9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 第9章 平面向量 [学习目标]　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.　2.会用坐标表示平面向量的加减运算. [素养目标]　水平一：1.掌握向量的正交分解，领会平面向量坐标的定义.(数学抽象)　2.了解向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系，会用坐标表示平面向量的加、减运算.(数学抽象、数学运算) 水平二：掌握平面向量坐标运算的方法，并能灵活运用.(逻辑推理、数学运算) 在平面直角坐标系内，任意一点P都可以用有序实数对(x，y)来表示，而点P唯一对应着以原点O为起点，P为终点的向量，那么，平面内的任意一个向量a也能用一对有序实数来表示吗？ 探究活动1　向量的坐标表示 内容索引 探究活动2　向量线性运算的坐标表示 探究活动3　向量坐标运算的应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　向量的坐标表示 问题　如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用i，j表示成什么？a的坐标如何表示？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj，a＝(x，y). 1.向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个________ i，j作为基底.对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝________.特殊向量的坐标i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0). 知识生成 单位向量 (x，y) 2.点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形 式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义 不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 [例1]　如图，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，分别用i，j表示向量，，，并求出向量，，的坐标. 知识应用 解　由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，则坐标表示分别为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2). 求点和向量坐标的方法 1.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. 2.求一个向量的坐标，可以把向量起点放在坐标原点，则向量终点的坐标即为该向量的坐标. 1.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量与的坐标. 跟踪训练 解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点. 设B(x1，y1)，D(x2，y2)， 由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝， ∴B，D. 又∵A(0，0)，∴＝，＝. 探究活动2　向量线性运算的坐标表示 问题　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐 标吗？ 提示　a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 1.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ 知识生成   数学公式 文字语言表述 向量 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 向量 数乘 λa＝___________ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 (λx1，λy1) 2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标. [例2]　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求点M，N的坐标. 知识应用 解　法一：因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 所以＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3). 因为＝3，＝2， 所以＝3(1，8)＝(3，24)，＝2(6，3)＝(12，6). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)， ＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)， 所以 解得 所以M(0，20)，N(9，2). 法二：设O为坐标原点，则由＝3，＝2， 可得－＝3(－)，－＝2(－)， 所以＝3－2，＝2－. 所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2). 所以M(0，20)，N(9，2). 平面向量坐标(线性)运算的方法 1.若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. 2.若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 3.向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 2.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝ (　　) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0) D.(－7，0) 跟踪训练 A 解析：因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12). 探究活动3　向量坐标运算的应用 [例3]　直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ(λ≠－1)，λ称为点P分有向线段所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P分有向线段所成的比为λ(λ≠－1)，求点P的坐标. 知识应用 解　设P(x，y). 则＝(x－x1，y－y1)，＝(x2－x，y2－y)， 由＝λ， 得(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)， 于是 因为λ≠－1， 所以 所以点P的坐标为. 1.坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 2.用有向线段定比分点的坐标公式(λ≠－1)，可以求解有向线段定比分点的坐标及定点分有向线段所成的比. 3.已知点P1(2，－1)，点P2(－1，3)，点P在线段P1P2上，且｜｜ ＝｜｜，则点P的坐标为__________. 跟踪训练 解析：法一：设点P的坐标为(x，y)， ∵点P在线段P1P2上， ∴由｜｜＝｜｜， 可得＝. 又∵＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x，3－y)， ∴解得 ∴点P的坐标为. 法二：∵点P在线段P1P2上，且｜｜＝｜｜， ∴＝，由线段定比分点的坐标公式可得 ∴点P的坐标为. 1.牢记3个知识点 (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加减运算的坐标表示. (3)平面向量数乘运算的坐标表示. 2.掌握2种方法 求平面向量坐标的2种方法： (1)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标. (2)作差法：用向量终点的坐标减去起点的坐标即得向量的坐标. 3.