10.3 几个三角恒等式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

10.3　几个三角恒等式 第10章 三角恒等变换 [学习目标]　能运用三角恒等变换公式进行简单的恒等变换. [素养目标]　水平一：1.能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)　2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.(数学运算) 水平二：进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题.(逻辑推理、数学运算) 学习了和(差)角公式，我们就有进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容思路和方法更加丰富.为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果会怎样呢？ 探究活动1　积化和差公式 内容索引 探究活动2　和差化积公式 探究活动3　半角公式 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　积化和差公式 问题1　公式S(α＋β)和S(α－β)可用角α，β的正弦、余弦表示，那么sin αcos β，cos αsin β如何用sin(α＋β)和sin(α－β)表示呢？ 提示　由S(α＋β)＋S(α－β)，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， 所以sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]. 由S(α＋β)－S(α－β)，得 sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β， 所以cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 问题2　类似地，你可以表示出cos αcos β和sin αsin β吗？ 提示　cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]. sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 积化和差公式 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]. cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]. sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 知识生成 [例1]　化简求值：(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°； 知识应用 解　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝[sin 90°＋sin(－50°)]－[cos 60°－cos(－40°)] ＝－sin 50°－＋cos 40°＝－cos 40°＋cos 40°＝. (2)cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°. 解　cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝cos 10°cos 50°cos 70° ＝ ＝cos 70°＋cos 40°cos 70° ＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°) ＝cos 70°＋cos 110°＋＝. 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差. 1.已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，求cos αcos β，sin αsin β的值. 跟踪训练 解：cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝×＝－， sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝－×＝－. 探究活动2　和差化积公式 问题　既然能表示sin αsin β，那么能否表示sin α＋sin β？ 提示　令α＋β＝θ，α－β＝φ， 则α＝，β＝，代入积化和差公式即可得. 和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos . sin α－sin β＝2cos sin . cos α＋cos β＝2cos cos . cos α－cos β＝－2sin sin . 知识生成 [例2]　化简下列各式： (1)； 知识应用 解　原式＝＝＝ ＝tan . (2). 解　原式＝ ＝ ＝＝. 1.当条件或结论式比较复杂时，往往先将它们化为最简形式，再 求解. 2.当要证明的不等式一边复杂，另一边非常简单时，往往从复杂的一边入手证明，类似于化简. 2.证明：＝. 跟踪训练 证明：＝＝. 探究活动3　半角公式 问题1　由倍角公式变形我们可得正弦、余弦的降幂形式，试写出该形式. 提示　cos2α＝，sin2α＝. 问题2　如果用替换公式中的α，能得到什么？ 提示　sin2＝，cos2＝. 半角公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±＝＝. 知识生成 [例3]　已知＜θ＜3π，且sin θ＝，求sin ，cos ，tan ，cos 的值. 知识应用 解　因为＜θ＜3π，且sin θ＝， 所以cos θ＝－＝－. 于是＜＜， 故sin ＝－＝－＝－， cos ＝－＝－＝－， tan ＝＝.又因为＜＜， 所以cos ＝－＝－＝－. 利用半角公式求值的思路 1.看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. 2.明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 3.选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算. 4.下结论：结合2.求值. 3.设5π＜θ＜6π，cos ＝a，则sin 等于(　　) A. B. C.－ D.－ 跟踪训练 D 解析：由题知，5π＜θ＜6π，cos ＝a，则π＜＜π，则sin ＝ －＝－. 4.若sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝　　　. － 解析：∵sin(π－α)＝－，α∈， ∴sin α＝－，cos α＝－.又∵∈， ∴sin＝cos ＝－＝－. 1.牢记3组公式 (1)和差化积公式. (2)积化和差公式. (3)半角公式. 2.掌握1种方法——转化法 3.注意2个易错点 (1)注意积化和差、和差化积公式使用的条件. (2)半角公式符号的判断. 备选题库 教师独具 1.化简：cos 20°－cos 50°＝(　　) A.cos 35°cos 10° B.2sin 35°sin 15° C.sin 35° D.cos 35° B 解析：cos 20°－cos 50°＝－2sin sin ＝2sin 35°sin 15°. 2.