5.1.1 第2课时 数列与函数的关系-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 第2课时　数列与函数的关系 第五章　数列 [学习目标]　1.理解数列与函数的关系.　2.会判断数列的单调性.　 3.会求数列的最大(小)项. 知识点1　数列与函数的关系 内容索引 知识点2　数列的单调性 课时作业 巩固提升 知识点3　数列的最大(小)项 课堂达标·素养提升 3 知识点1　数列与函数的关系 事实上,数列{an}可以看成定义域为 的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取 时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的 .这就提示我们,数列也可以用平面直角坐标系中的 来直观地表示. 正整数集 正整数值 解析式 点 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列定义域一定为正整数集 B.数列的图象可以是连续的曲线 C.数列的图象只能是离散的点 D.数列在y轴左侧没有图象 [解析]　数列定义域为正整数集或其子集,可知答案为C,D. CD 在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})这一约束条件,即数列是一种特殊的函数,主要特殊在其定义域,从而使得图象和值域也具备特殊性. 思维提升 1.对任意的an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N+),则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 跟踪训练 A 解析:根据题意知,由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足. 知识点2　数列的单调性 [例2]　已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}是递增数列还是递减数列? [解]　∵an=, ∴an+1==. 法一:an+1-an=- = =, ∵n∈N+,∴an+1-an>0,即an+1>an, ∴数列{an}为递增数列. 法二:∵n∈N+,∴an>0. ∵====1+>1, ∴an+1>an, ∴数列{an}为递增数列. 法三:令f(x)=(x≥1),则 f(x)==, ∴函数f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴数列{an}是递增数列. 1.判断数列的单调性,通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N+)的大小,若an+1>an恒成立,则{an}为递增数列;若an+1<an恒成立,则{an}为递减数列. 2.用作差法判断数列增减性的步骤为(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论. 思维提升 2.已知数列的通项公式为an=. (1)问是不是这个数列的项?如果是,为第几项;如果不是,请说明理由. (2)判断数列的增减性并证明. 跟踪训练 解:(1)是这个数列的第17项.理由如下: 由an==,可解得n=17, 故是数列的项,是第17项. (2)数列是递增数列,证明如下: 由题知,an+1-an=- ==. ∵n∈N+,∴n+51>0,n+52>0,即an+1-an>0, ∴数列是递增数列. 知识点3　数列的最大(小)项 [例3]　已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. [解]　法一:an+1-an =(n+2)-(n+1)=×,则 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an, ∴a1<a2<a3<…<a9,a9=a10,a10>a11>a12>…, ∴该数列中有最大项,为第9项,第10项,且a9=a10=10×. 法二:根据题意,令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N+,∴n=9或n=10. ∴该数列中有最大项,为第9项,第10项, 即a9=a10=10×. 1.由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件. 2.可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项;利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项. 思维提升 3.已知an=,则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是(　　) A.a1,a50　　　　　　　　 B.a1,a100 C.a49,a50 D.a49,a100 跟踪训练 C 解析:an===2-, 当1≤n≤49,n∈N+时,2n-99<0,an=2->2,且随着n的变大,an变大, 当50≤n≤100,n∈N+时,2n-99>0,an=2-<2,且随着n的变大,an变大, 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是a49,a50. 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列数列中,为递减数列的是(　　) A.1,2,22,23,…,263 B.1,0.5,0.52,0.53,… C.0,10,20,30,…,1 000 D.-1,1,-1,1,-1,… 解析:A,C为递增数列,D为摆动数列,B为递减数列. B 2.已知数列{an}的通项公式为an=,按项的变化趋势,该数列是(　　) A.递增数列　　　　　　　 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 解析:因为an+1-an=-=<0,所以an+1<an.故该数列是递减数列. B 3.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50,则数列中的最小项是　　　　.  解析:数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50=+, 因为n∈N+,所以当n=3或n=4时,an最小,此时a3=a4=38,则数列中的最小项是38. 38 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知n∈N+,下列数列是递增数列的是(　　) A.an=　　　　　　　 B.an=1-2n C.an=n2 D.an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:对于A,an-an-1=-=-<0,故为递减数列,故A错误. 对于B,an-an-1=-2<0,故为递减数列,故B错误. 对于C,an-an-1=2n-1>0,故为递增数列,故C正确. 