第5章 习题课 求数列通项的常用方法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

习题课　求数列通项的常用方法 第五章　数列 [学习目标]　1.熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式.　2.能够利用公式an=及累加法、累乘法、构造数列法等求数列通项公式. 题型一　累加(乘)法求数列的通项公式 内容索引 题型二　 由an与Sn的关系求通项公式 课时作业 巩固提升 题型三　构造辅助数列求通项公式 课堂达标·素养提升 3 题型一　累加(乘)法求数列的通项公式 角度1　形如an+1-an=f(n),求an [例1]　设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N+),则数列{an}的通项公 式an=　　　　 .  [解析]　由题意有a2-a1=2,a3-a2=3,…, an-an-1=n(n≥2). 以上各式相加,得an-a1=2+3+…+n==. 又因为a1=1,所以an=(n≥2). 因为当n=1时也满足上式,所以an=. an+1-an=f(n)型求通项公式的方法 1.若f(n)为常数,即an+1-an=d,则数列{an}为等差数列,an=a1+(n-1)d. 2.若f(n)为关于n的函数,用累加法求通项an. 其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数. 若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; 若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和. 思维提升 1.在数列{an}中,a1=2,an+1-an=2n,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  跟踪训练 2n 解析:因为a1=2,an+1-an=2n, 所以a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…, an-an-1=2n-1,n≥2, 以上各式累加得,an-a1=2+22+23+…+2n-1, 故an=+2=2n, 当n=1时,a1也符合上式, 所以an=2n. 角度2　形如an+1=anf(n),求an [例2]　在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式 an=　　　　.  [解析]　因为an=an-1(n≥2), 所以=,=,=,…,=. 以上(n-1)个式子相乘得an=a1···…·==. 当n=1时,a1=1,上式也成立. 所以an=. =f(n)型求通项公式的方法 1.当f(n)为常数,即=q(其中q是不为0的常数)时,数列{an}为等比数列,an=a1·qn-1. 2.当f(n)为关于n的函数时,用累乘法. 思维提升 2.在数列{an}中,a1=2,an+1=an,求数列{an}的通项公式. 解:由题意可得an≠0,所以=, 则有=,=,=,…,=, 把以上各式叠乘,得=n. 又因为a1=2,所以an=2n. 跟踪训练 题型二　 由an与Sn的关系求通项公式 角度1　形如Sn=f(n),求an [例3]　已知数列{an}的前n项和Sn=2n+3,求数列{an}的通项公式. [解]　当n=1时,a1=S1=5; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1. 因为a1=5不符合上式, 所以数列{an}的通项公式为an= 已知Sn=f(n)求an的步骤 第一步,令n=1,得a1=S1,求出a1. 第二步,当n≥2时,用n-1替换Sn中的n得到Sn-1的关系式,利用an=Sn-Sn-1便可求出当n≥2时an的表达式. 第三步,检验a1是否符合第二步中求出的an的表达式. 第四步,写出数列的通项公式. 注意:若第三步中当n=1时,an表达式的值不等于a1,则数列的通项公式一定要分段表示. 思维提升 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项公式为　　　 　.  解析:∵Sn=n2-9n,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10, 又a1=S1=-8符合上式, ∴an=2n-10. 跟踪训练 an=2n-10 角度2　形如Sn=f(an),求an [例4]　已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2+1(n∈N+). (1)求a2的值; (2)求数列{an}的通项公式. [解]　(1)因为a1=1,an+1=2+1, 所以a2=2+1=2+1=3. (2)法一:将an+1=2+1两边平方, 得4Sn=(an+1-1)2. 所以当n≥2时,4Sn-1=(an-1)2, 两式相减,得4an=(an+1-1)2-(an-1)2, 化简得(an+1-an-2)(an+1+an)=0. 因为数列{an}的各项均为正数, 所以an+1-an-2=0,即an+1-an=2, 又a2-a1=3-1=2, 所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列, 即an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N+). 法二:由an+1=2+1, 得Sn+1-Sn=2+1, 故Sn+1=(+1)2. 因为an>0,所以Sn>0, 所以 =+1, 所以数列{}是首项为1,公差为1的等差数列, 所以 =1+(n-1)=n,所以Sn=n2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又a1=1符合上式,所以an=2n-1(n∈N+). 已知Sn与an之间的关系式求an,解决此类问题通常有两种途径 1.由关系式消去Sn,建立an与an-1(或an+1)之间的关系式求an. 2.由关系式消去an,建立Sn与Sn-1(或Sn+1)之间的关系式求Sn,进而求an. 思维提升 4.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N+),则an等于(　　) A.2n+1　　　　　　　　 B.2n C.2n-1 D.2n-2 跟踪训练 A 解析:因为Sn=2an-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-4, 两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即an=2an-2an-1, 整理得an=2an-1,所以=2. 因为S1=a1=2a1-4,即a1=4, 所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列, 则an=4×2n-1=2n+1. 题型三　构造辅助数列求通项公式 角度1　形如an+1=pan+q(p≠0且p≠1),求an [例5]　已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则数列{an}的通项公式为an=　　 　　.  