第5章 章末检测(一) 数列-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

章末检测(一)　数列 (时间:120分钟,满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在公差为d的等差数列中,a6=6,a3a7=48,则d=(　　) A.1或2　　　　　　　　 B.1 C.-1 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 解析:在等差数列中,a6=6,a3a7=48, 则a3a7=(a6-3d)(a6+d)=3(2-d)(6+d)=48,整理得(d+2)2=0, 所以d=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知等比数列满足a1+a2=,a4+a5=6,则数列前8项的和S8=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 解析:设等比数列的公比为q, 因为a1+a2=,a4+a5=6,可得解得a1=,q=2, 所以数列的前8项的和S8===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知数列满足a1=1,an+1-an=,则a4=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 解析:在数列中,an+1-an==-,因此an+1+=an+, 则数列是常数列,于是an+=a1+=2,an=2-,所以a4=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知在正项等比数列中,a2a4=16,且a3,10,成等差数列,则a1+a4+a7=(　　) A.157 B.156 C.74 D.73 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:由等比中项性质知a3==4. 由a3,10,成等差数列,得20=a3+,所以a6=32, 所以等比数列的公比q==2,所以a1==1,a4=a3q=8,a7=a3q4=64,所以a1+a4+a7=73. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=(　　) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:法一:设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a5·a2n-5=22n得a1q4·a1q2n-6 =q2n-2=22n.又an>0,所以(a1qn-1)2=(2n)2,所以a1qn-1=2n.log2a1 +log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a3…a2n-1)=log2(q0+2+…+2n-2) =log2[qn(n-1)]=log2(a1qn-1)n=log2(2n)n=n2. 法二:由等比中项的性质,得a5·a2n-5=(an)2=22n,注意到an>0,所以an=2n. 利用特殊值法,如令n=2,则log2a1+log2a3=log2(2×23)=log224=4.只有选项C符合. 法三:由等比中项的性质,得a5·a2n-5=(an)2=22n,注意到an>0,所以an=2n. 于是log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.设数列和都为等差数列,记它们的前n项和分别为Sn和Tn,满足=,则=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 解析:数列和都为等差数列,且=, 则====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.在各项均为正数的等比数列中,已知a2>1,其前n项之积为Tn,且T20=T10,则Tn取得最大值时,则n的值为(　　) A.15 B.16 C.29 D.30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 解析:由T20=T10,得=a11a12…a19a20==1, a15a16=1, 则a1a30=a2a29=a15a16=1,由于a2>1,得0<a29<1, 所以等比数列是递减数列,故a15>1>a16>0,则Tn取得最大值时n=15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.设数列满足a1+2a2+3a3+…+nan=3n+3(n∈N+),则数列的前 2 024项和为(　　) A.2 023 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:由a1+2a2+3a3+…+nan=3n+3 ①, 当n=1时,a1=6, 当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=3(n-1)+3=3n ②, 由①-②得nan=3,所以an=, 当n=1时,上式不成立, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以an= 则= 故数列的前2 024项和为 1+-+-+…+-=1+-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若7个正数成等差数列,且这7个数的和为5,则此等差数列的公差d可能是(　　) A.- B. C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AB 解析:设这7个数依次为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,其和S7=7a4=5,所以a4=, 要使这7个数均为正数,则所以解得-<d<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知等差数列的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S10<S8<S9,则下列说法正确的是(　　) A.当n=8时,Sn最大 B.使得Sn<0成立的最小自然数n=18 C.|a8+a9|>|a10+a11| D.中最小项为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BD 解析:∵ ∴即 两式相加,解得当n=9时,Sn最大,故A错误; 由S10<S8,可得到a9+a10<0<a9,∴a8+a11<0, a10+a11-(a8+a9)=4d<0,a10+a11+a8+a9<0, ∴<,故C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由以上可得a1>a2>a13>…>a9>0>a10>a11>…, S17==17a9>0,而S18==9(a9+a10)<0, 当n≤17时,Sn>0;当n≥18时,Sn<0, ∴使得Sn<0成立的最小自然数n=18,故B正确; 当n≤9或n≥18时,>0;当9<n<18时,<0, 由0>a10>a11>…>a17,S10>S11>S12>…>S17>0, ∴中最小项为,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.某人买一辆15万元的新车,购买当天支付3万元首付,剩余向银行贷款,月利率0.3%,分12个月还清(每月购买车的那一天分期还款).有两种金融方案:等额本金还款,将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期所还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率;等额本息还款,每一期偿还同等数额的本息和,利息以复利计算.下列说法正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A.等额本金方案,所有的利息和为2 340元 B.等额本金方案,最后一个月还款金额为10 030元 C.等额本息方案,每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列 D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少,所以等额本金方案优于等额本息方案 答案:ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析:对于A,利息和为(120 000+110 000+100 000+…+10 000)×0.003= 2 340(元),故A正确; 对于B,倒数第二个月还款后,剩余本金10 000,一个月利息为30元,本息和应为10 030元,故B正确; 对于C,设第n个月贷款利息为an,偿还本金为bn,p为贷款总额, 则a1=0.3%p,a2=0.3%(p-b1),则b2=(a1+b1)-a2=0.3%p+b1-0.3%(p-b1)=b1(1+0.3%), a3=0.3%(p-b1-b2),则b3=(a2+b2)-a3=0.3%(p-b1)+b2-0.3%(p-b1-b2)=b2(1+0.3%)=b1(1+0.3%)2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 同理得b4=b1(1+0.3%)3,b5=b1(1+0.3%)4,…,b12=b1(1+0.3%)11, 所以数列是以1+0.3%为公比的递增等比数列,所以C正确; 对于D,由选项C可知,=120 000,得b1=, 所以每月还款的本息和为a1+b1=120 000×0.3%+, 所以等额本息还款利息和为12(a1+b1)-120 000 =12×-120 000 =12×120 000×0.3%×-120 000≈2 353, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 两种贷款方案各有优劣,等额本金方案起初还款金额高,还款压力大,还款金额逐年递减;等额本息每月还款金额相同,低于等额本金方案前半段时间还款额,高于后半段时间还款额;还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益,故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知等差数列的前n项和为Sn,若S3,S5,S7-8成等差数列,a2,a4,a8成等比数列,则a1=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设的公差为d,因为S3,S5,S7-8成等差数列,所以S3+S7-8=2S5,即S3+S7-8=S5+S5,S7-S5-8=S5-S3,即a6+a7-8=a5+a4即4d=8,得d=2. 