5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.2　等差数列 5.2.2　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 第五章　数列 [学习目标]　1.构造等差数列求和模型,解决实际问题.　2.能解决等差数列中前n项和的最值问题.　3.探索等差数列前n项和公式的有关性质,会应用性质解题. 知识点1　等差数列中前n项和的性质 内容索引 知识点2　等差数列中前n项和的最值问题 课时作业 巩固提升 知识点3　求数列{|an|}的前n项和 课堂达标·素养提升 知识点4　等差数列前n项和的实际应用 3 知识点1　等差数列中前n项和的性质 角度1　等差数列的片段和问题 等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,那么数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…(k∈N+)是等差数列,其公差等于k2d. [例1]　已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110. [解]　法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, ∵S10=100,S100=10, ∴解得 ∴S110=110a1+d =110×+×=-110. 法二:∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,设公差为d, ∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10,解得d=-22, ∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110. 法三:由也是等差数列,设公差为d,构造新的等差数列b1==10,b10==, 则d=(b10-b1)=×=-, ∴b11==b10+d=+=-1, ∴S110=-110. 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1.在解决等差数列问题时,先利用已知求出a1,d,再求所求,是基本解法,有时运算量大些. 2.等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. 3.设而不求,整体代换也是很好的解题方法. 思维提升 1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m. 跟踪训练 解:法一:在等差数列中, ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列, ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 法二:在等差数列中,,,成等差数列, ∴=+, 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 角度2　等差数列中奇、偶项的和 1.若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=. 2.若等差数列{an}的项数为2n+1,则S2n+1=(2n+1)an+1,S偶-S奇=-an+1, =. [例2]　在等差数列{an}中,S10=120,且在这10项中,=,则公差d=　　　　.  2 [解析]　由得 所以S偶-S奇=5d=10,所以d=2. 一般地,求等差数列奇、偶项的和需注意:如果已知和,能判断它的中间项是哪一项或哪两项;如果已知某一项或某两项,能判断它是多少项和的中间项. 思维提升 2.已知数列{an}是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是50,偶数项的和为34,若它的末项比首项小28,则该数列的公差是　　　　.  跟踪训练 -4 解析:设等差数列{an}的项数为2m,公差为d. ∵末项与首项的差为-28, ∴a2m-a1=(2m-1)d=-28.① ∵S奇=50,S偶=34, ∴S偶-S奇=34-50=-16=md,② 由①②得d=-4. 角度3　等差数列前n项和的比值问题 设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=. [例3]　有两个等差数列{an},{bn}满足=,求. [解]　法一:设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2, 则= =, 则有=,① 又由于=,② 观察①,②,可在①中取n=9,得==.故=. 法二:设{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn, 则有=,其中An=, 由于a1+a9=2a5. 即=a5,故A9==9a5. 同理B9=9b5.故=. 故===. 法三:因为等差数列的前n项和为 Sn=an2+bn=an, 根据已知,可令An=(7n+2)kn,Bn=(n+3)kn,k≠0. 所以a5=A5-A4=(7×5+2)k×5-(7×4+2)k×4=65k, b5=B5-B4=(5+3)k×5-(4+3)k×4=12k. 所以==. 法四:设{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,由=,有===. 1.本题反映了等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化,因为公式an=,所以an∶bn=S2n-1∶T2n-1. 2.等差数列的项随项数而均匀变化,这是等差数列的最本质特征.利用等差数列的性质解题,就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目,这样做必定会有事半功倍的效果. 思维提升 3.已知等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,=,则等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C.1 D.2 跟踪训练 A 解析:由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S11==11a6,同理可得T11=11b6,因此,====. 知识点2　等差数列中前n项和的最值问题 1.在等差数列{an}中, 当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取得最值的n可由不等式组确定; 当a1<0,d>0时,Sn有最小值,使Sn取得最值的n可由不等式组确定. 2.Sn=n2+n,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取得最值. [例4]　在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值. [解]　法一:∵S9=S17,a1=25, ∴9×25+d=17×25+d, 解得d=-2. ∴Sn=25n+×(-2)=-n2+26n =-(n-13)2+169. ∴当n=13时,Sn有最大值169. 法二:同法一,求出公差d=-2. ∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. ∵a1=25>0, 由 得 又∵n∈N+,∴当n=13时,Sn有最大值169. 法三:同法一,求出公差d=-2. ∵S9=S17, ∴a10+a11+…+a17=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0.∴a13>0,a14<0. ∴当n=13时,Sn有最大值169. 法四:同法一,求出公差d=-2.设Sn=An2+Bn. ∵S9=S17, ∴二次函数f(x)=Ax2+Bx的对称轴为x==13,且开口方向向下, ∴当n=13时,Sn取得最大值169. 等差数列前n项和最值的求法 1.二次函数法:等差数列前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)的形式,通过配方法,结合二次函数的图象求最值,但要注意n为正整数. 2.邻项变号法:对于等差数列中a1>0,d<0或a1<0,d>0的情况,通过研究变号项来求Sn的最大值或最小值. 思维提升 4.已知在等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式. (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值? 