9.3.3 向量平行的坐标表示-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.3　向量平行的坐标表示 第9章 平面向量 [学习目标]　1.理解两平行向量的坐标之间的关系，会用向量的坐标运算解决向量平行问题.　2.能根据向量的坐标运算解决与三点共线有关的问题. [素养目标]　水平一：了解用坐标表示平面向量共线条件的推导过程，理解坐标表示的平面向量的共线条件.(数学抽象) 水平二：会用坐标表示的平面向量共线的条件解决问题.(逻辑推理) 向量及其运算的坐标表示，使我们能用代数方法研究几何问题，前面已学习了两个互相垂直的向量的坐标之间的关系，这节课我们研究两个平行向量的坐标之间有怎样的关系. 探究活动1　向量平行的坐标表示 内容索引 探究活动2　由向量平行(共线)求参数的值 探究活动3　三点共线问题 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 探究活动4　向量共线的综合应用 4 探究活动1　向量平行的坐标表示 问题　向量a，b共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？ 提示　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a≠0，由b＝λa得消去λ得x1y2－x2y1＝0. 向量平行的坐标表示 一般地，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔__________ _____. 知识生成 x1y2－x2y1 ＝0 [例1]　若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则下列向量中与a＋2b共线的向量是(　　) A.(，－1) B.(－1，－) C.(－，－1) D.(－1，) 知识应用 D 解析　由已知可得，a＋2b＝(，－3)， 因为－3≠－，－1×(－3)≠－×，－3×(－)≠－1× ，－1×(－3)＝()2， 因此向量(－1，) 与a＋2b共线. 向量共线的判定方法 1.(多选)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，则下列结论正确的是 (　 　) A.a∥b B.a＋b＝0 C.b－a与a反向 D.a，b可作为一组基底 跟踪训练 ABC 解析：由于b＝－a，所以a∥b，a，b不能作为一组基底，所以A正确，D错误； a＋b＝(0，0)＝0，B正确； b－a＝(－2，4)＝－2a，所以b－a与a反向，C正确. 探究活动2　由向量平行(共线)求参数的值 [例2]　已知向量a＝(－1，2)，b＝(λ，1).若a＋b与a平行，则λ＝ (　　) A.－5 B. C.7 D.－ 知识应用 D 解析　a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a＋b与a平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－. 利用向量平行的条件求参数值的思路 1.利用共线向量定理b＝λa(a≠0)列方程组求解. 2.利用向量平行的坐标表达式直接求解. 2.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为______. 跟踪训练 －2 解析：由题意得，ma＋4b＝(2m－4，3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋4b与a－2b共线，所以(2m－4)·(－1)－4(3m＋8)＝0，解得m＝－2. 探究活动3　三点共线问题 问题　若A，B，C三点在一条直线上，则＝λ，即∥.反之，若∥，能否说明A，B，C三点共线呢？ 提示　能.∥说明与方向相同或相反，，又有公共点A，故可以说明A，B，C三点共线. 若＝λ，则P，P1，P2三点共线 (1)当λ∈(0，＋∞)时，点P位于线段P1P2的内部，特别地，当λ＝1时，P为线段P1P2的中点. (2)当λ∈(－∞，－1)时，点P在线段P1P2的延长线上. (3)当λ∈(－1，0)时，点P在线段P1P2的反向延长线上. 知识生成 [例3]　设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线？ 知识应用 解　法一：∵A，B，C三点共线， ∴，共线， ∴存在实数λ，使得＝λ. ∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)， ∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即解得k＝－2或k＝11， ∴当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线. 法二：由题意知，共线. ∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)， ∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， ∴k2－9k－22＝0， 解得k＝－2或k＝11， ∴当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线. 三点共线的证明方法与证明步骤 1.证明方法：三点共线问题的实质是向量共线问题，故只需证明两个向量共线或两个向量平行. 2.证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成： (1)证明向量共线(平行)；(2)证明两个向量有公共点. 3.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若点C的横坐标为6，则点C的纵坐标为(　　) A.－13 B.－9 C.9 D.13 跟踪训练 B 解析：由题意，设点C的坐标为(6，y)， 则＝(－8，8)，＝(3，y＋6). 因为A，B，C三点共线， 所以∥，即－8(y＋6)－3×8＝0， 解得y＝－9. 探究活动4　向量共线的综合应用 [例4]　如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标. 知识应用 解　法一：设＝t＝t(4，4)＝(4t，4t)， 则＝－＝(4t，4t)－(4，0)＝(4t－4，4t)， ＝－＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6). 由，共线，得(4t－4)×6＝4t×(－2)，解得t＝， ∴＝(4t，4t)＝(3，3)，∴点P的坐标为(3，3). 法二：设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4，4). ∵，共线，∴4x－4y＝0.　① 又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量， 共线， ∴－6(x－2)＝2(y－6).　② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3，3). 在平面直角坐标系中，求解直线或线段的交点问题，利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简洁. 4.已知平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且＝，连接DC并延长至E，使｜｜＝｜｜，求点E的坐标. 跟踪训练 解：∵＝，∴A为线段BC的中点，＝， 设C(xC，yC)，则(xC－2，yC＋1)＝(1，－5)， ∴xC＝3，yC＝－6，∴点C的坐标为(3，－6). 又｜｜＝｜｜，且E在DC的延长线上， ∴＝－， 设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)， 得解得 故点E的坐标为. 1.牢记两个向量共线的3种表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则 (1)当a≠0时，b＝λa. (2)x1y2－x2y1＝0. (3)当x2y2≠0时，＝. 2.注意2个易错点 (1)两向量共线的坐标表示与垂直的坐标表示易混. (2)注意区分向量的共线、平行与平面几何中的共线、平行. 备选题库 教师独具 1.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　) A.