10.2 二倍角的三角函数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

10.2　二倍角的三角函数 第10章 三角恒等变换 [学习目标]　能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. [素养目标]　水平一：1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)　2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构形式，并能利用公式进行简单的化简、求值.(数学运算) 水平二：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题.(逻辑推理、数学运算) 在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁、奇峻之美，三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都带有一般性，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形.如α＝β时，sin(α＋β)＝sin 2α，2α为α的二倍，那么这些二倍角又有哪些简洁、奇峻之美呢？ 探究活动1　倍角公式 内容索引 探究活动2　二倍角公式的化简、证明问题 探究活动3　倍角公式在实际生活中的应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　倍角公式 问题　在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α，你能得到什么结论？ 提示　在S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)公式中令β＝α， 可得sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋sin αcos α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α. tan 2α＝tan(α＋α)＝＝. 1.倍角公式 (1)sin 2α＝___________.(S2α) (2)cos 2α＝____________.(C2α) (3)tan 2α＝.(T2α) 知识生成 2sin αcos α cos2α－sin2α 2.倍角公式的重要变形——升幂公式 cos 2α＝________－1，cos 2α＝1－________， cos α＝2cos2－1，cos α＝1－2sin2. 3.倍角公式常见变形 sin2α＝，cos2α＝，(sin α±cos α)2＝__________. 2cos2α 2sin2α 1±sin 2α [例1]　(1)cos cos ＝　　； 知识应用 解析　原式＝cos sin ＝×2cos sin ＝sin ＝. (2)－cos215°＝　　　； － 解析　原式＝(1－2cos215°) ＝－cos 30°＝－. (3)＝　　　. 2 解析　原式＝＝2. 解决给角求值问题的基本思路：对于给角求值问题，需观察题中角之间的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系对已知式进行转化. 1.求下列各式的值： (1)cos4－sin4； 跟踪训练 解：原式＝ ＝cos ＝. (2)； 解：原式＝tan 150°＝－tan 30°＝－. (3)cos cos πcos π. 解：原式＝ ＝＝ ＝＝＝－. 探究活动2　二倍角公式的化简、证明问题 [例2]　(1)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β. 知识应用 解　法一：原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2α·cos 2β＝. 法二：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝. 法三：原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－cos 2α·cos 2β＝cos2(α＋β)＋sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝. (2)证明：＝tan θ. 证明　法一：左边＝ ＝＝ ＝tan θ＝右边. 所以原式成立. 法二：左边＝ ＝＝ ＝tan θ＝右边. 所以原式成立. 法三：左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝tan θ＝右边. 所以原式成立. 三角函数式化简、证明的常用技巧 1.特殊角的三角函数与特殊值的互化. 2.对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的先提取公因式，后进行约分. 3.对于二次根式，注意倍角公式的逆用. 4.利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等. 5.利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等. 2.(1)化简：cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋90°)·cos(90°－θ)； 跟踪训练 解：原式＝＋＋cos θsin θ＝1＋(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°－cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°)＋sin 2θ＝1－sin 2θsin 30°＋sin 2θ＝1. (2)求证：＝tan . 证明：左边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝tan ＝右边. 故原式得证. 探究活动3　倍角公式在实际生活中的应用 [例3]　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). 知识应用 解　如图，连接OC，设∠COB＝θ， 则0°＜θ＜45°，OC＝1. ∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin2θ＋sin θcos θ ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)－ ＝cos(2θ－45°)－. 当2θ－45°＝0， 即θ＝22.5°时，Smax＝(m2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题. 3.如图所示的几何图形，它是由线段AB和两个圆弧AC，BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，则tan∠AOB的值是(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 跟踪训练 A 解析：如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D， 设AB＝a，圆O的半径为r， 由题意知OD＝r，OA＝a－r，AD＝， 且OA2＝OD2＋AD2， 即(a－r)2＝r2＋， 解得r＝， 因此tan∠AOD＝＝＝， 故tan∠AOB＝tan 2∠AOD＝＝＝－. 1.牢记2个知识点 (1)二倍角公式的推导. (2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明. 2.掌握2种数学思想 (1)换元思想. (2)整体思想. 3.