跟踪训练 解:(1)由a1=9,a4+a7=0, 得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2, ∴an=a1+(n-1)·d=11-2n. (2)法一:由(1)知,a1=9,d=-2, Sn=9n+·(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25, ∴当n=5时,Sn取得最大值. 法二:由(1)知,a1=9,d=-2<0,∴{an}是递减数列. 令an≥0,则11-2n≥0,解得n≤. ∵n∈N+,∴当n≤5时,an>0,当n≥6时,an<0, ∴当n=5时,Sn取得最大值. 知识点3　求数列{|an|}的前n项和 [例5]　若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn. [解]　∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n. 当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an =na1+d=13n+×(-4)=15n-2n2; 当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an) =S4-(Sn-S4)=2S4-Sn =2×-(15n-2n2)=56+2n2-15n. ∴Tn= 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项,也有负项,那么{|an|}不再是等差数列,求和关键是找到数列{an}的正、负项分界点处的n值,再分段求和. 思维提升 5.已知在等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn. 跟踪训练 解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由S2=16,S4=24, 得 即 解得 所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n. 由an≥0,解得n≤5. ①当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n. ②当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn =2×(-52+10×5)-(-n2+10n) =n2-10n+50, 故Tn= 知识点4　等差数列前n项和的实际应用 [例6]　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1 150万元,购买当天先付150万元,按约定以后每月的这一天都交付50万元,并加付所有欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部付清后,买这40套住房实际花了多少钱? [解]　因购房时付150万元,则欠款1 000万元,依题意知分20次付款,则每次付款的数额依次构成数列{an},则a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5, a3=50+(1 000-50×2)×1%=59, a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5, 所以an=50+[1 000-50(n-1)]×1% =60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N+), 所以{an}是以60为首项,-为公差的等差数列, 所以a10=60-9×=55.5, 所以分期付款的第10个月应付55.5万元. 又a20=60-19×=50.5. 所以S20=×(a1+a20)×20=10×(60+50.5)=1 105. 所以实际共付1 105+150=1 255(万元). 1.与等差数列前n项和有关的应用题,其关键在于构造合适的等差数列. 2.遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,抽象出数列的模型,并用有关知识解决相关的问题. 思维提升 6.某地在抗洪抢险中接到预报,24 h后有一个超历史最高水位的洪峰到达,为保证万无一失,抗洪指挥部决定在24 h内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算,如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h,可以筑起第二道防线,但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外,其余车辆需从各处紧急抽调,每隔20 min就可有一辆车到达并投入工作.问:指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作,才能保证24 h内完成第二道防线?请说明理由. 跟踪训练 解:设从现有一辆车投入工作算起,各车的工作时间,依次组成数列{an},则an-an-1=-. ∴数列{an}构成首项为24,公差为-的等差数列.设还需组织(n-1)辆车,则a1+a2+…+an=24n+·≥20×25, ∴n2-145n+3 000≤0,即(n-25)(n-120)≤0, ∴25≤n≤120, ∴nmin=25, ∴n-1=24. 故至少还需组织24辆车陆续工作,才能保证24 h内完成第二道防线. 〈课堂达标·素养提升〉 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(　　) A.63　　　　　　　　　 B.45 C.36 D.27 解析:∵a7+a8+a9=S9-S6,由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,∴S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. B 2.含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　) A. B. C. D. B 解析:S奇=,S偶=, ∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴=. 3.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=　　　　时,数列{an}的前n项和最大.  解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0, ∴a8>0,a9<0.∴当n=8时,数列{an}的前n项和最大. 8 4.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为　　　　.  解析:由条件知a1+a3+a5+a7+a9+a11=30, 又∵a1+a11=a3+a9=a5+a7,∴a5+a7=2a6=10, ∴中间项a6=5. 5 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　) A.5　　　　　　　　　 B.4 C.3 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:法一:由题意得S偶-S奇=5d=15, ∴d=3. 法二:解方程组得d=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.若数列{an}满足:a1=19,=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:因为-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大,则有 所以即≤k≤. 因为k∈N+,所以k=7.故满足条件的n的值为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且=,那么的值为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:设S4=m,则S8=3m,由性质得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,S4=m,S8-S4=2m,所以S12-S8=3m,S16-S12=4m,所以S16=10m,∴==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一,宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”,其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示,顶上一层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,…).