9.4 向量应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.4　向量应用 第9章 平面向量 [学习目标]　会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用. [素养目标]　水平一：1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(直观想象、逻辑推理)　2.会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题.(数学建模) 水平二：熟练掌握向量的线性运算、数量积运算及共线向量基本定理，并能利用它们解决几何证明和求值问题.(逻辑推理、数学运算) 向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化，所以向量是数形结合的桥梁，同时，向量也是解决许多物理问题的有力工具，这节课我们就来用向量解决数学和物理中的有关问题. 探究活动1　向量在物理中的应用 内容索引 探究活动2　利用向量证明平面几何问题 探究活动3　利用向量求平面几何中的长度问题 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　向量在物理中的应用 [例1]　如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (1)求｜F1｜，｜F2｜随角θ的变化而变化的情况； 知识应用 解　由力的平衡及向量加法的平行四边形法则， 得－G＝F1＋F2，｜F1｜＝，｜F2｜＝｜G｜tan θ， 当θ从0°趋向于90°时，｜F1｜，｜F2｜都逐渐增大. (2)当｜F1｜≤2｜G｜时，求角θ的取值范围. [解]　由｜F1｜＝，｜F1｜≤2｜G｜， 得cos θ≥. 又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°. 用向量方法解决物理问题的步骤 1.把物理问题中的相关量用向量表示. 2.转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题. 3.结果还原为物理问题. 1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为 (　　) A.6 N B.2 N C.2 N D.2 N 跟踪训练 C 解析：由题意知F3＝－(F1＋F2)， 所以｜F3｜2＝(F1＋F2)2＝＋＋2F1·F2＝4＋16＝20， 所以｜F3｜＝2 N. 探究活动2　利用向量证明平面几何问题 [例2]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 知识应用 证明　法一：设＝a，＝b， 则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 利用向量解决垂直问题的方法和途径 方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. 2.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上. 跟踪训练 证明：设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n. 所以＝. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上. 探究活动3　利用向量求平面几何中的长度问题 [例3]　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，D为斜边AB的中点. (1)求证：CD＝AB； 知识应用 证明　以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n，0). ∵D为AB的中点，∴D， ∴｜｜＝，｜｜＝， ∴｜｜＝｜｜，即CD＝AB. (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示). 解　∵E为CD的中点，∴E. 设F(x，0)，则＝，＝(x，－m). ∵A，E，F三点共线，∴＝λ， 即(x，－m)＝λ， 则 故λ＝，即x＝，∴F， ∴＝， ∴｜｜＝， 即AF＝. 用向量法求长度的策略 1.根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解. 2.建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则 ｜a｜＝. 3.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 跟踪训练 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而｜｜＝｜a－b｜＝ ＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4， ∴a·b＝， 又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴｜｜＝，即AC＝. 1.牢记2个知识点 (1)平面几何中的向量方法. (2)向量在物理中的应用. 2.掌握2种数学方法 化归转化，数形结合. 3.注意2个易错点 (1)注意选取恰当的基底. (2)建立坐标系，准确求出点的坐标. 备选题库 教师独具 1.河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸的方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度的大小为(　　) A.13 m/s B.12 m/s C.17 m/s D.15 m/s A 解析：设河水的流速大小为｜v2｜＝5 m/s，小船的静水速度与河水流速的合速度大小为｜v｜＝12 m/s，小船的静水速度大小为｜v1｜，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度v1斜向上游方向，河水流速v2的方向平行于河岸，小船的静水速度与河水流速的合速度v的方向指向对岸，所以小船的静水速度的大小｜v1｜＝＝＝13(m/s). 2.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 C 解析：∵(＋)·(－)＝｜｜2－｜｜2＝0，即｜｜＝｜｜， ∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形. 3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小均为(　　) A.10 N B.5 N C.10 N D.5 N A 解析：如图所示，由题意可得∠AOC＝∠COB＝60°，｜｜＝ 10 N，且｜｜＝｜｜，所以△AOC和△COB为等边三角形，所以｜｜＝｜｜＝｜｜＝10 N，即每根绳子的拉力大小均为 10 N. 4.在四边形ABCD中，＝(4，－2)，＝(2，m)，⊥，则该四边形的面积是_____. 10 解析：因为＝(4，－2)，＝(2，m)，⊥，所以4×2＋(－2) ×m＝0，解得m＝4，所以该四边形的面积S＝｜｜·｜｜＝×2×2＝10. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [A组] 1.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝ (　　) A.(－1，－2) B.(1，－2) C.(－1，2) D.(1，2) D 解析：由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.