9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.2　向量坐标表示与运算 第2课时　向量数量积的坐标表示 第9章 平面向量 [学习目标]　1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.　2.能用坐标表示平面向量垂直的条件. [素养目标]　水平一：能通过探究推导出平面向量数量积的坐标表示，会进行数量积的坐标运算.(逻辑推理，数学运算) 水平二：能根据向量数量积的定义推导出向量的模长公式、夹角公式以及垂直条件的坐标表示，并能简单应用.(逻辑推理，数学运算) 前面我们学习了平面向量数量积及其性质，也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 探究活动1　向量数量积的坐标表示 内容索引 探究活动2　向量的模 探究活动3　向量的夹角与垂直 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　向量数量积的坐标表示 问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2. 由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2. 向量数量积的坐标表示 若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于________________________. 知识生成 它们对应坐标的乘积的和 [例1]　(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则a·(a－b)＝___. 知识应用 4 解析　由向量减法坐标运算可得a－b＝(1，2)－(－3，2)＝(4，0). 由向量数量积的坐标运算可得a·(a－b)＝(1，2)·(4，0)＝4. (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝ 2，则·＝____. 解析　建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)， 因为＝2，所以F， 所以＝(2，1)，＝－(2，0)＝， 所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝. 进行平面向量的数量积的坐标运算的前提是牢记相关的运算法则和运算性质，通常有两种解题方法：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知进行计算. 1.已知a＝(2，1)，b＝(3，－2)，则(3a－b)·(a＋2b)＝___. 跟踪训练 9 解析：∵a＝(2，1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，3)－(3，－2)＝(3，5)， a＋2b＝(2，1)＋(6，－4)＝(8，－3)， ∴(3a－b)·(a＋2b)＝3×8＋5×(－3)＝9. 探究活动2　向量的模 问题1　设向量a＝(x，y)，你能用两向量数量积的坐标表示求｜a｜吗？ 提示　能，因为a2＝a·a＝x2＋y2，所以｜a｜＝. 问题2　对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何用向量推导A，B两点间的距离. 提示　由A(x1，y1)，B(x2，y2)， ＝(x1－x2，y1－y2)， ＝·＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2， 得｜｜＝， 即AB＝. 1.向量的模：设a＝(x，y)，则｜a｜＝. 2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝. 知识生成 [例2]　(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则｜a＋b｜＝ (　　) A. B.5 C.4 D. 知识应用 B 解析　由a⊥b，可得a·b＝0，代入坐标运算可得x－4＝0，解得x＝4，所以a＋b＝(5，0)，得｜a＋b｜＝5. (2)已知向量a＝(2，－6)，b＝(3，m)，若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则m＝____. 1 解析　向量a＝(2，－6)，b＝(3，m)， 则a＋b＝(5，－6＋m)，a－b＝(－1，－6－m)， 则｜a＋b｜＝＝， ｜a－b｜＝＝， 因为｜a＋b｜＝｜a－b｜， 即＝，化简可得－12m＋61＝12m＋37， 解得m＝1. 求向量的模的两种基本策略 1.字母表示的运算 利用｜a｜2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的 问题. 2.坐标表示的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝. 2.已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜等于 (　　) A. B. C.5 D.25 跟踪训练 C 解析：∵a＝(2，1)，∴a2＝5， 又｜a＋b｜＝5，∴(a＋b)2＝50， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴｜b｜＝5. 探究活动3　向量的夹角与垂直 向量的夹角 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义，可得cos θ＝＝. 特别地，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 知识生成 [例3]　已知a＝(1，2)，b＝(－3，1). (1)求a－2b； 知识应用 解　因为a＝(1，2)，b＝(－3，1)， 所以a－2b＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0). (2)设a，b的夹角为θ，求cos θ的值； 解　因为a＝(1，2)，b＝(－3，1)， 所以｜a｜＝＝，｜b｜＝＝. 