

专题06 正余弦定理（5大考点65题） 5大高频考点概览 考点01正弦定理解三角形 考点02正余弦定理边角互化的应用 考点03余弦定理解三角形 考点04 正弦定理判定三角形解的个数 考点05 三角形面积公式及其应用 地 城 考点01 正弦定理解三角形 一、单选题 1．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 2．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，若，则的值为（ ）. A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，则. 故选：C 3．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】运用正弦定理即可求出，进而可求的值. 【详解】由正弦定理可得， 即， 因为，所以， 所以， 所以或， 故选：D 4．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：A 5．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（   ） A．320m B．340m C．360m D．380m 【答案】B 【分析】在中，根据题意可得.在中，利用正弦定理可求出的值，然后在中即可求解的值. 【详解】在中，，，∴. 在中，，， ，， ∴由正弦定理可得，∴. 在中，，，∴. 故选：B. 6．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，根据正弦定理得，在直角中，由勾股定理得，即可得，再将代入方程，化简即可. 【详解】 在中，由正弦定理得：. 所以，又， 所以，又，即， 所以，化简得， 则，故塔顶距离地面高度必定可以表示为. 故选：A. 7．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知在中，角所对的边分别为，满足 ，则下列条件能使成为锐角三角形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据余弦定理以及面积公式得出，A选项可判断为直角三角形；B根据余弦定理得出，可利用勾股定理判断；C利用正弦定理求出，再结合角的范围即可判断；D利用正弦定理求出，再结合角的范围即可判断. 【详解】因， 则在中利用余弦定理可得，，则， 因，则； 若，则为直角三角形，故A错误； 若，则由余弦定理可得， 则，则， 故为直角三角形，故B错误； 若，则由正弦定理可得，， 则， 因，则角在和内分别存在一值， 则可能为钝角三角形，故C错误； 若，则由正弦定理可得，， 则， 因，则，则，故为锐角三角形，故D正确. 故选：D 二、解答题 8．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段，和以为直径的半圆弧组成，其中为4百米，,为．若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，，，再修两条栈道，使. 记． (1)试用表示的长； (2)试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大. 【答案】(1) (2)与重合. 【分析】（1）连接，在解出，根据为直角三角形解得关于的函数；（2）在应用正弦定理，再使用二倍角公式与诱导公式化简，根据的取值范围解得栈道长度之和的最大值. 【详解】（1）由题意，连接．在中， 为4百米，，， ∴，，， ∵为直径， ∴， ∴. （2）由题意及（1）得， 在中， ， ∴， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即时，有最大值10百米，此时与重合， ∴与重合时，栈道长度之和最大，最大值是10百米. 9．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)如图，在中，已知为边上一点，．    (1)求的面积； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理，求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）法一：在中，利用正弦定理，求得，得到和 ，再由正弦定理，得到，即可求解； 法二：设，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理，可得， 又由，所以． 所以的面积为． （2）解：法一：在中，可得， 由正弦定理得，即，所以， 又由，所以，所以， 因为，且， 由正弦定理得， 可得. 法二：设， 在中，因为且， 由余弦定理，可得， 即，所以，解得． 地 城 考点02 正余弦定理边角互化的应用 一、单选题 10．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 11．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 12．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)在中， 若， 则的形状为（      ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式可得，即可得求解. 【详解】由正弦定理和可得， 故, 由于，故,结合为三角形的内角，故， 故三角形为直角三角形， 故选：A 13．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 故选：C. 14．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，又因为，所以，即可得，再根据特殊角正切值求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得： ，因为， 所以, ，因为， 所以，即，因为，所以. 故选：A. 二、多选题 15．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，且有一解，则的取值范围为 C．若，且，为的内心，则 D．若，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断A；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断B；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断C；由正弦定理得，再求出角的范围判断D. 【详解】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B正确； 对于C，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，C错误； 对于D，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，D正确. 故选：ABD 16．