5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.2　等差数列 5.2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 第五章　数列 [学习目标]　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.　2.掌握等差数列的前n项和公式,熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个.　3.了解等差数列前n项和的函数特征. 知识点1　等差数列前n项和公式的推导与应用 内容索引 知识点2　等差数列前n项和的基本运算 课时作业 巩固提升 知识点3　等差数列前n项和的函数特征 课堂达标·素养提升 3 知识点1　等差数列前n项和公式的推导与应用 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d [例1]　在进行1+2+3+…+100的求和运算时,德国数学家高斯提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法.已知数列an=,则a1+a2+…+am+2 021等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. B [解析]　依题意知an=, 记S=a1+a2+…+am+2 021, 则S=++…++, 又S=++…++, 两式相加可得2S=++…++=,则S=. 等差数列前n项和公式的推导采用的方法为倒序相加法,倒序相加法的核心思想是利用与首末两项等距离的两项相加为定值或为等差数列,以便化简后求和. 思维提升 1.等差数列前4项的和为40,最后4项的和为80,所有各项的和为720,则这个数列一共有　　　　项.  跟踪训练 48 解析:记该等差数列为{an}, 其前n项和为Sn, 由题意可得a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=80, 两式相加结合等差数列的性质可得, 4(a1+an)=120,解得a1+an=30, ∴Sn==15n=720. 解得n=48. 知识点2　等差数列前n项和的基本运算 [例2]　在等差数列{an}中. (1)已知S8=48,S12=168,求a1和d; (2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8; (3)已知a16=3,求S31. [解]　(1)∵Sn=na1+n(n-1)d, ∴ 解方程组得a1=-8,d=4. (2)∵a6=10,S5=5,∴ 解方程组得a1=-5,d=3, ∴a8=a6+2d=10+2×3=16, S8==44. (3)S31=×31=a16×31=3×31=93. 等差数列中的基本计算 1.利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. 2.结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质:若s+t=p+q(s,t,p,q∈N+),则as+at=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用. 思维提升 2.在等差数列{an}中. (1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)已知S7=42,Sn=510,=45,求n. 跟踪训练 解:(1)法一:由已知条件得 解得 ∴S10=10a1+d=10×3+×4=210. 法二:由已知条件得 ∴a1+a10=42, ∴S10==5×42=210. (2)S7==7a4=42, ∴a4=6, ∴Sn====510, ∴n=20. 知识点3　等差数列前n项和的函数特征 [例3]　已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? [解]　根据Sn=a1+a2+…++an可知 =a1+a2+…+(n≥2,n∈N+), 当n≥2时,an=Sn-=n2+n-=2n-,① 当n=1时,a1=S1=12+×1=,也满足①式. ∴数列{an}的通项公式为an=2n-. ∵-an=2(n+1)--=2, 故数列{an}是以为首项,2为公差的等差数列. 1.已知Sn求an,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2),这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错. 2.在判断{an}是否为等差数列时,务必验证n=1是否满足{an}(n≥2)的通项公式. (1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1,且{an}是等差数列. (2)若a1不适合an,则an= 且{an}不是等差数列. 思维提升 3.已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否为等差数列. 跟踪训练 解:当n=1时,a1=S1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-[-2(n-1)2+3(n-1)+1]=-4n+5. 又当n=1时,a1=2不满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an= 当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列. 〈课堂达标·素养提升〉 1.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于(　　) A.2　　　　　　　　　　 B.3 C.6 D.7 B 解析:法一:由 解得d=3. 法二:由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d,所以20-4=4+4d,解得d=3. 2.已知数列{an}的通项公式为an=2-3n,n∈N+,则{an}的前n项和Sn等于(　　) A.-n2+ B.-n2- C.n2+ D.n2- A 解析:∵an=2-3n,∴a1=2-3=-1,∴Sn==-n2+. 3.在一个等差数列中,已知a10=10,则S19=　　　　.  解析:S19== =19a10=19×10=190. 190 4.已知数列{an}是等差数列,Sn是它的前n项和.若S4=20,a4=8,则S8=　　　　.  解析:设{an}的公差为d,则由解得a1=d=2,∴S8=8×2+×2=72. 72 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8=(　　) A.31　　　　　　　　　　 B.32 C.33 D.34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:由已知可得解得∴S8=8a1+d=32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:等差数列前n项和的形式为Sn=an2+bn,又Sn=(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ,∴1+λ=0.即λ=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(多选)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的是(　　) A.