第5章 阶段练3(范围：5.3)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练3(范围:5.3) 第五章　数列 1.已知等比数列的公比为2,a2a4=,则a3a8=(　　) A.4　　　　　　　　　 B.8 C.16 D.32 解析:由等比数列的性质可知,a3a8=(a2a4)q5=×32=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 2.设正项等比数列的前n项和为Sn,若S3=10a1-S2,则公比q=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:正项等比数列的前n项和为Sn,则a1>0,公比q>0, 若S3=10a1-S2,则a1+a2+a3=10a1-(a1+a2),得8a1-2a2-a3=0, 则有8a1-2a1q-a1q2=0,即q2+2q-8=0,解得q=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.设Sn是等比数列的前n项和,若S2=3,a3+a4=6,则=(　　) A. B. C.2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:设等比数列的公比为q,则q2==2, 所以S8===45,S10===93, 故==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知数列的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=则S100=(　　) A.3×251-156 B.3×251-103 C.3×250-156 D.3×250-103 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:因为a1=1,an+1= 所以a2k+2=a2k+1+1=2a2k+1,a2k+1=2a2k=2a2k-1+2,k∈N+,且a2=2, 所以a2k+2+a2k+1=2(a2k+a2k-1)+3, 记bn=a2n+a2n-1,n≥1,则bn+1=2bn+3,所以bn+1+3=2(bn+3), 所以是以b1+3=a1+a2+3=6为首项,2为公比的等比数列, 所以bn+3=6×2n-1,bn=6×2n-1-3, 记的前n项和为Tn,则S100=T50=(6×20+6×21+6×22+…+6×249)-3×50=3×251-156. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知数列的首项a1=,且满足an+1=,若+++…+<1 000,则满足条件的最大整数n=(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:=-1,令bn=, 则bn+1-1=2(bn-1),又b1-1=-1=1, 所以{bn-1}是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以bn-1=2n-1,所以bn=2n-1+1, 所以b1+b2+…+bn=1+2+22+…+2n-1+n=2n+n-1, 由2n+n-1<1 000,解得n≤9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)已知是单调递减的等比数列,若a2=2,前3项和S3=7,则下列说法中正确的是(　　) A.a1=4 B.q=3 C.an=2n-1 D.Sn=8-23-n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 解析:由题意,设等比数列公比为q, 则 解得或 又因为数列为单调递减的等比数列, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以 所以an=a1qn-1=4×, Sn===8-23-n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(多选)已知正项等差数列,等比数列,满足a2=4,b2=9, b1-a1=1,b3-a3=21.记cn=数列的前n项和为Sn,则(　 　) A.an=2n B.bn= C.S6+S7=1 688 D.S2n=2n2+- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 解析:设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q. 对于A,B,因为a2=4,b2=9,b1-a1=1,b3-a3=21, 所以 解得或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又因为数列为正项数列, 所以 所以 所以an=2n,bn=3n,故A正确,B错误; 对于C,由题意cn= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以S6=2×1+32+2×3+34+2×5+36=837, S7=2×1+32+2×3+34+2×5+36+2×7=851, 所以S6+S7=1 688,故C正确; 对于D,S2n=2×1+32+2×3+34+2×5+36+…+2(2n-1)+32n =2[1+3+5+…+(2n-1)]+(32+34+…+32n) =2×+ =2n2+-,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.2和6的等比中项是　 　　　.  解析:设2和6的等比中项为x,则x2=2×6,解得x=±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ±2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.在公差大于零的等差数列中,a5,a3,a11成等比数列,若a2=5,则a3+a7=　　　　.  28 解析:设数列的公差为d, 由7=a5a11,得7=(a2+3d)(a2+9d),且a2=5, 所以7(5+d)2=(5+3d)(5+9d), 得2d2-d-15=0, 得d=3或d=-(舍), 所以a3+a7=2a5=2(a2+3d)=2×(5+9)=28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.在等比数列中,an>0且a1a4=2,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=　　　　.  解析:在等比数列中,an>0且a1a4=2,则a2a3=a1a4, 所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2a1a4+log2a2a3=2log2a1a4=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 11.公比为q的等比数列的前n项和Sn=2n-1,若bn=log2an,记数列的前n项和为Tn,若++…+<λ恒成立,则λ的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析:当n=1时,a1=S1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1, 检验:当n=1时,a1=1满足an=2n-1, 于是an=2n-1. 所以bn=log2an=log22n-1=n-1, 故Tn=b1+b2+…+bn=0+1+…+(n-1)=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当n≥2时,==2, 所以++…+=2=2-<2, 又++…+<λ恒成立,所以λ≥2,即λ的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知数列的各项都为正数,且其前n项和Sn=. (1)证明:是等差数列,并求an; (2)如果bn=(8an-1)·4n-1,求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)当n=1时,S1=a1=⇒2a1=2+a1-1⇒a1=1或a1=-. 因为an>0,所以a1=1, 2Sn=2+an-1,2Sn+1=2+an+1-1, 两式相减得2an+1=2+an+1-2-an⇒an+1+an=2(an+1+an)(an+1-an), 因为an>0, 所以an+1-an=, 故是首项为1,公差为的等差数列, an=a1+=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)知bn=(4n+3)·4n-1, Tn=7×40+11×4+15×42+…+(4n-1)×4n-2+(4n+3)×4n-1, 4Tn=7×4+11×42+…+(4n-1)×4n-1+(4n+3)×4n, 则-3Tn=7+4×(4+42+…+4n-1)-(4n+3)×4n, =3+4×(1+4+42+…+4n-1)-(4n+3)×4n =3+4×-(4n+3)×4n =3+-(4n+3)×4n, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以Tn=×4n--1 =-1=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.在数列中,a1=, 且an+1= (1)若bn=a2n-1-,证明:数列是等比数列; (2)求数列的前2n项和S2n. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:bn+1=a2n+1-=a2n-=-==bn, 因为b1=a1-=,所以是以为首项,为公比的等比数列. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:由(1)可知bn=·=,所以a2n-1=+, 所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n =a1+a1++a3+a3+…+a2n-1+a2n-1+ =2(a1+a3+…+a2n-1)+n =2+n =2+ =2×+=1-+. 13 $$