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件，利用正弦和差角公式，即可求解；对于B，根据条件，利用正弦定理边转角和余弦定理，即可求解；对于C，根据条件得，再利用辅助角公式，即可求解；对于选项D，利用、和差角公式及倍角公式，得到，从而有，构造函数，，求出的取值范围，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，又， 所以，得到， 又三角形为锐角三角形，所以，， 则，得到，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 整理得到，所以选项B正角， 对于选项C，因为，又由选项A知， 所以，得到，所以， 又，所以， 则，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，， 又 则， 设，令， 则，易知在上单调递增， 所以，即， 则，所以的取值范围是，故选项D正确， 故选：ABD. 17．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（    ） A． B．角B的范围是 C．若的平分线交BC于D，，，则 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得，结合三角形内角的性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设，则，，进而得到，应用三角恒等变换化简求值判断C；由，结合B分析即可得范围判断D. 【详解】由正弦边角关系有， 所以，又且， 所以，A对； 由上，可得，B错； 对于C，如下图示，设，则，， 由，则，且，则， 所以， 而，且，则，所以，C对； 由， 而，且在上单调递增，则值域为，D对. 故选：ACD 三、填空题 18．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________． 【答案】 【分析】由正弦定理边角互化，再化简求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得： 即 所以 又，所以， 又，， 解得或， 又，所以． 故答案为：． 19．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)《数书九章>是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c，求面积S的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即： ，现有的三边满足，则的最大值______． 【答案】 【分析】先利用正弦定理得，再设，则可化简得，再计算的范围，即可求最值. 【详解】在中利用正弦定理，可化简为， 设，则，则， 则， 则， 则， 因，则，得， 得， 则当时，有最大值. 故答案为： 20．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，若且，则________. 【答案】/ 【分析】由正弦定理边化角得出，再结合三角形面积公式得出，由余弦定理即可求得的值，即可求解． 【详解】， 因为，所以， 由， 由余弦定理得，， 因为，所以，则， 设，整理得，，解得或（大于1，舍去）， 所以， 故答案为：． 四、解答题 21．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. （2）因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 22．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，的对边分别为，，．已知． (1)若，求； (2)求的取值范围； (3)设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由和差化积公式及中角之间的关系化简已知等式，可得，得，再由，，即可求出； （2）（1）知，中角之间的关系求得，利用正弦定理可得的取值范围； （3）利用已知条件和三角形的面积公式化简，即可求得的值． 【详解】（1）因为在中，， 由和差化积公式得， 又在中，，则， 因为，所以， 则， 所以或（舍去），所以， 已知，所以，则. （2）由（1）知， 在三角形中，所以，即， 则， 所以，由正弦定理， 即的取值范围为. （3） 由（1）知，又， 则，， 在中，由正弦定理得，， 所以 又， 所以. 即. 23．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，求的值； (2)若，平分，求的值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． （3）在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 24．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． (1)求角B； (2)已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）选①时，用正弦定理把边化为角，约去不为的，得到与关系，进而求出，确定的值. 选②时，根据三角形面积公式化简条件，同样得到与关系，求出确定. 选③时，利用三角函数的两角和正切公式，结合已知条件求出，从而得到的值. （2）①通过三角形面积公式得出BD与ac的关系，再利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，进而得到BD的最大值； ②先根据正弦定理求出外接圆半径，再利用向量关系得到的表达式，通过三角函数的恒等变换化简，最后根据的取值范围求出的最大值，从而得到BD的最大值. 【详解】（1）选择①：条件即， 由正弦定理可知，， 在中，，所以，， 所以，且，即，所以 选择②：条件即， 即， 在中，，所以，则，所以，所以 选择③：条件即， 所以， 在中，，所以． （2）①因为的面积，所以 在中，由余弦定理得： 所以，从而 当且仅当取等．所以BD的最大值为 ②由正弦定理得：，R为外接圆半径， 因为， 则 因为，故当，即时，取得最大值 则BD的最大值为 25．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1)． (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间； （2）（ⅰ）由，得，由正弦定理可知； （ⅱ）由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角三角形，得角的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围． 【详解】（1）， 由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得， 所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）（ⅰ）已知，由，得， 由正弦定理，得，， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）可知，， ， 由△ABC是锐角三角形，有，得，， 则，所以， 即面积的取值范围是． 26．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)若，求的值； (3)求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将题设条件合理变形，结合正弦定理与两角和的正弦公式化简即可. （2）利用正弦定理得到，由题可得，再利用余弦定理即可求得的值. （3）结合已知结论得到，设，再对其合理变形得到，利用正弦函数的值域建立不等式，求解即得的最大值. 