注意1个易错点 在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号 错误. 备选题库 教师独具 1.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示为(　　) A.2i＋3j B.4i＋2j C.2i－j D.－2i＋j C 2.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ (　　) A.(－7，－4) B.(1，2) C.(－1，4) D.(1，4) A 解析：设C(x，y)，∵A(0，1)，∴＝(x，y－1)＝(－4，－3)， ∴解得∴C(－4，－2). 又B(3，2)，∴＝(－7，－4). 3.在平行四边形ABCD中，A(2，－1)，B(3，1)，则的坐标为____________. (－1，－2) 解析：＝＝(2，－1)－(3，1)＝(－1，－2). 4.已知点O(0，0)，向量＝(3，3)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点且靠近点B，则点P的坐标为__________. (5，－1) 解析：由已知得＝2.由有向线段定比分点坐标公式知λ＝2. 则点P的坐标为＝(5，－1). 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.设＝(3，1)，＝(－5，－1)，则＝(　　) A.(4，1) B.(4，－1) C.(－4，1) D.(－4，－1) D 解析：因为＝(3，1)，＝(－5，－1)， 所以＝(－)＝[(－5，－1)－(3，1)]＝(－4，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　) A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2 C.e1－3e2 D.3e1－e2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：根据平面向量的减法的几何意义可得a－b，如图， 在e1，e2的方向上进行分解，易知a－b＝e1－3e2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为(　　) A.－ B. C.－ D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为(　　) A.(－7，0) B.(7，6) C.(6，7) D.(7，－6) D 解析：设D(x，y)，因为＝， 所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)， 所以x＝7，y＝－6，即D(7，－6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：如图所示，因为∠AOC＝45°， 所以设C(x，－x)， 则＝(x，－x). 又因为A(－3，0)，B(0，2)， 所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)， 所以解得λ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)下列几种说法中，正确的有(　 　) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 ABD 解析：由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，则a＋b－c＝____________. (－2，－16) 解析：a＝＝(3，－1)－(－2，4)＝(5，－5)，b＝＝(－3，－4)－(3，－1)＝(－6，－3)，c＝＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， 所以a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知两点A(－2，3)，B(1，－5)，若点C使得＝－2，则点C的坐标为__________. (4，－13) 解析：设点C的坐标为(x，y)， 因为A(－2，3)，B(1，－5)，所以＝(x＋2，y－3)，＝(1－x，－5－y). 因为＝－2，即(x＋2，y－3)＝－2(1－x，－5－y)， 可得解得因此，点C的坐标为(4，－13). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标. 解：因为正三角形ABC的边长为2， 则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， 所以C(1，)，D， 所以＝(2，0)，＝(1，)， ＝(1－2，－0)＝(－1，)， ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且｜｜＝｜｜，求点P的坐标. 解：设点P坐标为(x，y)，｜｜＝｜｜. 当P在线段AB上时，＝. ∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)， ∴解得 ∴P点坐标为(1，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当P在线段AB延长线上时，＝－. ∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x，2－y)， ∴此时无解. 综上所述，点P的坐标为(1，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.在平面直角坐标系中，点P(，1)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是(　　) A.(－，1) B.(－1，) C.(－，1) D.(－1，) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由P(，1)，得P， ∵将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，∴Q. ∵cos＝－sin ＝－， sin＝cos ＝， ∴Q(－1，). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　) A.(2，0) B.(0，－2) C.(－2，0) D.(0，2) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2，2)， ∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4). 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)， ∴解得 ∴a在基底m，n下的坐标为(0，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.若过点P1(2，3)，P2(6，－1)的直线上一点P使｜｜∶｜｜＝3∶1，则点P的坐标为_________________. (8，－3)或(5，0) 解析：设O为坐标原点，连接OP，OP1，OP2. ∵｜｜∶｜｜＝3∶1，∴｜｜＝3｜｜， ∴＝3或＝－3. 当＝3，即＝－3时， ＝＋＝(8，－3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当＝－3，即＝3时， ＝＋＝(5，0). 故点P的坐标为(8，－3)或(5，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知点O(0，0)，A(1，2). (1)若点B(3t，3t)，＝＋，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ 解：＝＋＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)， 若点P在x轴上，则2＋3t＝0， ∴t＝－. 若点P在y轴上，则1＋3t＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴t＝－. 若点P在第二象限，则 ∴－＜t＜－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 解：不能，理由如下：＝(1，2)，＝－＝(3－3t，3－3t). 若四边形OABP为平行四边形， 则＝， 则该方程组无解， 故四边形OABP不能为平行四边形. $$