{an}是递增数列 B.a10=-14 C.当n>4时,an<0 D.当n=3或4时,Sn取得最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 CD 14 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,又a1=S1=6满足上式,所以an=-2n+8,则{an}是递减数列,故A错误;a10=-12,故B错误;当n>4时,an=8-2n<0,故C正确;因为y=-x2+7x图象的对称轴为x=,开口向下,所以当n=3或4时,Sn取得最大值,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.在等差数列{an}中,++2a3a8=9,且an<0,则S10等于(　　) A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:由++2a3a8=9,得(a3+a8)2=9, ∵an<0,∴a3+a8=-3, ∴S10====-15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=22,S5=100,则S10=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 350 14 解析:法一:设等差数列{an}的公差为d, 则解得 所以S10=10×8+×10×9×6=350. 法二:设Sn=An2+Bn, 则解得所以S10=3×102+5×10=350. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=　　　　.  解析:因为Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d =2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,所以k=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 7.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列的通项公式; (2)若Sn=242,求n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d. 则 解得 ∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n(n∈N+). (2)由Sn=na1+d以及a1=12,d=2,Sn=242, 得方程242=12n+×2,即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).故n=11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1 220,求这个等差数列的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:法一:由题意知S10=310,S20=1 220, 将它们代入公式Sn=na1+d, 得到解得 ∴Sn=n×4+×6=3n2+n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 法二:∵S10==310, ∴a1+a10=62.① ∵S20==1 220, ∴a1+a20=122,② 由②-①,得a20-a10=60, ∴10d=60, ∴d=6,a1=4. ∴Sn=na1+d=3n2+n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 014=S2 018,Sk=S2 008,则正整数k为(　　) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数的对称性及S2 014=S2 018,Sk=S2 008,可得=,解得k= 2 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是(　　 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 14 解析:因为Sn是等差数列{an}的前n项和, 所以Sn=an2+bn(a,b为常数,n∈N+), 则其对应函数为y=ax2+bx. 当a=0时,该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点,如选项C; 当a≠0时,该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点,如选项A,B; 选项D中的曲线不过原点,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  解析:依题意得=3n-2,即Sn=3n2-2n,所以数列{an}为等差数列,且a1=S1=1,a2=S2-S1=7,所以公差d=6,所以an=6n-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6n-5 14 12.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=3(n∈N+),则 an=　　　　,a4+a7+a10+…+a3n+4=　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3n-2 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题意可知,数列{an}是以1为首项,以3为公差的等差数列, 所以an=1+3(n-1)=3n-2. 因此,a4+a7+a10+…+a3n+4=10+19+28+…+[3×(3n+4)-2]==. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110. (1)求a及k的值; (2)设数列{bn}的通项公式bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)解:设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k. 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去), 故a=2,k=10. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)证明:由(1)得Sn==n(n+1), 则bn==n+1, 故-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列, 所以Tn==. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵{an}为等差数列, ∴a3+a4=a2+a5=22. 又a3·a4=117, ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0, ∴a3<a4, ∴a3=9,a4=13. ∴ ∴∴an=4n-3(n∈N+). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)知,Sn=n·1+·4=2n2-n, ∴bn==, ∴b1=,b2=,b3=. ∵{bn}是等差数列, ∴2b2=b1+b3, ∴2c2+c=0, ∴c=-(c=0舍去). 13 14 $$