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理，， 则得，可得，即，得证. （2）由（1）和正弦定理，可得，又，则， 由余弦定理，. （3）由已知得，则， 可得(*)， ，则得，因，则，此时，不合题意， 故，将（*）两边同除以，可得，解得， 令，则， 化简得，则，其中, 可得，故， ，则， 得到，解得， 综上，的最大值为. 地 城 考点03 余弦定理解三角形 一、单选题 27．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，故. 故选：D. 28．(24-25高一下·江苏连云港·期中)某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（   ）    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求得. 【详解】由余弦定理，，解得. 故选：B. 29．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理可得： ， 所以， 所以， 故选：C 30．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出角，再利用角平分线性质和三角形面积公式得到bc的值，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的周长. 【详解】已知，移项可得. 因为（若，则，不满足），所以，即. 又因为，所以. 因为AD是角的平分线，所以. 根据三角形面积公式，可得. 可得：，即 两边同时约去可得. 由余弦定理，将，代入可得： ，即，即. 根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得： ， 将代入上式可得：，解得（负值舍去）. 的周长为. 故选：A. 31．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求得，在中，由余弦定理，求得，再由，得到，得出，结合基本不等式，求得，即可得到答案. 【详解】由，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 又由， 则， 所以， 令，可得，则， 因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 则，所以，所以， 即的最大值为. 故选：B. 二、多选题 32．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（    ） A．存在唯一的，使得 B．存在无数个，使得 C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得 【答案】ACD 【分析】由题意设，，，结合倍角公式及余弦定理逐个判断即可. 【详解】设，，，且， 由于边c最长，所以需满足，即，解得，故A正确；B错误； 由得，即，即， 因此有，即，所以， 代入本题数据有，解得，故C正确； 由得，即， 即，即， 即，即， 化简有，整理得，又，， 即，由求根公式可得：， 故无解，D正确． 故选：ACD 三、填空题 33．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为_____. 【答案】 【分析】由条件可得的值，再由余弦定理可得的值，代入完全平方公式即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 则，则， 所以的周长为. 故答案为： 34．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据重心、外心的性质，由平面向量数量积的运算化简可得，再利用余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图， 因为O是的外心，所以， 又G是的重心，所以为的中点，则， 则 ， 又，所以，即， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 则的最小值为. 故答案为：. 35．(24-25高一下·江苏江阴六校·期中)如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点，则______________；则_________________. 【答案】 【分析】在中，由余弦定理可得的值；由与的夹角即为，利用数量积求夹角的方法计算即可. 【详解】，， 在中，由余弦定理得：， . ， ， ， ，， 与的夹角即为， . 故答案为：；. 36．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______ 【答案】 【分析】在三角形中过作于，求出，再利用余弦定理解出，进而可求解. 【详解】 如图，过作于，的最小值为， ，得到， 又为锐角，， ，不妨设， 则， ，. 故答案为：. 37．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)如图，在四边形ABCD中，，，，，，的面积分别为，，则_______. 【答案】 【分析】设，，根据已知构建合适的直角坐标系，得，若轴，，得，应用差角正切公式列方程求得，再应用余弦定理、三角形面积公式得，即可得. 【详解】设，，构建如下图示直角坐标系，其中为原点， 且，若轴，，如上图示， 易知，则， 由， 所以，整理得，解得， 所以，， 由，即， ，， 所以. 故答案为： 四、解答题 38．(24-25高一下·江苏扬州第一中学·期中)在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)若的面积为是上的点，且，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）由（1）求得，，，代入三角形的面积公式，计算即可； （3）利用三角形的面积公式结合（1）和（2）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为，则，即，所以， 由余弦定理得. （2）由（1）知，所以， 因为，，所以， 由（1）知，所以， 所以的面积. （3）由（2）知， 因为，可得， 由（1）知，，故，，， 因为是上的点，且，则，， 由（1）知， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 39．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)在中，内角，，的对边分别为，，．已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，由及正弦定理可得，再利用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，根据三角形面积公式可解出的值.再结合及完全平方公式可得，代入题中条件即可求解； （3）由，利用辅助角公式可解出的值，利用三角形内角的关系可得的值，利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，，∴由正弦定理得，化简得， ∴由余弦定理可得. 