5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第2课时　等差数列的性质 第五章　数列 [学习目标]　1.能理解等差中项的概念.　2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.　3.能运用等差数列的性质简化计算.　4.能运用等差数列解决实际问题. 知识点1　等差中项 内容索引 知识点2　等差数列的性质 课时作业 巩固提升 知识点3　灵活设元解等差数列 课堂达标·素养提升 知识点4　等差数列的实际应用 3 知识点1　等差中项 如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的等差中项,且A=. [例1]　(1)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列; (2)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项. [解]　(1)∵-1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7的等差中项, ∴b==3. 又a是-1与3的等差中项, ∴a==1. 又c是3与7的等差中项,∴c==5. ∴该数列为-1,1,3,5,7. (2)由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10. 两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6. 所以m和n的等差中项为=3. 三个数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2=an+(n∈N+). 思维提升 1.已知a=,b=,则a,b的等差中项为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 跟踪训练 A 解析:因为a+b=+ = ==2, 所以a,b的等差中项为. 2.已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列,求p,q的值. 解:由x1=3,得2p+q=3,① 又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4, 得3+25p+5q=25p+8q,即q=1,② 将②代入①,得p=1. 知识点2　等差数列的性质 一般地,如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at= .特别地,如果2s=p+q,则 =ap+aq. ap+aq 2as 注意: (1)推广:若m+n+p=x+y+z,则am+an+ap=ax+ay+az. (2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同. (3)在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,即a1+an=a2+an-1=…. (4)在等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,则这些项组成的数列仍为等差数列. (5)若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列,则有 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为常数) {an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N+) {pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p,q为常数) [例2]　在公差为d的等差数列{an}中. (1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13; (2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d. [分析]　本题可以直接转化为基本量的运算,求出a1和d后再解决其他问题,也可以利用等差数列的性质来解决. [解]　法一:(1)化成a1和d的方程如下: (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48, 即4(a1+12d)=48. ∴4a13=48,∴a13=12. (2)化成a1和d的方程如下: 解得或 ∴d=3或-3. 法二:(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,及a2+a24=a3+a23=2a13. 得4a13=48,∴a13=12. (2)由a2+a3+a4+a5=34,及a3+a4=a2+a5得 2(a2+a5)=34, 即a2+a5=17. 解得或 ∴d===3或d===-3. 等差数列运算的两种常用思路 1.基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量. 2.巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar. 思维提升 3.已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15等于(　　) A.7　　　　　　　　　 B.14 C.21 D.7(n-1) 解析:因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7, 所以a3+a15=2a9=2×7=14. 跟踪训练 B 4.设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　.  35 解析:法一:设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35. 法二:∵数列{an},{bn}都是等差数列, ∴数列{an+bn}也构成等差数列, ∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5), ∴2×21=7+a5+b5,∴a5+b5=35. 知识点3　灵活设元解等差数列 [例3]　已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数. [解]　法一:设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意,得解得或 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二:设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,得 化简,得解得或 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得 化简,得解得 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 设等差数列的三个技巧 1.对于连续奇数项的等差数列,可设为…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d. 2.对于连续偶数项的等差数列,通常可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d. 3.等差数列的通项可设为an=pn+q. 思维提升 5.三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数. 解:设这三个数依次为a-d,a,a+d, 则解得 ∴这三个数为4,3,2. 跟踪训练 6.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,求|m-n|的值. 解:设a1=,a2=+d,a3=+2d,a4=+3d,而方程x2-2x+m=0的两根之和为2,方程x2-2x+n=0的两根之和也为2, ∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4,∴d=. 因此a1=,a4=是一个方程的两根,a2=,a3=是另一个方程的两个根.∴m,n分别为,或,. ∴|m-n|=. 知识点4　等差数列的实际应用 [例4]　某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将开始亏损? [解]　设从第一年起,第n年的利润为an万元, 则a1=200,an+1-an=-20(n∈N+), ∴每年的利润构成一个等差数列{an}, 从而an=a1+(n-1)d =200+(n-1)×(-20) =220-20n(n∈N+). 若an<0,则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an=220-20n<0,得n>11, 即从第12年起,该公司经销此产品将开始亏损. 解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题. 思维提升 7.在通常情况下,从地面到10 km高空,高度每增加1 km,气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃,5 km高度的气温是-15.5 ℃,求2 km,4 km,8 km高度的气温. 跟踪训练 解:设an表示n km高度的气温,则数列{an}为等差数列,设公差为d,则a1=8.5,a5=-15.5, 由a5=a1+4d=8.5+4d=-15.5,解得d=-6, ∴an=14.5-6n(1≤n≤10,n∈N+), ∴a2=2.5,a4=-9.5,a8=-33.5, 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2.5 ℃,-9.5 ℃,-33.5 ℃. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在等差数列{an}中,a2=5,a6=33,则a3+a5=(　　) A.36　　　　　　　　　 B.37 C.38 D.39 解析:a3+a5=a2+a6=5+33=38. C 2.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则=(　　) A. B. C. D. C 解析:∵b是x,2x的等差中项,∴b==x.又∵x是a, b的等差中项,则2x=a+b,∴a=,∴=. 3.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a3+b3=　　　　,an+bn=　　　　.  100 100 解析:设两个等差数列的公差分别为d1,d2, ∴a2=a1+d1,b2=b1+d2, ∴a2+b2=a1+b1+d1+d2, 即100=100+d1+d2, ∴d1+d2=0, ∴a3+b3=a1+b1=100. ∵d1+d2=0, ∴{an+bn}是常数列,即an+bn=100. 4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=　　　　.  解析:设其公差为d,∵a1+a3+a5=105, ∴3a3=105,∴a3=35. 同理,由a2+a4+a6=99,得a4=33. ∴d=a4-a3=-2. ∴a20=a4+16d=33+16×(-2)=1. 1 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为(　　) A.5　　　　　　　　　　 B.6 C.8 D.10 解析:由a1+a9=2a5=10得a5=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 2.如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=(　　) A.14 B.21 C.28 D.35 解析:由题意可知a3+a4+a5=3a4=12,即a4=4, 又a1+a2+…+a7=3(a1+a7)+a4=7a4, ∴a1+a2+…+a7=7×4=28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 3.在数列{an}中,=+(n∈N+,n≥2)且a2 020=,a2 022=, 则a2 024=(　　) A. B. C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由=+(n∈N+,n≥2)知,数列是等差数列,则其公差d==.因此=+2d=+2×=,所以a2 024=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.把100个面包分给五个人,使每人所得面包数成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:设五个人分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+a+d+a+2d=5a=100,∴a=20,由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d得3a+3d=7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=,∴最小的一份为a-2d=20-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为　　　　.  解析:设方程x2+6x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-6,所以x1,x2的等差中项为=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -3 6.已知在数阵中,每行、每列的四个数均成等差数列,如果数阵中a12=2,a31=1,a34=7,那么a32=　　　　,a22=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 解析:设第三行的四个数的公差为d3,由a31=1,a34=7,得d3==2,所以a32=1+2=3.因为第二列的四个数成等差数列,所以a22是a12,a32的等差中项,所以a22===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. 解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列, ∴d=1.故所求的四个数为-2,0,2,4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(1)已知在等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值; (2)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)法一:根据等差数列的性质a2+a10=a4+a8=2a6, 由a2+a6+a10=1,得3a6=1,解得a6=, ∴a4+a8=2a6=. 法二:设公差为d,根据等差数列的通项公式, 得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d, 由题意知,3a1+15d=1,即a1+5d=. ∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设公差为d,∵a1+a3=2a2, ∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5. 又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列, ∴a1a3=(5-d)(5+d)=16⇒d=3或d=-3(舍去), ∴a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为(　　) A.99 B.131 C.139 D.141 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:设该高阶等差数列的第8项为x,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图: 由图可得则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)设{an}是等差数列,则下列结论中错误的是(　 　) A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a1<a2,则a2> D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 解析:若等差数列是an=5-3n,满足a1+a2=2+(-1)=1>0,但a2+a3=(-1)+(-4)=-5<0,A错误; an=5-3n也满足a1+a3=2+(-4)=-2<0,但a1+a2=2+(-1)=1>0,B错误; 若0<a1<a2,则a2=>,C正确; 设等差数列{an}的公差为d,则(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在数列{an}中,a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则 a4=　　　　,an=　　　　.  解析:由题意可知=+, 解得a4=.又=+(n-2)×=,∴an=-1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.某商场用如下方法促销某品牌的上衣:原销售价为每件280元,改为买一件的单价为265元,买两件的单价为250元,依此类推,每多买一件,则所买各件的单价均再减少15元,但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(单位:元),求an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设购买n件商品时,每件的单价为bn元,则数列组成以b1=265为首项,-15为公差的等差数列. 又单价不能低于160元,则265+(n-1)·(-15)≥160,解得n≤8,所以当n>8时,bn=160. 综上所述,得bn=n∈N+. 从而an=n∈N+. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.在数列{an}中,已知a1=5,且an=2an-1+2n-1(n≥2,且n∈N+). (1)求a2,a3的值. (2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为a1=5, 所以a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33. (2)假设存在实数λ,使得数列为等差数列, 则,,成等差数列, 所以2×=+,即=+. 解得λ=-1. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当λ=-1时, -=[(an+1-1)-2(an-1)] =(an+1-2an+1) =[(2an+2n+1-1)-2an+1] =×2n+1 =1. 综上可知,存在实数λ=-1,使得数列为等差数列. 13 $$