2·3n-1-1 [解析]　因为an+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1),所以=3, 所以数列{an+1}为等比数列且公比q=3, 又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1. 根据形如an+1=pan+q的递推关系式求通项公式时,一般先构造公比为p的等比数列{an+x},即将原递推关系式化为an+1+x=p(an+x)的形式,再求出数列{an+x}的通项公式,最后求{an}的通项公式. 思维提升 5.已知在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N+)在直线4x-y+1=0上,则 数列{an}的通项公式为　　　　　　 　　.  跟踪训练 an=×4n-1- 解析:因为点Pn(an,an+1)(n∈N+)在直线4x-y+1=0上, 所以4an-an+1+1=0, 所以an+1+=4. 因为a1=3,所以a1+=. 故数列是首项为,公比为4的等比数列, 所以an+=×4n-1,故数列{an}的通项公式为an=×4n-1-. 角度2　形如an+1=(A,B,C为常数),求an [例6]　已知在数列{an}中,a1=1,an+1=,则数列{an}的通项公式为 an=　　　　.  [解析]　因为an+1=,a1=1, 所以an≠0, 所以=+,即-=. 又a1=1,则=1, 所以是以1为首项,为公差的等差数列, 所以=+(n-1)×=+. 所以an=. 根据形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系式求通项公式时,一般对递推式两边同时取倒数,当A≠C时,化为+x=的形式,可构造公比为的等比数列,其中用待定系数法求x是关键,当A=C时,可构成一个等差数列. 思维提升 6.已知在数列{an}中,a1=,an-an+1=2an+1an,则数列{an}的通项公式为 an=　　　　.  跟踪训练 解析:因为an-an+1=2an+1an, 所以an+1=,所以=+2,-=2, 又a1=,则=2, 所以是以2为首项,2为公差的等差数列, 所以=+(n-1)×2=2n,所以an=. 角度3　形如an+1=pan+q·rn+1(p≠0且p≠1,q≠0,r≠0且r≠1),求an [例7]　已知在数列{an}中,a1=,an+1=5an+3n,则数列{an}的通项公式 an=　　 　　.  2×5n-1-×3n [解析]　法一:an+1=5an+3n,设an+1+p×3n+1=5(an+p×3n), 整理得an+1=5an+2p×3n,与原式对照, 可得2p=1,得p=, ∴an+1+×3n+1=5,a1+×3=2, ∴数列是以2为首项,5为公比的等比数列, ∴an+×3n=2×5n-1,∴an=2×5n-1-×3n. 法二:将an+1=5an+3n两边同除以5n+1, 得=+,∴=+×. 令bn=,即bn+1-bn=×, ∴b2-b1=×,b3-b2=×,…, bn-bn-1=×, 以上所有式子相加,得 bn-b1=×+×+…+×=×=, ∴bn=+=-×, 即=-×,∴an=2×5n-1-×3n. 形如an+1=pan+q·rn+1(p≠0且p≠1,q≠0,r≠0且r≠1),两边同除以rn+1,得=·+q,令bn=,得bn+1=bn+q,转化为an+1=Aan+B类型解决. 思维提升 7.已知数列{an}满足an+1=2an+3·2n,a1=2,求数列{an}的通项公式. 解:将an+1=2an+3·2n两边同时除以2n+1, 得=+,则-=. 又==1,故数列是以1为首项,为公差的等差数列. 由等差数列的通项公式, 得=1+(n-1)=n-, 所以数列{an}的通项公式为an=(3n-1)·2n-1. 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为(　　) A.an=6n-5 B.an= C.an=5n-6 D.an= B 解析:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5, 显然当n=1时,不满足上式. 故数列的通项公式为an= 2.在数列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,则数列{an}的通项公式为an=　　 　　.  解析:由递推关系得=, 又a1=4, ∴an=··…···a1=×××…×××4=×4=2n(n+1). 2n(n+1) 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+3n,则an=　　　　　　　.  解析:由an+1=3an+3n,可得=,即-=,所以是公差为的等差数列,所以=+(n-1)×=,所以an=n·3n-1. n·3n-1 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设数列的前n项和为Sn,若Sn+n=2an,则a7=(　　) A.65　　　　　　　　　 B.127 C.129 D.255 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 解析:当n=1时,a1+1=2a1,则a1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-[2an-1-(n-1)]=2an-2an-1-1, ∴an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),a1+1=2≠0, ∴是2为首项,2为公比的等比数列,∴a7+1=2×26=27=128,∴a7=127. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.已知数列的首项为2,且an+1-an=2n,则a6=(　　) A.255 B.63 C.64 D.127 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 解析:由数列的首项为2,且an+1-an=2n, 得a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a6-a5)=2+21+22+…+25=2+=64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.