又，所以. （2）由（1）知. 因为的面积为，解得. 由（1）可得，所以，即， 所以，解得（舍去）. （3）由（1）知. 由，得. 因为，所以，所以，即. ， 由正弦定理可知. 40．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)“堆云积雪，芳华绝代”，春天的南京，是玉兰花的盛宴.清凉山公园，灵谷寺，朝天宫，总统府……处处繁花似锦，处处风姿卓越，处处雅致茂盛.除白玉兰外，南京还有黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰.已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且. (1)当米时，求的长； (2)问：点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值. 【答案】(1)米 (2)当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米 【分析】（1）因为能得出的度数，在里用余弦定理列出关于的方程，求解方程并根据确定. （2）设，由平行得，在用正弦定理求出，进而得到面积表达式.把面积表达式化简为含三角函数的形式，根据三角函数性质求最大值，确定值，得出的位置. 【详解】（1）由，故 ， 在中，由余弦定理可得： . 即，即 . 解得，因为，所以 答：长为米.. （2）设，， 由，故，又， 在中，由正弦定理得，，即， 则， 令 ， 当，即时，， 所以 ， 此时位于的中点. 答：当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米. 41．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由，，利用同角三角函数的关系可求得和的值，结合题干条件即可求得，进而可得.利用三角形内角和定理及诱导公式即可求解； （2）在中，由余弦定理结合可得.结合题干条件可解得.再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，∵，，∴，. ∵，∴. 又，∴. ∴. （2）在中，∵，∴由余弦定理可得. ∵，∴，解得. ∴. 地 城 考点04 正弦定理判定三角形解的个数 一、单选题 42．(24-25高一下·江苏常州·期中)中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用正弦定理，结合大边对大角，小边对小角即可求解. 【详解】由正弦定理可得：，代入得：， 解得，因为，所以， 即， 故选：A. 43．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果. 【详解】由正弦定理可得，则， 因为，且满足条件的有两个， 所以，且（当时，三角形只有一解）， 此时，则. 故选：B 44．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据得到答案. 【详解】有两组解，需满足，即，， 所以a的值可以为8，B正确，ACD错误. 故选：B 45．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且， 因此，所以的取值范围为. 故选：C 46．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 二、多选题 47．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】对于A、B、D根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则, 因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 48．(24-25高一下·江苏徐州·期中)尺规作图是一种传统的几何作图方法，这种方法仅使用无刻度直尺和圆规这两种工具，通过有限次的操作步骤完成几何图形的构造.已知中，，现需用尺规作图作出该三角形，下列说法正确的有（    ） A．可以作出两个不同的三角形 B．作出的三角形中没有锐角三角形 C．作出的三角形中，三角形的面积不变 D．作出的三角形中，可能为锐角，也可能为钝角 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用正弦定理确定三角形的个数，再逐项判断. 【详解】在中，，由正弦定理得， 由，得，由，得或， 因此可以作出两个不同的三角形，可能为锐角，也可能为钝角，AD正确； 当时，，是钝角三角形；当时，是钝角三角形，B正确； 当时，；当时，， 的面积有两个不同值，C错误. 故选：ABD 49．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)设中角所对的边为，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则满足条件的三角形有且只有一个 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】ACD 【分析】由条件，利用余弦定理求，判断A，由 结合正弦定理求，由此判断B，由余弦定理可得的关系，结合基本不等式求面积的最大值，判断C，求周长的最大值，判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得，又，，， 所以，解得，A正确； 对于B，由正弦定理可得， 因为，，，所以， 所以，满足条件的角不存在，所以满足条件的三角形不存在，B错误； 对于C，因为，， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以面积的最大值为，C正确； 对于D，因为，， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最大值为，D正确； 故选：ACD. 50．(24-25高一下·江苏连云港·期中)已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（   ） A．当，，时，满足条件的三角形共有1个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，则三角形为等腰三角形 【答案】BD 【分析】利用正弦定理和余弦定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由正弦定理，，则， 故不存在满足条件的三角形，即A错误； 对于B，由正弦定理，， 设，则，由余弦定理，， 因，则，故这个三角形的最大角是，即B正确； 对于C，因，由余弦定理，， 因，故角为锐角，但不能说明为锐角三角形，故C错误； 对于D，由和正弦定理，可得，即， 因，故，所以，即，三角形为等腰三角形，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 51．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是_______ 【答案】 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的有两个，即三角形有两解， 所以，且，则， 即，解得， 则c的取值范围是. 