在平面四边形ABCD 中，＝(－2，3)，＝(6，4)，则该四边形的面积为(　　) A. B.2 C.13 D.26 C 解析：∵·＝－12＋12＝0，∴⊥，所以四边形ABCD 的面积为｜｜·｜｜＝××＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小｜v1｜＝10 km/h，水流的速度v2的大小｜v2｜＝4 km/h，设v1和v2所成角为θ(0＜θ＜π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：设船的实际速度为v， 已知v1和v2的夹角为θ，北岸的点B在A的正北方向， 若游船正好到达B 处，则v⊥v2， ∴cos θ＝－cos(π－θ)＝－＝－＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在△ABC中，∠A＝60°，∠A 的平分线AD交边BC于点D，已知AB＝3，且＝＋，则AD的长为(　　) A. B.3 C.2 D.3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F(图略)，则＝＋. 又＝＋，所以＝，＝， 所以＝＝，即＝， 又AD是∠BAC的平分线，所以＝＝， 又AB＝3，所以AC＝6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以·＝｜｜｜｜cos∠BAC＝3×6×cos 60°＝9， ＝＝＋·＋＝×62＋×9＋×32＝12， 所以｜｜＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A.－＝ B.·＜｜｜·｜｜ C.若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形 D.若·＞0，则△ABC为锐角三角形 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：对于A，－＝，故A结论错误； 对于B，设θ为向量与的夹角(0＜θ＜π)，因为·＝ ｜｜·｜｜·cos θ，而cos θ＜1，故·＜｜｜· ｜｜，故B结论正确； 对于C，(＋)·(－)＝｜｜2－｜｜2＝0，故｜｜＝｜｜，所以△ABC为等腰三角形，故C结论正确； 对于D，取A＝B＝，C＝，满足·＝｜｜｜｜cos A＞0，但△ABC为钝角三角形，故D结论错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境，假设行李包所受重力为G，两个拉力分别为F1，F2，若｜F1｜＝｜F2｜，F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　 　) A.｜F1｜ 的最小值为｜G｜ B.θ的范围为[0，π] C.当θ＝时，｜F1｜＝｜G｜ D.当θ＝时，｜F1｜＝｜G｜ ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：对于A选项，因为｜G｜＝｜F1＋F2｜ 为定值，且｜F1｜＝｜F2｜，所以｜G｜2＝｜F1｜2＋｜F2｜2＋2｜F1｜·｜F2｜·cos θ＝2｜F1｜2·(1＋cos θ)，解得｜F1｜2＝，易知θ∈[0，π)，y＝cos θ在θ∈[0，π) 上单调递减，所以｜F1｜的最小值为｜G｜，故A结论正确； 对于B选项，由题意得θ∈[0，π)，故B结论不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于C选项，当θ＝ 时，｜F1｜2＝，所以｜F1｜＝｜G｜，故C结论正确； 对于D选项，当θ＝ 时，｜F1｜2＝｜G｜2，所以｜F1｜＝｜G｜，故D结论正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则｜｜＝___. 1 解析：∵＝＋(＋)， ∴－＝(＋)，＝(＋)， ∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线， ∴｜｜＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为____h. 0.5 解析：如图，v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，｜v1｜＝20，｜v2｜＝12， ∴｜v实际｜＝＝＝16(km/h)， ∴所需时间t＝＝0.5(h)， ∴该船到达B处所需时间为0.5 h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.如图所示，P是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：＝2. 证明：∵＝＋，＝＋， ∴(＋)＋2(＋)＋3＝0， ∴＋3＋2＋3＝0， 又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线， ∴可设＝λ，＝μ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴λ＋3＋2＋3μ＝0， ∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 而，为不共线向量， ∴解得 ∴＝－＝，∴＝＋＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：如图，设D为BC的中点，连接AD，则＝(＋). 因为3－－＝0，所以3＝＋＝ 2，所以＝， 所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.如图所示的正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的一条直径，则·的取值范围是(　　) A.[5，8] B.[2，3] C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：如图，取AF的中点Q，连接OA，OQ，OP，OF， 易得△AOF是边长为2的正三角形，则｜OQ｜＝3， 又·＝(＋)·(＋)＝＋ ·＋·＋·＝＋· (＋)－4＝－4， 由图可知，当点P位于正六边形各边的中点时，｜PO｜有最小值，最小值为3，此时｜｜2－4＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当点P位于正六边形的顶点时，｜PO｜有最大值，最大值为2，此时｜｜2－4＝8. 综上，5≤·≤8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图，已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足＝λ＋(1－ λ)(0＜λ＜1)，则·的取值范围是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：·＝(－)·(－)＝·－·(＋)＋｜｜2＝－1＋｜｜2， 因为∠AOB＝120°，且满足＝λ＋(1－λ) (0＜λ＜1)，所以点C在线段AB上，所以 ｜｜∈，所以·的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝x e1＋y e2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，设＝2e1＋e2. (1)计算｜｜的大小. 解：因为e1·e2＝1×1×cos 60°＝， 所以｜｜＝＝ ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走； ①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用e1与e2来表示； 解：因为OC＝3－2＝1，OD＝1＋2＝3， 所以＝e1，＝3e2，所以＝－＝3e2－e1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求｜｜的最小值. 解：两人在t时刻相距＝(1＋4t)e2－(3－4t)e1， 所以＝(1＋4t)2＋(3－4t)2－2(1＋4t) (3－4t)e1·e2 ＝48t2－24t＋7＝48＋4. 当t＝时，｜｜min＝2，即小时后，他们两人相距最短. $$