5.1.1 第1课时 数列的概念与通项公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与通项公式 第五章　数列 [学习目标]　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法,掌握数列的分类.　2.理解数列的通项公式,能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项. 知识点1　数列的概念与分类 内容索引 知识点2　数列的通项公式 课时作业 巩固提升 知识点3　数列通项公式的应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　数列的概念与分类 1.数列的定义 2.数列的分类   类别 含义 按项的 个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列 常数列 各项都 的数列 有限 无限 大于 小于 相等 [例1]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列4,7,3,4的首项是4 B.在某数列中,若首项为3,则从第2项起,各项均不等于3 C.数列1,2,3,4与数列2,1,3,4为同一数列 D.数列中的项不能是三角形 AD (2)已知下列数列: ①2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023,2 024; ②1,,,…,,…; ③1,-,,…,,…; ④1,0,-1,…,sin,…; ⑤2,4,8,16,32,…; ⑥-1,-1,-1,-1. 其中,有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　 　,递增数列是 　　　　,递减数列是　　　　,常数列是　　　　,摆动数列是　　　　.(填序号)  ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [解析]　(1)由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确;同一个数在数列中可以重复出现,故B错误;两者次序不同,所以不是同一数列,故C错误;数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确. (2)①为有穷、递增数列;②为无穷、递减数列;③为无穷、摆动数列;④为无穷、摆动数列;⑤为无穷、递增数列;⑥为有穷、常数列. 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有以下特点: (1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性; (2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性); (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性); (4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他形式. 思维提升 2.判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点.判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限. 1.下列说法正确的是(　　) A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列 B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列 C.1,4,2,,不是数列 D.2,1,2,1是数列 跟踪训练 D 解析:A中,排列次序不同,不是同一数列;B中,数列的项数不同,不是同一数列;C,D都是数列. 2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1,,,,… B.sin,sin,sin,sin,… C.-1,-,-,-,… D.1,2,3,4,…,30 C 解析:A是无穷递减数列;B是无穷摆动数列;D是有穷数列. 知识点2　数列的通项公式 1.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,其中an表示数列的第 项(也称 为an的序号,其中n为正整数,即n∈N+),称为数列的 .此时,一般将整个数列简记为 . 2.一般地,如果数列的 an与n之间的关系可以用 来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个 . n n 通项 {an} 第n项 an=f(n) 通项公式 [例2]　写出下列数列的一个通项公式: (1)9,99,999,9 999,…; (2),,,,…; (3)-,,-,,…; (4)2,0,2,0,…. [解]　(1)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为an=10n-1(n∈N+). (2)数列中每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,可用2n-1表示;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,可用(n+1)2表示,分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数,可用n表示,综上,原数列的通项公式为an=(n∈N+). (3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n(n∈N+). (4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2,偶数项是0的数列,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1+1(n∈N+).或利用三角函数cos[(n-1)π] +1(n∈N+). 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 1.先统一项的结构,如都化成分数、根式等. 2.分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号间的规律. 3.对于正负交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号. 4.对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和或差的形式,或者利用周期函数,如三角函数等. 思维提升 3.写出下列数列的一个通项公式: (1)0,3,8,15,24,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)1,2,3,4,…; (4)1,11,111,1 111,…. 跟踪训练 解:(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1(n∈N+). (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1(2n-1)(n∈N+). (3)此数列的整数部分为1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=(n∈N+). (4)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9 999,…,易知数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式为bn=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(n∈N+). 知识点3　数列通项公式的应用 [例3]　已知数列的通项公式为an=. (1)求a4. (2)是不是该数列中的项?为什么? (3)在区间内是否有该数列中的项?若有,求出有几项;若没有,请说明理由. [分析]　(1)化简得到an=,计算出a4; (2)令=,方程无正整数解,故得到答案; (3)得到不等式组,求出n=3,得到答案. [解]　(1)因为an===,所以a4==. (2)由(1)知an=,令=,解得n=. 因为n∈N+,所以=无正整数解,即不是该数列中的项. (3)由(1)知an=,令<<, 则解得<n<.因为n∈N+,所以n=3,所以在区间内有该数列中的项,且只有一项. 1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项. 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数,则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项. 思维提升 4.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出数列的第4项和第6项. (2)问-49和68是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由. 跟踪训练 解:(1)根据an=3n2-28n,得a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60. (2)令3n2-28n=-49, 即3n2-28n+49=0, ∴n=7或n=(舍). ∴-49是该数列的第7项, 即a7=-49. 令3n2-28n=68, 即3n2-28n-68=0, ∴n=-2或n=. ∵-2∉N+,∉N+, ∴68不是该数列的项. 〈课堂达标·素养提升〉 1.数列-,,-,,…的通项公式可能是an=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. D 解析:因为数列-,,-,,…可以写成: -=,=,-=,=,…, 所以其通项公式为an=. 