因为a·b＝｜a｜｜b｜cos θ， 所以cos θ＝＝＝－. (3)若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值. 解　因为向量a＋kb与a－kb互相垂直， 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即｜a｜2－k2｜b｜2＝0. 因为｜a｜2＝12＋22＝5，｜b｜2＝(－3)2＋12＝10，所以5－10k2＝0，所以k＝±. 利用数量积求两向量夹角的步骤 3.已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 跟踪训练 B 解析：由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0. 因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)， 所以λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2)， (λa＋b)·(a－2b)＝(－3λ－1)×(－1)＋2λ×2＝0，即3λ＋1＋4λ＝0， 解得λ＝－. 4.已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为(　　) A. B. C. D. B 解析：b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以｜b｜＝2.因为a＝(1，1)，所以｜a｜＝，且a·b＝(1，1)·(2，0)＝2.设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 1.牢记3个知识点 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. (1)平面向量数量积的坐标表示：a·b＝x1x2＋y1y2. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量). (3)cos θ＝. 2.注意2个易错点 (1)两向量夹角的余弦公式易记错. (2)已知向量a，b的夹角θ的范围，求参数范围时易错： a·b＞0⇒0°＜θ＜90°(锐角)或θ＝0°. a·b＜0⇒90°＜θ＜180°(钝角)或θ＝180°. 备选题库 教师独具 1.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，－6)，则｜2a－b｜＝(　　) A.5 B.10 C.12 D.13 D 解析：易知2a－b＝(4，6)－(－1，－6)＝(5，12)，所以｜2a－b｜＝＝13. 2.已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m 的值为(　　) A.6 B.4 C.2 D.－2 C 解析：因为a＝(－2，m)，b＝(1，)，所以a－b＝(－3，m－)，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即1×(－3)＋(m－)＝0，解得m＝2. 3.a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，b＝(1，－2)，则a，b夹角的余弦值等于(　　) A.－ B.－ C. D. B 解析：因为a＝(2，4)，b＝(1，－2)，所以｜a｜＝＝2， ｜b｜＝＝，设a，b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝－. 4.已知向量a＝(m，3)，b＝(2，1)，满足(a＋b)·b＝6，则实数m的值为_____. －1 解析：向量a＝(m，3)，b＝(2，1)， 则a＋b＝(m＋2，4). 又(a＋b)·b＝6， 所以2(m＋2)＋4＝6， 解得m＝－1. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [A组] 1.已知向量a＝(3，－2)，b＝(m，1)，若a⊥b，则a－3b＝(　　) A.(0，5) B.(5，1) C.(1，－5) D. C 解析：因为a⊥b，所以3m－2＝0，解得m＝， 所以a－3b＝(3，－2)－3＝(1，－5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A.2 B. C.0 D.－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：因为a＝(1，)，b＝(3，m)， 所以｜a｜＝2，｜b｜＝，a·b＝3＋m. 又a，b的夹角为， 所以cos ＝，即＝， 所以＋m＝，解得m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且｜b｜＝3，则b＝ (　　) A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3) A 解析：设b＝(x，y)，则a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝x－2y，所以×3×(－1)＝x－2y①，又＝3②，由①②可解得x＝－3，y＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在△ABC中，C＝，AC＝BC＝2，点P是边AB上一动点，则·＋·＝(　　) A.4 B.2 C.－2 D.－4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：以C为原点，CB和CA所在直线分别为x，y轴 建立平面直角坐标系， 则A(0，2)，B(2，0)，所以AB所在直线方程为y＝ －x＋2，设P(x，－x＋2)， 则＝(x，－x＋2)，＝(0，2)，＝(2，0)， ·＋·＝2(－x＋2)＋2x＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(　　) A.－1＋ B.－2 C.