因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2a8,即=(a1+d)(a1+7d), 即=(a1+2)(a1+14),解得a1=2. 13 14 15 16 17 18 19 13.等比数列的前n项和为Sn,且数列{S5n+5-S5n}的公比为32,则=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 8 解析:设的公比为q,则的公比为= ==q5=32, 则的公比q=2,则=q3=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.若正整数集N+的非空子集T满足:至少含有2个元素,且任意两个元素之差的绝对值大于1,则称T为数集N+的超子集.对于集合An=(n∈N+,n≥3),记An的超子集的个数为an,则a5=　　　　,an与an-1,an-2(n≥5)的关系为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 an=an-1+an-2+n-2(n≥5) 解析:由题意知,A3=,则超子集只有,所以a3=1; A4=,则超子集有,,,所以a4=3; A5=,则超子集有,,,,,,,所以a5=7. 由此可以分析,对于An=(n∈N+,n≥3),An的超子集可以分为两类: 第一类是超子集中不含n,这类超子集有an-1个; 第二类是超子集中含n,这类超子集同样也包含两类, 一类在(n∈N+,n≥3)中取一个元素,个数为n-2; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 另一类在(n∈N+,n≥5)中取两个或两个以上元素,任意两个元素之差的绝对值大于1,个数为an-2, 所以an=an-1+an-2+n-2(n≥5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)记cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)∵{bn}为等比数列,∴{bn}的公比q==3, ∴b1==1,b4=b3q=9×3=27. 设等差数列{an}的公差为d, ∵a1=b1=1,a14=b4=27,a14=a1+13d, ∴d==2,∴an=a1+(n-1)d=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1, ∴cn=an+bn=(2n-1)+3n-1, ∴{cn}的前n项和Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1=+=n2+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)在各项均不相等的等差数列中,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列,数列的前n项和Sn满足Sn=2n+1-2. (1)求数列,的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)设数列的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d, ∵a1,a2,a5成等比数列,∴=a1a5,即=a1(a1+4d), 整理得d2=2a1d,解得d=0(舍去)或d=2a1=2, ∴an=a1+(n-1)d=2n-1, 当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n+1-2n=2×2n-2n=2n, 当n=1时,b1=2满足上式, 所以数列的通项公式为bn=2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)==, 则数列的前n项和Tn===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)某地今年年初有居民住房面积为a m2,其中需要拆除的旧房面积占了一半,当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房,同时每年拆除x m2的旧住房,又知该地区人口年增长率为4.9‰. (1)如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房面积x是多少? (2)依照(1)的拆房速度,共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房? 参考数据: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1.19≈2.36 1.004 99≈1.04 1.110≈2.6 1.004 910≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 解:(1)设今年人口为b人,则10年后人口为b(1+4.9‰)10≈1.05b. 1年后的住房面积为a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的住房面积为(1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1), 3年后的住房面积为(1.12a-1.1x-x)×(1+10%)-x=1.13a-x(1+1.1+1.12),…, 10年后的住房面积为1.110a-x(1+1.1+1.12+…+1.19)≈2.6a-x·≈2.6a-16x. 所以=2×,解得x=. (2)全部拆除旧房还需a÷=16(年). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知数列满足++…+=. (1)求的通项公式; (2)设bn=,记数列的前n项和为Sn,证明:≤Sn<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)解:因为++…+=, 当n=1时,==1,所以a1=1; 当n≥2时,++…+=, 所以=-=n,所以an=n2, 经检验当n=1时an=n2也成立, 所以an=n2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)证明:由(1)可得bn===-, 所以Sn=1-+-+…+-=1-<1, 当n=1时,S1=1-=, 且Sn+1-Sn=1--=->0, 所以单调递增,所以≤Sn<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)设数列的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2an+2n+2. (1)求an; (2)求Sn; (3)若对任意的n∈N+,(-1)nλ<Sn成立,求λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)因为an+1=2an+2n+2,所以=+2,所以-=2, 因为a1=2,所以=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列, 则=1+2(n-1)=2n-1, 故an=(2n-1)·2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)可得Sn=2+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n, ① 则2Sn=22+3×23+5×24+…+(2n-1)·2n+1, ② 由①-②,得-Sn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)·2n+1, 即-Sn=2+-(2n-1)·2n+1=(3-2n)·2n+1-6, 故Sn=(2n-3)·2n+1+6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)因为an>0,所以Sn+1>Sn. 当n为奇数时,-λ<(2n-3)·2n+1+6对任意的n=2k-1,k∈N+恒成立,则λ>-2; 当n为偶数时,λ<(2n-3)·2n+1+6对任意的n=2k,k∈N+恒成立,则λ<14. 综上,λ的取值范围是(-2,14). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$