对于D,an-an-1=-=-<0,故为递减数列,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(多选)如果为递增数列,则的通项公式可以为(　　) A.an=2n+3 B.an=-n2-3n+1 C.an= D.an=1+log2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 解析:对A:an+1-an=2(n+1)+3-2n-3=2>0,故A符合; 对B:an+1-an=-(n+1)2-3(n+1)+1-(-n2-3n+1)=-2n-4<0,故B不符合; 对C:an+1-an=-=-<0,故C不符合; 对D:an+1-an=1+log2(n+1)-1-log2n=log2>log21=0,故D符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知数列的通项公式为an=n2-2kn,当它为递增数列时,k的取值范围是(　　) A.k< B.k≤ C.k<1 D.k≤1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:因为是单调递增数列,所以对于任意的n∈N+,都有an+1>an, 即(n+1)2-2k(n+1)>n2-2kn,化简得k<n+, 所以k<n+对于任意的n∈N+都成立,因为n+≥,所以k<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.写出一个各项均小于3的无穷递增数列的通项公式:an= 　 　　　(n∈N+).  解析:对任意的n∈N+,>0,则3-<3, 数列为单调递增数列,故满足条件的一个数列的通项公式为an=3-(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3-(答案不唯一) 5.已知在数列中,an=an2-n,且是递增数列,则实数a的取值范围为 　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:an+1-an=-(an2-n)=2an+a-1>0恒成立, ∴a(2n+1)>1,a>. ∵n∈N+,∴≤,∴a>. ∴实数a的取值范围为. 6.在数列中,已知an=,且a2=,a3=. (1)求通项公式an. (2)求证:是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)解:由an=,且a2=,a3=可得 解得因此an=. 所以数列的通项公式为an=,n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)证明:根据递增数列的定义可知, an+1-an=- = =>0, 即an+1>an,故是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.在数列中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题: (1)这个数列共有几项为负? (2)这个数列从第几项开始递增? (3)这个数列中有无最小值?若有,求出最小值;若无,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n+2)(n-10)<0, 解得1≤n<10,n∈N+,所以数列前9项为负数, 也即共有9项为负数. (2)因为an+1-an=(n+1)(n+1-8)-20-=2n-7, 当an+1-an=2n-7>0时,n>,即从第4项开始数列开始递增. (3)an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n-4)2-36, 根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36,即数列中有最小值,最小值为-36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.(多选)已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)·,则下列说法正确的是(　 　) A.数列{an}的最小项是a1 B.数列{an}的最大项是a4 C.数列{an}的最大项是a5 D.当n≥5时,数列{an}递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BCD 解析:假设第n项为{an}的最大项,则即所以又n∈N+,所以n=4或n=5,故数列{an}中a4与a5均为最大项,且a4=a5=,当n≥5时,数列{an}递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知数列满足:an=(n∈N+,a>0),数列是递增数列,则实数a的可能取值为(　　) A.2 B. C. D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:因为an=f(n)=(n∈N+),且为递增数列, 所以即解得<a<3, 结合选项可知符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知an=50×(n∈N+),则数列中落在区间内的项的个数是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 解析:因为函数y=在R上单调递减, 由题意an=50×(n∈N+),可知数列为单调递减数列, 令1≤50×≤10,则≤≤,即5≤2n≤50, 则n取3,4,5,故数列中落在区间内的项的个数是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知数列的通项公式an=,则数列的最大项的值为 　　　　;数列的最小项的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 -23 解析:由an==1+, 则当1≤n≤11(n∈Z)时,an随n的增大而减小,且an<0; 当n≥12(n∈Z)时,an随n的增大而减小,且an>0, 所以数列的最大项的值为a12=25;最小项的值为a11=-23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知函数f(x)=,设数列的通项公式为an=f(n),其中n∈N+. (1)求证:0≤an<1; (2)判断是递增数列还是递减数列,并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:由题意可知an=f(n)==1-, 又因为n∈N+,所以0<≤1,因此0≤1-<1,即0≤an<1. (2)解:因为an+1-an=-=, 又因为n∈N+,n+1>n≥1,所以>0, 从而an+1-an>0,即an+1>an, 因此是递增数列. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),数列{bn}的通项公式为bn=n2+1(n∈N+). (1)0.98是不是数列{an}中的一项? (2)判断数列{an}的单调性,并求最小项; (3)若cn=lg an+lg bn(n∈N+),求满足cn>3最小的n的值. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)假设0.98是数列{an}中的一项,则有=0.98, 解得n2=49,所以n=7,因此,a7=0.98,即0.98是数列{an}中的第七项. (2)an==1-, 对任意n∈N+,an+1-an=-+=>0, 所以数列{an}是单调递增数列,最小项是第一项,a1=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)cn=lg an+lg bn=lg +lg(n2+1)=lg n2,令cn>3得lg n2>3,即n2>103, 因为312=961,322=1 024,且n∈N+, 所以满足cn>3最小的n的值为32. 13 $$