2.已知数列{an}的通项公式为an=,那么是它的(　　) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 解析:设是数列中的第n项,则=,解得n=4或n=-5.∵-5∉N+,∴n=-5应舍去,故n=4. A 3.下列说法正确的是　　　　(填序号).  ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列; ②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列; ③数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. 解析:因为{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,所以①错误;数列1,2,3,4,…,2n共有2n项,是有穷数列,所以③错误. ② 4.数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第　　　　项.  解析:令an=log2(n2+3)-2=log2=log23,即=3,解得n=3. 3 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列说法正确的是(　　) A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列 C.数列的第k项是1+ D.数列0,2,4,6,8,…,可表示为an=2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:对于A,{1,3,5,7}是集合;对于B,是两个不同的数列;对于C,ak==1+;对于D,an=2(n-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.数列0.7,7.7,77.7,777.7,…的一个通项公式是an=(　　) A.(10n-1)　　　　　　　 B.(10n-1) C.(10n-1) D.(10n-1) 解析:代入n=1检验,排除A,B,C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 3.数列的通项公式为an=则a2·a3等于(　　) A.70 B.28 C.20 D.8 解析:由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 4.已知an=,则数列{an}中相等的连续两项是(　　) A.第9项,第10项 B.第10项,第11项 C.第11项,第12项 D.第12项,第13项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:假设an=an+1, 则有=,解得n=10, 所以相等的连续两项是第10项和第11项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.观察下列数列的特点,用适当的一个数填空: 1,,,　　　　,3,,….  解析:由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数,所以需要填空的数为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3为此数列的第　　　　项.  解析:令an=n2-8n+15=3,即n2-8n+12=0,解得n=2或6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2或6 14 7.根据下列各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2),2,,8,,…; (3)5,55,555,5 555,…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5). (2)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察,即,,,,,…,分子为项数的平方,分母都为2,从而可得数列的一个通项公式为an=. (3)将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n-1,故所求的数列的一个通项公式为an=(10n-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知无穷数列,,,,…. (1)求出这个数列的一个通项公式. (2)该数列在区间内有没有项?若有,有几项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1) ∵ 数列的分子依次为4,9,16,25,…,可看成与n有关的关系式(n+1)2, 而每一项的分母恰好比分子大于1,∴ 通项公式的分母可以为(n+1)2+1, 故该数列的一个通项公式为an=(n=1,2,…). (2) 当≤an≤时,可得≤≤, 解得2≤n≤5,故数列在内有项,并且有4项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生也与雪花类似,由等边三角形开始,把三角形的每一条边三等分,并以每一条边三等分后的中段为边,向外作新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边,接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程,即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形(如图(2),(3),(4)是图(1)经过第一次,第二次,第三次变化所得雪花曲线).若按照上述规律,一个边长为3的等边三角形,经过四次变化得到的雪花曲线的周长是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A. B. C. D. 答案:C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:设雪花曲线的边长分别为a1,a2,a3,a4,a5,边数为b1,b2,b3,b4,b5, 周长为Sn(n=1,2,3,4,5).a1=3, a2=a1×=1,a3=a2=,a4=a3=,a5=, b1=3,b2=3×4,b3=3×4×4,b4=3×4×4×4,b5=3×4×4×4×4, S1=9,S2=12,S3=16,S4=,S5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)数列,0,,0,…的通项公式可以是(　 　) A.an=[1-(-1)n](n∈N+) B.an= (n∈N+) C.an=(n∈N+) D.an=(1-cos nπ)(n∈N+) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 14 解析:经代入检验,A,C,D均可以作为已知数列的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知数列{an},an=an+2m(a<0,n∈N+),满足a1=2,a2=4,则 m=　　　　,a3=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 14 解析: ∴a2-a=2, ∴a=2或-1, 又a<0,∴a=-1. 又a+2m=2,∴m=, ∴an=(-1)n+3, ∴a3=(-1)3+3=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.如图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图中共有化学键　　 　个.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (5n+1) 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:各图中的化学键个数依次是6,6+5,6+5+5,….若把6看成是1+5,则上述数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图有化学键(5n+1)个. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.在数列{an}中,an=,n∈N+. (1)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内. (2)区间内有没有数列中的项?若有,有几项? 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:因为an==1-,n∈N+, 所以0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内. (2)解:令<<,则<n2<2,n∈N+,解得n=1,即在区间内有且只有1项a1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 14.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+. (1)写出它的第10项; (2)判断是不是该数列中的项; (3)求an+1及a2n. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)a10===. (2)令an==, 当n为偶数时,=,整理得8n2-33n-35=0, 解得n=-或n=5,因为n∈N+且n为偶数,所以原方程无解; 当n为奇数时,an<0,所以原方程无解. 综上所述,不是该数列中的项. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)an+1= =; a2n==. 14 $$