故答案为：. 地 城 考点05 三角形面积公式及其应用 一、单选题 52．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式，结合等面积法可得，，解出，进而求解即可. 【详解】由题意，AD为的平分线，， 则， 由， 则，即，① 又， 则， 则，② 由①②可得，， 所以. 故选：C. 53．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件，利用表示，根据平面向量基本定理得出系数间的关系式，利用三角形面积公式得出所求比值为，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点， 则， 因为三点共线，所以可设， 设，则， 所以，即， 又因为为的重心，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 54．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【详解】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D 二、多选题 55．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则（   ） A．的最长边长为14 B．的三个内角满足 C．的三条高的和为 D．的中线的长为 【答案】ABD 【分析】由，得，则设，再结合面积公式及的面积可求出，从而可求出三边长，然后逐个分析判断即可. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 设，由的面积，得， 化简整理得，解得，则， 对于A，的最长边长为14，A正确； 对于B，由余弦定理得， 而，则，，B正确； 对于C，的三条高的和为，C错误； 对于D，由为的中线，得， ，D正确. 故选：ABD 三、填空题 56．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 【答案】/ 【分析】由“三斜求积”公式求解三角形的面积即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 57．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)在中，角的平分线交于，则_____________． 【答案】/ 【分析】根据面积公式，再结合二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】设， 由，得， 得， . 故答案为： 58．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________. 【答案】 【分析】根据给定条件，设，利用正弦定理把表示成的函数，再利用正弦函数的性质及三角形面积公式求出最大值. 【详解】由，，，得， 设，，当时，重合，，； 当时，重合，，； 当时，，，， 在中由正弦定理，即，则， 在中由正弦定理，即，则， 于是 （其中锐角由确定）， 当且仅当时取等号，而， 因此，， 所以三角形的面积的最大值是. 故答案为： 四、解答题 59．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，所以，进而得到，即可求得的大小； （2）由正弦定理化简得到，再由为锐角三角形，得到，求得的范围，进而得到的取值范围； （3）由余弦定理得和，得到，化简，根据，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 所以， 因为， 所以， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）解：由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 则，可得，所以. （3）解：由余弦定理，可得，即， 又由 则， 由 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，则，即， 所以，即的取值范围为. 60．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，已知为边上一点，满足，. (1)若，，求的面积； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到，再由将两边平方，即可求出，再由计算可得； （2）根据边长关系得到，结合三角形面积公式和即可得解； 【详解】（1）因为，，所以，且， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以，解得（负值已舍去）， 所以;    （2）因为为上一点，满足， 所以，所以， 因为，所以， 所以，又，所以；    61．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. (1)求角的大小； (2)若，，为的重心，求的长； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)给出了三个不同的条件，分别通过三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理等知识来求解的度数. (2)由余弦定理求出BC的长度，再求出cos B，然后在利用余弦定理求出AM的长度，最后根据重心性质求出AG的长度. (3)利用正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，然后通过三角函数的恒等变换将表达式化简为只含有的形式，最后根据C的取值范围确定的取值范围，进而得出m的取值范围. 【详解】（1）方案一：选条件①. 由题意可得，. 为的平分线，， ，即 又，，即， ，， ，. 方案二：选条件②. 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ，. 方案三：选条件③. 由正弦定理得，， 又， ， ， 易知， ，，. （2）法1 延长交于点，因为为三角形的重心， 所以为的中点， 所以， . 法2 在中，由余弦定理可得，， ，. 延长交于点， 为的重心，为的中点，且. 在中，由余弦定理可得，， ，. （3） 因为，所以， 从而 62．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)在 中， 内角的对边分别为，且． (1)求角B； (2)若边的面积为角A的平分线交边于点D，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，诱导公式即可求解； （2）由余弦定理得出和，再根据等面积法和三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）， 所以或，即或（舍）， 所以． （2）因为的面积为 所以， 由余弦定理得，， ， 由得，， 解得． 63．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)复兴中学有一直径为8米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的C处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形CEF，点E，F在直径AB上(如图所示).