5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 第五章　数列 [学习目标]　1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念.　2.掌握等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决一些简单的问题.　3.体会等差数列与一次函数的关系. 知识点1　等差数列的定义 内容索引 知识点2　等差数列的通项公式 课时作业 巩固提升 知识点3　等差数列与函数的关系 课堂达标·素养提升 知识点4　等差数列的证明及应用 3 知识点1　等差数列的定义 一般地,如果数列{an}从第 项起,每一项与它的前一项之差都等于_____________,即 恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的 . 2 同一个常数d an+1-an=d 公差 [例1]　判断下列数列是否为等差数列,如果不是,请说明理由. (1)1,3,5,7,9,…; (2)2,-2,2,-2,2,-2,…; (3)1,1,1,1,…; (4)6,5,3,1,-1,-3,…; (5)m,m+n,m+2n,2m+n; (6)a-d,a,a+d. [解]　(1)该数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数2,所以该数列是等差数列. (2)-2-2=-4,2-(-2)=4,不是同一个常数,所以该数列不是等差数列. (3)该数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数0,所以该数列是等差数列. (4)因为5-6=-1,而从第3项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2, 所以该数列不是等差数列,但可以说从第2项起是等差数列. (5)因为(m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n,2m+n-(m+2n)=m-n, 所以当m=2n时,该数列是等差数列, 当m≠2n时,该数列不是等差数列. (6)因为a-(a-d)=a+d-a=d, 所以该数列是等差数列. 判断一个数列是不是等差数列,就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数,但当数列项数较多或是无穷数列时,逐一验证显然不行,这时可以验证-an(n≥1,n∈N+)是不是一个与n无关的常数. 思维提升 1.数列{an}的通项公式an=2n+5(n∈N+),则此数列(　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 跟踪训练 A 解析:∵-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, ∴{an}是公差为2的等差数列. 2.若数列1,3,a+3,b是等差数列,则a=　　　　,b=　　　　.  解析:由题意得a+3-3=3-1, ∴a=2,公差d=3-1=2,∴b=5+2=7. 2 7 知识点2　等差数列的通项公式 一般地,以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an= . a1+(n-1)d [例2]　在等差数列{an}中,已知a4=7,a10=25,求通项公式an. [解]　设数列{an}的公差为d. ∵a4=7,a10=25, 则 得 ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5, ∴通项公式an=3n-5(n∈N+). [例3]　已知数列{an}为等差数列,a3=,a7=-,求a15的值. [解]　设数列{an}的公差为d. 由 得解得a1=,d=-. ∴a15=a1+(15-1)d=+14×=-. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可. 2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”. 思维提升 3.在等差数列{an}中, (1)若a5=15,a17=39,试判断91是否为此数列中的项; (2)若a2=11,a8=5,求a10. 跟踪训练 解:设数列{an}的公差为d, (1)由题意得解得 所以an=7+2(n-1)=2n+5,n∈N+. 令2n+5=91,得n=43. 因为43为正整数,所以91是此数列中的项. (2)由题意得解得 所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n,n∈N+, 所以a10=13-10=3. 知识点3　等差数列与函数的关系 如果记f(x)=dx+a1-d,则等差数列的通项公式an=f(n),而且 (1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是 (因此,公差为0的等差数列是常数列); (2)当公差d≠0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当 时,{an}是递增数列;当 时,{an}是递减数列. 常数列 d>0 d<0 [例4]　已知数列{an}的通项公式an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?若是,首项和公差分别是多少? [解]　取数列{an}中任意两项an和an-1(n>1), 作差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p. 它是一个与n无关的常数,所以{an}是等差数列. 由于an=pn+q=q+p+(n-1)p, 所以首项a1=p+q,公差d=p. 根据等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知{an}为等差数列⇔an=pn+q(p,q为常数),此结论可用来判断{an}是否为等差数列,也揭示了等差数列的函数本质. 思维提升 4.已知数列{an}满足a1=1,n∈N+,若点在直线x-y+1=0上,则an等于(　　) A.n2　　　　B.n　　　　C.n+2　　　　D.n+1 跟踪训练 A 解析:由题设可得-+1=0,即-=1,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,故通项公式为=1+(n-1)×1=n,所以an=n2(n∈N+). 知识点4　等差数列的证明及应用 [例5]　已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2,n∈N+),令bn=. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:bn+1-bn=- =- =- ==. 又b1==,∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. (2)解:由(1)知是等差数列, ∴=+(n-1)·=,解得an=2+, ∴{an}的通项公式为an=2+(n∈N+). 证明一个数列{an}为等差数列,用定义an+1-an=d(作差法)证明是最常用的基本方法. 思维提升 5.在数列{an}中,a1=1,2anan-1=an-1-an(n≥2,n∈N+). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 跟踪训练 (1)证明:由2anan-1=an-1-an,若an=0, 则an-1=0,与a1=1矛盾,故an≠0, 将2anan-1=an-1-an两边同时除以anan-1得-=2, 又=1,所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)解:由(1)得=1+2(n-1)=2n-1, 所以an=(n∈N+). 