－1－ D.1 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：∵｜ka－b｜＝， ｜a＋b｜＝＝， ∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2. 又ka－b与a＋b的夹角为120°， ∴cos 120°＝， 即－＝， 化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，1)，则(　 　) A.a⊥b B.a与a－b夹角的余弦值为 C.向量a在向量b上的投影向量的模为 D.若c＝，则a⊥c BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：对于A：由题意得，a·b＝－5≠0，故A不正确； 对于B：由题意得，a－b＝(5，0)， 所以a与a－b夹角的余弦值为＝，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于C：易知＝＝＝－，所以向量a在向量b上的投影向量的模为，故C正确； 对于D：因为a＝(2，1)，c＝，所以a·c＝2×＋1× ＝0，所以a⊥c，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.设向量a＝(1，－2)，b＝(m，1)，a·b＝－4，则｜a＋b｜＝_____. 解析：由题意得，a·b＝m－2＝－4，解得m＝－2，所以a＋b＝ (－1，－1)，所以｜a＋b｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知向量a＝(－4，5)，b＝(－2，0)，c＝(λ，－1)，若(2a－b)⊥c，则λ＝______. － 解析：由题意得2a－b＝(－6，10).因为(2a－b)⊥c，所以－6λ＋10×(－1)＝0，解得λ＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知a＝(1，2)，b＝(－3，2). (1)求a－b及｜a－b｜； 解：a－b＝(4，0)，｜a－b｜＝＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值. 解：ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)， 因为ka＋b与a－b垂直， 所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0， 解得k＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则｜2a－b｜的最大值和最小值分别是(　　) A.4，0 B.4，2 C.25，1 D.5，1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：｜2a－b｜＝＝ ＝＝. ∵cos θ∈[－1，1]， ∴13－12cos θ∈[1，25]， ∴｜2a－b｜∈[1，5]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)已知向量a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，π])，则下列命题正确的是(　 　) A.若a⊥b，则tan θ＝ B.若b在a上的投影向量为－a，则向量a与b的夹角为 C.存在θ，使得｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ D.a·b的最大值为 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：若a⊥b，则a·b＝cos θ＋sin θ＝0，则tan θ＝－，故A中命题错误； 设向量a与b的夹角为α. ∵b在a上的投影向量为－a，｜a｜＝，且｜b｜＝1， ∴｜b｜·cos α·＝－a，∴cos α＝－， ∴α＝，故B中命题正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 易知(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(｜a｜＋｜b｜)2＝｜a｜2＋｜b｜2＋2｜a｜｜b｜， 若｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则a·b＝｜a｜·｜b｜cos α＝｜a｜ ｜b｜，即cos α＝1，故α＝0°，此时tan θ＝，故C中命题正确； a·b＝cos θ＋sin θ＝sin(θ＋φ)，因为0≤θ≤π，0＜φ＜，所以当θ＋φ＝时，a·b取最大值，为，故D中命题正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹 角为锐角，则实数λ的取值范围是_______________________. (－∞，－2)∪ 解析：若a与b同向共线，则存在实数k(k＞0)，使a＝kb，即i－2j＝k(i＋λj)，从而解得λ＝－2.由题意得a·b＝1－2λ且a与b不共线，所以1－2λ＞0，且λ≠－2，解得λ＜且λ≠－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.已知A(x，2)，B(2，3)，C(－2，5). (1)若x＝1，判断△ABC的形状，并写出证明过程； 解：当x＝1时，△ABC为直角三角形.证明如下： 当x＝1时，由A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则＝(－3，3)，＝(1，1)， 此时·＝－3×1＋3×1＝0，即⊥，即∠A＝，所以△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求实数x的值，使得｜＋｜最小； 解：由题意，＝(x＋2，－3)，＝(4，－2)，则＋＝(x＋6，－5)， 所以｜＋｜＝≥5，当且仅当x＝－6时取等号.故当x＝－6时，｜＋｜取得最小值为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)若存在实数λ，使得＝λ，求x，λ的值. 解：由题意，＝(x＋2，－3)，＝(4，－2)，因为＝λ，所以解得 $$