其中张角.    (1)若喷灌的有效覆盖区域面积为，求； (2)设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中求出，在再中利用面积公式表示出，利用余弦定理表示出，再结合完全平方公式可求得结果； （2）在和中分别利用正弦定理表示出，然后表示出，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1）由已知得 为直角三角形， 因为 ， 所以， 设点到的距离为，则， 所以，得， 因为， 所以，得， 在中，由余弦定理得, 即，得， 所以， 所以； （2）因为，所以 ， 所以， 则. 在中，由正弦定理得：，得， 所以， 在中，由正弦定理得：, 得， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当，即时，取得最大值. 所以，喷灌的有效覆盖区域的最大面积为. 64．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)设的内角的对边分别为，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为且 ，求的值; (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将放在坐标系中，为原点，设，，利用，即可求得，得到的范围，利用面积公式表示出三角形的面积，即可求得最大值； （2）由是中点，所以的面积是面积的一半，即可求得的长，利用余弦定理求出的长，即可利用正弦定理求出； （3）以为原点建立坐标系，设，利用向量数量积的变形，表示出，即可求得结果. 【详解】（1）如图，将放在坐标系中，为原点， 设，， 因为，所以， 又， 所以， 解得， 即，即，又， 可得， 又面积， 所以当时，面积的最大，且为. （2）在中，的面积为， 因为是中点，所以的面积是面积的一半， 即，所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，，即， 所以. （3）如图，以为原点，建立坐标系， 则，设，则， 又， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以，， 即的取值范围为. 65．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若且，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先根据两角差的正切公式结合可得，再结合同角三角函数的基本关系求得，进而求得，由正弦定理可得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据正弦定理可得，，进而根据三角恒等变换化简的周长为，再根据正切函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，即， 根据正弦定理得，， 则， 则， 则， 因为，所以， 则，即. （2）由（1）知，， 在中，由， 则，且， 则，即， 解得（舍去）或， 又，且， 解得， 所以 ， 由正弦定理得，， 则，解得， 则. （3）由正弦定理得，， 则，所以，， 则的周长为 ， 由，则，即， 又，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题06正余弦定理(5大考点65题) ☆5000考点概知 考点010000解三00 考点02000000000000 考点030000解三00 考点04000000三00解000 考点05三0000000000 目目 考点01 正弦定理解三角形 一、单选题 1.24-25商-下-江苏南京协同体十校期中)准△8C中，B=25,∠B1C=60,∠BC=75,则 BC=() A.2 B.3 C.v6 D.25 2.(24-25高一下-江苏南通海门实验学校期中)在△ABC中，若4C=V7,BC=2,B=60° 则sinA的值为 (). √5 √5 V21 A.6 B.3 C.7 D.1 3.(24-25高一下-江苏南京六校联合体期中)在△ABC中，角4,8，C的对边分别为a,b,G,a=2W5 b=2,B=π 6,则角4的值是() A.6 B.3 π5π π2π C.6或6 D.3或3 4.(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平 面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=a,∠BDC=BCD= ,在点C测得塔顶A的仰角为， 则塔高AB为() 1/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 s,sinβtanθ s.sinB A.sin(a+B) B.sin(a+B)tan s-sinβsin0 ssinβ C.sina+β) D.sin(a+B)sin 5.(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置一一大市口商圈；它是一 座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN,在苏宁广 场的正东方向找到一座建筑物AB,高约为I7Om,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部 A,苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为 () M 150.☑A 45入30° C B A.320m B.340m C.360m D.380m 6.(24-25高一下·江苏无锡第一中学期中)龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感 受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，400多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰 地灵有同学想测量塔项A距离地面的高度选取与山脚B在同一水平面的两个测量基点C与D现测得 ∠ACD=a,∠1DC=B,CD=s,在C和D处测得4的仰角为°和心，则塔顶距离地面高度“必定可以 C 0.δ 表示为() sin Bsine sina sinδ A.sin(a+B) B.sin(a-B) 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 sin a sin B sinδsinO C.sin(a D.sin(8-9) 7.(Q425高一下江苏常州田家炳高级中学期中)已知在△1BC中，角 A,B.C a,b,c 所对的边分别为，满足 a+b2-c2-43y 3S,c,则下列条件能使△ABC成为锐角三角形的是() A.A-π 6 B.a=2,b=4 C.b=3,c=2 D.a=2,c=3 二、解答题 8.(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB,AC和以 BC为直径的半圆弧BC组成，其中AC为4百米，AC⊥BC,A为3·若在半圆弧BC,线段AC,线段 B上各建一个观赏亭D,E,F, ，再修两条栈 DE,DF焦DE1IAB,DFIIAC.