函数y＝sincos x的最大值为(　　) A. B. C.1 D. B 解析：因为y＝sincos x＝＝＝sin－，所以ymax＝－＝. 3.已知cos α＝，α为第四象限角，则tan 的值为　　 　　. 解析：法一： 因为α为第四象限角， 所以是第二或第四象限角， 所以tan ＜0. 所以tan ＝－＝－ ＝－＝－ ＝－＝. 法二： 因为α为第四象限角，所以sin α＜0. 所以sin α＝－＝－＝－. 所以tan ＝＝＝. 法三： 因为α为第四象限角，所以sin α＜0. 所以sin α＝－＝－＝－. 所以tan ＝＝＝＝. 4.若sin α＝，α是第二象限角，则tan ＝　　. 5 解析：因为α是第二象限角，所以cos α＜0， 所以cos α＝－＝－， 所以tan ＝＝＝5. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [A组] 1.已知cos θ＝－，且θ∈(0，π)，则cos ＝(　　) A.－ B. C. D.－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：因为θ∈(0，π)，所以∈， 所以cos ＞0， 则cos ＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.函数f(x)＝cos xsin的最小正周期为(　　) A.4π B.2π C.π D. C 解析：由积化和差公式可以得到函数f(x)＝sin＋，其最小正周期为T＝＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　) A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.a＜c＜b D.b＜c＜a C 解析：由题意可知，a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，而y＝sin x在0°≤x≤90°内为增函数，∴a＜c＜b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝(　　) A. B.－ C. D.－ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：因为cos α＋cos β＝， 所以2cos cos ＝. 因为α－β＝，所以＝，所以cos ＝，所以cos ＝， 所以cos(α＋β)＝2cos2－1＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)下列等式正确的是(　　) A.sin 15°＋cos 15°＝sin 60° B.sin(α＋β－15°)＝sin(α－15°)cos β＋cos(α－15°)sin β C.cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β D.tan(α－β)＝ AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：对于A，sin 15°＋cos 15°＝＝sin 60°，故A正确； 对于B，sin(α＋β－15°)＝sin(α－15°)cos β＋cos(α－15°)·sin β，故B正确； 对于C，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故C错误； 对于D，tan(α－β)＝，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)下列关于函数f(x)＝2cos(x＋45°)cos(x－45°)性质的叙述正确的是(　　) A.函数为偶函数 B.函数为奇函数 C.函数的最大值为2 D.最小正周期为π AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：函数f(x)＝2cos(x＋45°)cos(x－45°)＝cos[(x＋45°)＋(x－45°)]＋cos[(x＋45°)－(x－45°)]＝cos 2x， 所以函数为偶函数，且函数的最大值为1，最小正周期为π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知sin α＝－且π＜α＜，则sin ＝　　　. 解析：因为sin α＝－，π＜α＜， 所以cos α＝－.又＜＜， 所以sin ＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知sin＝，则cos2＝　　. 解析：因为cos＝sin＝sin＝， 所以cos2＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.化简：(0＜α＜π). 解：因为tan ＝， 所以(1＋cos α)tan ＝sin α. 又因为cos＝－sin α， 且1－cos α＝2sin2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以原式＝＝＝－. 因为0＜α＜π， 所以0＜＜，所以sin ＞0. 所以原式＝－2cos . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos ·cos . 证明：由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)， 即＝90°－， ∴cos ＝sin . ∴sin A＋sin B＋sin C＝2sin ·cos ＋sin(A＋B) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ＝2sin ·cos ＋2sin ·cos ＝2sin ＝2cos ·2cos ·cos ＝4cos cos cos ， 即sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 11.在△ABC中，角A，B，C为三个内角，若sin A·sin B＝cos2，则下列等式一定成立的是( 　) A.A＝B B.A＝C C.B＝C D.A＝B＝C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：因为sin Asin B＝cos2＝＝－cos(A＋B)＝－(cos Acos B－sin Asin B)， 所以cos Acos B＋sin Asin B＝，所以cos(A－B)＝1. 因为0＜A＜π，0＜B＜π， 所以－π＜A－B＜π， 所以A－B＝0，所以A＝B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.若sin x＋sin y＝，cos x＋cos y＝，则tan ＝　　. 解析：由sin x＋sin y＝，得sin＋sin＝， 展开并整理得2sin cos ＝，　① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由cos x＋cos y＝，得cos＋cos＝， 展开并整理得2cos cos ＝，　② 由①②得tan ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证：＝. 证明：因为cos A＝， 所以1－cos A＝， 1＋cos A＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以＝， 而＝＝tan2， ＝＝tan2. 故＝，原式得证. $$