设数列满足a1=4,an+1=an+2,则a100=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D 解析:在数列中,由an+1=an+2,得an+1-3=(an-3),而a1-3=1, 因此数列{an-3}是首项为1,公比为的等比数列, an-3=1×,即an=3+,所以a100=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (-2)n-1 解析:由Sn=an+得,当n≥2时,Sn-1=an-1+, 两式相减,整理得an=-2an-1, 又当n=1时,S1=a1=a1+, ∴a1=1, ∴{an}是首项为1,公比为-2的等比数列, 故an=(-2)n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N+),求数列{an}的通项公式an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解:由a1+2a2+3a3+…+nan=an+1,得 当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an, 两式作差得nan=an+1-an, 得(n+1)an+1=3nan(n≥2), 即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1, 于是2a2=2,故当n≥2时,nan=2×3n-2. 于是an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [B组　关键能力练] 6.(多选)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an) =f(3)(n∈N+),则下列说法正确的是(　　) A.a1=1 B.an=n C.an=2n-1 D.an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AD 解析:由题意,知f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+). 又f(xy)=f(x)+f(y), ∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2), 两式相减得2an=3an-1. 又当n=1时,S1+2=3a1=a1+2, ∴a1=1,∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列, ∴an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且3Sn=anan+1,则a2+a4+a6+…+a2n等于(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 解析:当n=1时,3S1=a1a2,3a1=a1a2,∴a2=3. 当n≥2时,由3Sn=anan+1,可得3Sn-1=an-1an, 两式相减得3an=an(an+1-an-1), 又∵an≠0,∴an+1-an-1=3, ∴{a2n}是以3为首项,3为公差的等差数列, ∴a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.已知数列{an}满足a1=,an+1=3an-4n+2(n∈N+).数列{bn}满足bn=an-2n,则数列{bn}的通项公式为　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 bn=3n-2 解析:∵an+1=3an-4n+2, ∴an+1-2n-2=3an-6n, 即an+1-2(n+1)=3(an-2n), ∴bn+1=3bn. 又bn=an-2n≠0,n∈N+,∴=3. 又b1=a1-2=-2=, ∴数列{bn}是首项为,公比为3的等比数列, ∴bn=×3n-1=3n-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.已知数列{an}满足:an+1+an=4n-3(n∈N+),且a1=2,则数列{an}的通项公 式an=　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:由an+1+an=4n-3,得an+an-1=4n-7(n≥2), 两式相减得an+1-an-1=4(n≥2). 由等差数列的定义可知,数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列. 法一:由a1=2及a2+a1=4-3=1,知a2=-1, 所以当n为奇数时,an=a1+×4=2n; 当n为偶数时,an=a2+×4=2n-5. 综上,数列{an}的通项公式为an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 法二:当n为奇数时,设n=2k-1,k∈N+, 则k=,a2k-1=a1+4(k-1), 即an=a1+4=2n; 当n为偶数时,设n=2k,k∈N+,则k=, a2k=a2+4(k-1),a2=-1, 即an=a2+4=2n-5. 综上,数列{an}的通项公式为an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.已知Sn是数列{an}的前n项和,且an-Sn=n-n2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=-5an,求数列{bn}中最小的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解:(1)由an-Sn=n-n2, 得an+1-Sn+1=(n+1)-(n+1)2, 两式相减得an=n, 因此数列{an}的通项公式为an=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)由(1)得bn=2n-5n, 则bn+1-bn=[2n+1-5(n+1)]-(2n-5n)=2n-5. 当n≤2时,bn+1-bn<0, 即bn+1<bn,∴b1>b2>b3; 当n≥3时,bn+1-bn>0, 即bn+1>bn, ∴b3<b4<b5<…, ∴数列{bn}的最小项为b3=23-5×3=-7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [C组　素养培优练] 11.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证:{an+1+2an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2), ∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). 又a1=5,a2=5, ∴a2+2a1=15, ∴an+2an-1≠0(n≥2), ∴=3(n≥2), ∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)解:由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n, 则an+1=-2an+5×3n, ∴an+1-3n+1=-2(an-3n). 又∵a1-3=2, ∴an-3n≠0, ∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列, ∴an-3n=2×(-2)n-1, 即an=(-1)n-1·2n+3n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$