记 ,使 D E (1)试用B表示BD的长： (2)试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大、 9.(24-25高一下江苏南京中华中学·期中)如图，在△ABC中，己知D为边BC上一点， 3/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 AD=10,AC=14.DC=6 △ADC (1)求 的面积； (2)若1B=5V6 求BD的长。 目目 考点02 正余弦定理边角互化的应用 一、 单选题 10.(24-25高一下·江苏南京协同体十校期中)在△ABC中，其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 acos B-bcos A=C,则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 1Ⅱ.(2425高一下-江苏盐城五校：期中)在A1BC中，角4、R、C所对边分别为a,h、c若2sn9=二C 2a 则该三角形一定是() A.正三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形 12.(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)在△ABC中，若acosB+bcosA=csinA,则△ABC的形 状为() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 13.(24-25高一下·江苏镇江徐州七校期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2, b+c A=150°，则 inB+sinc=(） A.2 B.2V5 C.4 D.4V5 14.(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学期中)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C对边， 若cosC+asinC-b=0,则A-() 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A君 π 2π 5π B.3 C.3 D.6 二、多选题 15.(2425高一下江苏扬州中学期中在△18C中，角48，C a,b,c 对的边分别是且 3 bcos C+3 ccos B=a,则下列说法正确的是() A.a=3 B。若4-云，且A4C有解，则6的取值范围为QU6 ,若A=2C,且sinB=2sinC,0为△4BC的内心，则S心=333 4 D.若C=2 2A,则的取值范围为 3,6) ABC A,B,C 16.(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学期中)在锐角三角形中，角 所对的边分别 sinC-sin4=2sinAcos ,则() A.B=24 B.b=atac C.I<sin4+c0s4<3+1 2v2 4sin24 2 D.3 4sind-sinc 17.(24-25高一下·江苏盐城五校期中)在锐角△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且 c+b=2 a cos B.则下列说法正确的是() A.A=2B π 0, B.角B的范围是( 4 .若B4C的平分线交BC于D,D=2snB=m'+9 5,则6+。5 5/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 √225 D. 的取值范固足 2,3 三、填空题 18.(24-25高一下·江苏常州六校联合体期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 bcosC+bsinC=a+c,则B= 19.(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)《数书九章>是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书 十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其 中在卷五“三斜求积”中提出了：己知三角形三边a,b,c,求面积S的公式.这与古希腊的海伦公式完 全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之， 为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即： a2+c2-b2 4 2 现有 的三边满足 ,则S的最大值 △ABC a,b,c bsin B+2csin C=4asin A a2 20.(24-25高一下·江苏南京六校联合体期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的 面积5-，若>B且cosB=a-b:则m4 sin B 四、解答题 A,B,C 21.24-25高一下江苏南京师范大学附属实验学校期中已知，6‘分别为△MBC三个内角4，，C 的对边， V3 且bcos 3 -asin B=0 (I)求A: 3W5 (2)若c=3,且△ABC的面积为2，求△ABC的周长. 22.(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C. 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 已知cos2B-cos2A=2 sin Bsin C. (1I)若B=C,求A; (2)求号的取值范围： 白设D是边C上一点，若8=合 tan∠CAD=3-l S 2,记△ABD,△ADC的面积分别为S,S2,求S2 的值. 23.(24-25高一下·江苏南京外国语学校期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 2bcosA+b=c. (1)诺B= 4,求C的值： 包考西=丽，D半分<a4C,求C的值 (3)若△ABC为锐角三角形，且b=1,求△ABC周长的取值范围. cos 24.(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)在① tanA+tanC+5=V5 tan tanC,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且· (1)求角B: (2)已知b=V ,D为线段AC上的一点. ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若AD=2DC,求BD的最大值 25.(24-25高一下江苏常州六校联合体期中)已知m-(V5sin0 w.cos@x 1 n=o0sox,-cosor(o>0,x∈R,，fd=m:i-2,且f)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2， 山)求函数（刊的单调递增区间： 2若锐角△1BC的内角B,C的对边分别为“，6c,且b=V5,f(8)=0 7/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 a+c （i）求sinA+sinc的值. (ⅱ)求△ABC面积的取值范围. 