注意1个易错点 化简求值中，开根号时，忽视角的范围. 备选题库 教师独具 1.已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　) A.－ B. C.－ D. D 解析：由α是第三象限角，且cos α＝－， 得sin α＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝. 2.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是(　　) A. B. C. D. B 解析：∵y＝2cos2x＝1＋cos 2x， ∴函数在上单调递增. 3.已知tan α＝，则tan 2α＝　　. 解析：tan 2α＝＝＝. 4.＝　　　. 2 解析：原式＝＝＝＝2. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [A组] 1.1－2sin2750°＝(　　) A.－ B.－ C. D. D 解析：原式＝cos 1 500°＝cos 60°＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知cos＝－，则sin 2α＝(　　) A.－ B. C.－ D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：法一：由cos＝－， 得cos α＋sin α＝－， 两边平方得＋sin αcos α＝，∴sin αcos α＝， 则sin 2α＝2sin αcos α＝. 法二：sin 2α＝cos＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.的值是(　　) A. B.－ C. D.－ A 解析：原式＝＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知tan θ＝，则cos2θ＋sin 2θ的值为(　　) A.－ B. C.－ D. B 解析：cos2θ＋sin 2θ＝＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)下列四个等式中，正确的是(　　) A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝ B.＝1 C.cos2－sin2＝ D.－＝4 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：∵tan 60°＝tan(25°＋35°)＝＝， ∴tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝，故A正确； ＝·＝tan 45°＝，故B错误； cos2－sin2＝cos ＝，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 －＝ ＝ ＝＝＝4，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝　　　. － 解析：将sin α＋cos α＝两边平方可得1＋sin 2α＝，则sin 2α＝－.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α－sin α＝－＝－＝－，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知函数f(x)＝cos2＋sin x－.若f(α)＝，则sin＝　　　. － 解析：f(x)＝×＋sin x－＝sin x＋cos x＝sin， 又f(α)＝，所以sin＝， 所以cos＝1－2sin2＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又2α＋＝＋， 所以sin＝sin ＝－cos＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.证明：＋(sin2α－cos2α)＝2sin. 证明：左边＝－cos 2α ＝－cos 2α ＝－cos 2α ＝sin 2α－cos 2α＝2sin＝右边，所以原等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知tan α＝2，cos β＝－，且α，β∈(0，π). (1)求cos 2α的值； 解：因为tan α＝2，所以＝2，即sin α＝2cos α，则sin2α＝4cos2α. 又sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，即cos2α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求2α－β的值. 解：由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈，所以2α∈. 由(1)知cos 2α＝－，所以sin 2α＝. 因为β∈(0，π)，cos β＝－∈(－1，0)， 所以β∈，所以sin β＝，且2α－β∈. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝－，所以2α－β＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.已知sin＋sin ＝，则的值为(　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：∵sin＋sin＝， ∴sin αcos ＋cos αsin ＋sin αcos －cos αsin ＝sin α＝，∴sin α＝. 从而＝ ＝＝ ＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)已知函数f(x)＝，则有(　 　) A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的最小正周期为π BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：因为f(x)＝＝ ＝－tan x， 所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知θ∈，＋＝2，则sin 2θ＝　 　，sin ＝　　. － 解析：＋＝2⇒＝2⇒sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin22θ. 因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以sin 2θ＝－，所以sin θ＋cos θ＜0， 所以θ∈，所以2θ∈， 所以cos 2θ＝， 所以sin＝sin 2θcos ＋sin cos 2θ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图，A，B是半径为1的圆O上的任意两点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？ 解：设∠AOB＝θ(0＜θ＜π)，四边形OACB的面积为S. 如图，取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在Rt△ODA中，OA＝1，∠AOD＝， ∴OD＝OAcos∠AOD＝cos ， AD＝OAsin∠AOD＝sin ，∴AB＝2AD＝2sin ， ∴S＝S△ABC＋S△AOB＝AB2＋AB·OD＝＋×2sin cos ＝＋sin θ＝sin2＋sin θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ＝·＋sin θ＝sin θ－cos θ＋ ＝sin＋. ∵0＜θ＜π，∴当θ－＝，即θ＝时，S取得最大值1＋ .故当OA与OB的夹角为时，四边形OACB的面积最大，最大面积是1＋. $$