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为(　　) A.an=2n-5　　　　　　　　 B.an=2n-3 C.an=2n-1 D.an=2n+1 B 解析:设等差数列{an}的公差为d,则a+1=a-1+d,d=2;2a+3=a+1+d, ∴a=0, ∴a1=-1, ∴an=-1+2(n-1)=2n-3. 2.在数列{an}中,a1=2,2-2an=1,则a101的值为(　　) A.52 B.51 C.50 D.49 解析:因为2an+1-2an=1,a1=2,所以an+1-an=,所以数列{an}是首项a1=2,公差d=的等差数列,所以a101=a1+100d=2+100×=52. A 3.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=　　　　.  解析:公差d===2,∴a10=a2+8d=2+8×2=18. 18 4.{an}是首项a1=2,公差d=3的等差数列,若an=2 024,则n=　　　　.  解析:∵a1=2,d=3,∴an=2+(n-1)×3=3n-1. 由3n-1=2 024得n=675. 675 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是(　　) A.公差为1的等差数列　　　 B.公差为的等差数列 C.公差为-的等差数列 D.不是等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=.所以数列{an}是公差为的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:设{an}的首项为a1,公差为d,则有得所以a6=a1+5d=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.等差数列20,17,14,11,…中第一个负数项是(　　) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:∵a1=20,d=-3, ∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n, ∴a7=2>0,a8=-1<0. 故数列中第一个负数项是第8项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.一个等差数列的首项为23,公差为整数,且前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为(　　) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:设公差为d,d∈Z,由a6=23+5d>0,且a7=23+6d<0,得-<d<-. 又因为d∈Z,所以d=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.在数列{an}中,a1=3,an=an-1+3(n≥2),则an=　　　　.  解析:因为当n≥2时,an-an-1=3, 所以{an}是首项a1=3,公差d=3的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3n 14 6.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=　　　　.  解析:设公差为d,则a5-a2=3d=6,∴a6=a3+3d=7+6=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 14 7.在等差数列{an}中. (1)已知a1=8,a9=-2,求d与a14; (2)已知a3+a5=18,a4+a8=24,求d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由a9=a1+8d=-2, ∵a1=8, ∴d=-, ∴a14=a1+13d=8+13×=-. (2)∵(a4+a8)-(a3+a5)=4d=6,∴d=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.若等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a2是关于x的方程x2-a3x+a4=0的两根,求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:由题意知, ∴ 解得或(舍), ∴an=2+(n-1)×2=2n. 此时a3=6,a4=8, 满足Δ=-4a4=4>0, 故数列{an}的通项公式为an=2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.在数列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N+),则该数列的通项公式为(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:由=+,得-=-,则数列是首项为=1,公差为-=2-1=1的等差数列,所以=n,即an=(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)《九章算术》中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)关于这个问题,下列说法正确的是(　　) A.甲得钱是戊得钱的2倍 B.乙得钱比丁得钱多钱 C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D.丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 14 解析:依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,且a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5, ∴a=1,d=-,即a-2d=1-2×=,a-d=1-=, a+d=1+=,a+2d=1+2×=, ∴甲得钱,乙得钱,丙得1钱,丁得钱,戊得钱,则有如下结论: 甲得钱是戊得钱的2倍,故A正确; 乙得钱比丁得钱多-=钱,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 甲、丙得钱的和是乙得钱的=2倍,故C正确; 丁、戊得钱的和比甲得钱多+-=钱,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为　　　　.  解析:an=2+(n-1)×3=3n-1, bn=-2+(n-1)×4=4n-6, 令an=bn,得3n-1=4n-6, ∴n=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则a15=　　　　.  解析:等号两边同时取倒数,有=+1,所以-=1,即是以1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,故=15,a15=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N+). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:∵an+1=, ∴====+, 即-=,∴是等差数列. (2)解:由(1)可知=+(n-1)×=,即an=(n∈N+). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 14.已知数列{an}满足:a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),求数列{an}的通项公式. 解:由an-an+2=2可知an+2-an=-2,即{an}的奇数项,偶数项分别成等差数列. ①当n=2k-1(k∈N+)时,a2k-1=10+(k-1)×(-2)=12-2k(k∈N+), ∴an=12-(n+1)=11-n(n为奇数). ②当n=2k(k∈N+)时,a2k=5+(k-1)×(-2)=7-2k(k∈N+),∴an=7-n(n为偶数). ∴an= 14 $$