若一“落一形”三角锥垛有6层,则该堆垛第6层的小球个数为(　　) A.45 B.36 C.28 D.21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:由题意分析可得a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,…,则“三角形数”的通项公式an=,a6==21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4或5 解析:由解得 ∴a5=a1+4d=0, ∴S4=S5且同时最大. ∴n=4或5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且 =(n∈N+),则+=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:设An=kn(7n+45),Bn=kn(n+3),k≠0,则n≥2,n∈N+时,an=An-=k(14n+38),bn=k(2n+2),则==,==,所以+=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围. (2)问前几项的和最大?并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)∵a3=12,∴a1=12-2d. ∵S12>0,S13<0, ∴即 ∴-<d<-3. 即d的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)∵S12>0,S13<0, ∴ ∴ ∴a6>0,又由(1)知d<0. ∴数列前6项为正,从第7项起为负, ∴数列前6项的和最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则的值为(　　) A. B.- C.3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:法一:由等差数列的求和公式可得==,可得a1=2d且d≠0,所以===. 法二:由=,得S6=3S3.S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9仍然是等差数列,公差为(S6-S3)-S3=S3,从而S9-S6=S3+2S3=3S3,则S9=6S3,S12-S9=S3+3S3=4S3,则S12=10S3,所以=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)设数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且S7<S8,S8=S9>S10,则下列结论正确的是( 　　) A.d<0 B.a9=0 C.S11>S7 D.S8,S9均为Sn的最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 解析:由S7<S8得 a1+a2+a3+…+a7<a1+a2+…+a7+a8, 即a8>0,又∵S8=S9, ∴a1+a2+…+a8=a1+a2+…+a8+a9, ∴a9=0,故B正确; 同理,由S9>S10,得a10<0, ∴d=a10-a9<0,故A正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于C,S11>S7,即a8+a9+a10+a11>0, 可得2(a9+a10)>0, 由结论a9=0,a10<0,显然C错误; ∵S7<S8,S8=S9>S10, ∴S8与S9均为Sn的最大值,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且=(n∈N+),则+=　　　　.  解析:因为b3+b18=b6+b15=b10+b11,所以+=====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=4,S6=78,则an=　　　　,的 最大值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6n-8 解析:因为a2=4,S6=78, 所以解得 所以an=-2+(n-1)×6=6n-8, Sn==(3n-5)n, 所以==-+=-5+, 因为n∈N+,所以当n=3时,=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.数列{an}的前n项和Sn=33n-n2. (1)求{an}的通项公式; (2){an}的前多少项和最大; (3)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和S'n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)法一:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n, 又当n=1时,a1=S1=33-1=32满足an=34-2n.故{an}的通项公式为an=34-2n(n∈N+). 法二:由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以{an}是等差数列, 由Sn的结构特征知 解得a1=32,d=-2, 所以an=34-2n(n∈N+). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)法一:令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17, 故数列{an}的前17项大于或等于零. 又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大. 法二:y=-x2+33x的对称轴为x=, 距离最近的整数为16,17. 由Sn=-n2+33n的图象可知:当n≤17时,an≥0,当n≥18时,an<0, 故数列{an}的前16项或前17项的和最大. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)由(2)知,当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0. 所以当n≤17时,S'n=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2. 当n≥18时, S'n=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an| =a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an) =S17-(Sn-S17)=2S17-Sn =n2-33n+544. 故S'n= 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且数列是公差为2的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为数列是公差为2的等差数列,且=a1=1, 所以=1+(n-1)×2=2n-1, 所以Sn=2n2-n. 又因为an=Sn-Sn-1(n≥2), 所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-3. 又因为a1=1符合n≥2的情况, 所以an=4n-3(n∈N+). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)因为bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3), 当n为偶数时,Tn=(-1)+5+(-9)+13+…+[-(4n-7)]+(4n-3), 所以Tn=[(-1)+5]+[(-9)+13]+…+{[-(4n-7)]+(4n-3)}=4×=2n, 当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn =2(n-1)+[-(4n-3)]=1-2n. 综上可知,Tn= 13 $$