(4，0) B.(0，4) C.(4，－8) D.(－4，8) C 解析：因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝ (－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8). 2.已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　) A.(－9，1) B.(9，－1) C.(9，1) D.(－9，－1) C 解析：设点C的坐标是(x，y)， 因为A，B，C三点共线，所以∥. 因为＝－(1，－3)＝， ＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)， 所以7(y＋3)－(x－1)＝0， 整理得x－2y＝7， 经检验可知点(9，1)符合要求. 3.与向量a＝(3，4)同向的单位向量的坐标为__________，反向的单位 向量的坐标为__________. 解析：由题意，设与向量a＝(3，4)平行的向量b＝λ(3，4)＝(3λ，4λ)， 由单位向量的模长为1，得(3λ)2＋(4λ)2＝1，所以λ＝±.当λ＞0时，两向量同向；当λ＜0时，两向量反向.故与向量a＝(3，4)同向的单位向量的坐标为，反向的单位向量的坐标为. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [A组] 1.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　) A.(－5，－10) B.(－4，－8) C.(－3，－6) D.(－2，－4) B 解析：因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以1×m－(－2)×2＝0，解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝ (－4，－8). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且2a∥b，则m的值为 (　　) A.－4 B.－8 C.4 D.8 A 解析：由题意得，2a＝2(1，2)＝(2，4)，又2a∥b，所以2×m＝4×(－2)，解得m＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ B 解析：v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k).因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若a－2b与非零向量ma＋nb共线，则等于(　　) A.－2 B.2 C.－ D. C 解析：由已知可得a－2b＝(4，－1)，ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)， 又a－2b与非零向量ma＋nb共线，所以4(3m＋2n)＝n－2m，解得＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，不正确的有(　 　) A.存在实数x，使a∥b B.存在实数x，使(a＋b)∥a C.存在实数x，m，使(ma＋b)∥a D.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：对于A，由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A叙述错误；对于B，a＋b＝(x－3，3＋x)，由(a＋b)∥a，得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B叙述错误；对于C，ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，由(ma＋b)∥a，得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C叙述错误；对于D，由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D叙述正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)已知向量a＝(1，－2)，｜b｜＝4｜a｜，a∥b，则b可能是 (　　) A.(4，8) B.(4，－8) C.(－4，－8) D.(－4，8) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：设b＝(x，y)，依题意有 解得或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为____. 1 解析：因为向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝_____. － 解析：＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k， －3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－或k＝1，当k＝1时，A，B重合，故舍去. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，c＝(1，1). (1)求a与b的夹角的大小； 解：设a与b的夹角为α，因为cos α＝＝＝－，又因为α∈[0，π]，所以α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若c∥(a＋kb)，求k的值. 解：a＋kb＝(－3＋k，1－2k)， 因为c∥(a＋kb)，即1－2k＋3－k＝0， 解得k＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1). (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ 解：ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2). 因为ka－b与a＋2b共线， 所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－. 所以当k＝－时，ka－b与a＋2b共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值. 解：因为A，B，C三点共线， 所以＝λ，λ∈R， 即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以解得m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 11.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　) A.k＝－2 B.k＝ C.k＝1 D.k＝－1 C 解析：因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1，2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.在△ABC中，已知A(2，3)，B(6，－4)，G(4，－1) 是中线AD 上一点，且＝2，那么点C 的坐标为(　　) A.(－4，2) B.(－4，－2) C.(4，－2) D.(4，2) C 解析：＝(4，－7)，设C(x，y)，则＝(x－2，y－3)， ∵AD为△ABC的中线， ∴＝(＋)＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又＝2， ∴＝＝. ∵A(2，3)，G(4，－1)，∴＝(2，－4)， ∴解得 ∴C(4，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)， D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0). 由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ). 又因为＝－＝(5λ－4，4λ)， 由与共线得(5λ－4)×6＋12λ＝0， 解得λ＝， 所以＝＝， 所以点P的坐标为. $$