26.24-25高一-下-江苏南通海门实验学校期中在△1BC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,acos B-2acosC=(2c-b)cos A (I)证明：sinC=2sinB; 2)诺c=V3a 求cosB的值： (3)求tanB的最大值. 目目 考点03 余弦定理解三角形 一、单选题 27.(24-25高一下·江苏无锡第一中学期中)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,若 a=33,c=2,B=, =6,则6=（) A.6 B.7 C.8 D.3 28.(24-25高一下·江苏连云港·期中)某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山 绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据如图所示，测得 ∠C=120°，BC=3千米，AC=5千米，则A,B间的直线距离约为() B A.6千米 B.7千米 C.8千米 D.5千米 29.(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学期中)在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a, 6:。:若c2-a-+45,且C=行，则6BC的面积为() 9√5 3w5 A.35 B.2 C.3 D.2 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 30.(24-25高一下·江苏镇江徐州七校期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, n4+V3csAE0D在边BC上，MD是角A的平分线，ADa,则ABC的周长为() A.3+V万 B.4+V万 C.5+6 D.6+V万 31.(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是 a,b,c,c=1' AB.BC=1 F2,则tanc的最大值为(） √3 √5 √5 A.4 B.3 C.2 D.√3 二、多选题 32.(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a, b,c.已知a<b<C,且a,b,c为连续正整数，则() A.存在唯一的△ABC,使得C=90°B.存在无数个△ABC,使得C=90 C.存在唯一的△ABC,使得C=2AD.不存在△ABC,使得C=3A 三、填空题 33.(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学期中)在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别a,b, 3V10 c,已知2a=2+c2,若a= “2, C0s4=5 8,则△ABC的周长为 34.(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在△ABC中，O是△ABC的外心，G是△ABC的重心，且 OG,BC-BC,则co4的最小值为 2 35.Q4-25高一下江苏江阴六校期中)如图，在△1BC ∠BAC=120°AB=2,AC=4, D 中，已知 ，点在 BC上，且BD=2DC,点E是AC的中点，连接AD,BE相交于O点，则BE= ；则 os∠EOD= 9/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D 36.(24-25高一下江苏南京协同体十校期中)在△4BC中，∠BAC为锐角， AC=2AB ,且对于t∈R, B-1aC的最小值为网，则cos∠ABC= 37.(24-25高一下·江苏盐城五校期中)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，∠CAD=30°，BC⊥CD, DC=2V3BC,△ABC,△ACD的面积分别为S,S,则S, D B 四、解答题 38.(24-25高一下·江苏扬州第一中学期中)在△ABC中，角ABC所对的边分别为a五c,已知 b=v C acosC+b=0, Γ4 (1)求cosC: (2)诺c= 2,求△1BC的面积： ⊙)若ABC的面积为好D是BC上的点，且∠ADB-不，求CD的长 39.(24-25高一下·江苏南京外国语学校期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 c2 sinC b+ea=sinB (1)求角A的值：命学科网 目目 考点01 1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.D 8.(1)45cos6 (2)E与C重合. 9.(1)15V3 (2)5+55 目目 考点02 10.B 11.B 12.A 13.c 14.A 15.ABD 16.ABD 17.ACD 18. π-2 19. 10 6 20.√2-1/-1+√2 21.0号 (2)√万+5 www zxxk.com 专题06正余弦定理(5大 正弦定理解三角形 正余弦定理边角互化的应用 1/5 让教与学更高效 考点65题) 命学科网 www zxxk.com 2.04-月 (2)1,2) 3)3+1 23.(0c-4 (2)0 (3)(2+V2,3+5) 2408-月 0 ②3+v5 3 25. (k∈Z (2)(i)2:(ii) √333 2 ’4 26.(1 acos B-2acosC=(2c-b)cos A=2ccos A-bcosA, 可得a cos B+bcosA=2 ccos A+2 a cos C, 由正弦定理，sin A cos B+sin B cos A=2 sin C cosA+2 sin AcosC, 则得sin(A+B)=2sin(A+C),可得sin(π-C)=2sin(π-B),即sinC=2sinB, (2)3v3 24 3)3 3 目目 考点03 余弦定理解三角形 27.D 28.B 29.C 30.A 31.B 32.ACD 38.30+9 2 34.2V2 3 让教与学更高效 得证 函学科网 www.zxxk.com 35. 25 3V39 26 36. -65 65 37.6 6 38.(1)-5 a 3 10 39.)1-骨 (2)a=√7 (3)c=2V5+2 40.(1)10+10√6米 (2)当P位于AB的中点时，△OPQ的面积最大，最大值为225√3 41.()sinC= W2+V14 P (2)S.4Bc=2V万 目目 考点04 正弦定理判定三角形解的个数 42.A 43.B 44.B 45.C 46.B 47.ABD 48.ABD 49.ACD 50.BD 51.（5,2 目目 考点05 三角形面积公式及其应用 3/5 让教与学更高效 2方米 命学科网 52.C 53.A 54.D 55.ABD 56.h而 22 57.6/0.125 58.13V3 59.(①月 a22 60.(①93 13 26 61.04- 2 3 (3)m>1 62.a号 (2)3√2-√6 63.(1)CE+CF=43+4 (2)45. 64.(0)5 3 (239 26 -引 65.0)1=月 www zxxk com 让教与学更高效 命学科网 号 (3)2+2W2,4+2W2) www zxxk com 5/5 让教与学更高效