第5章 阶段练2(范围：5.2)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练2(范围:5.2) 第五章　数列 1.对于数列,设甲:为等差数列,乙:a1+(n-1)·an+1=nan,则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:充分性:若是等差数列, 则a1+(n-1)an+1=a1+(n-1)(a1+nd)=na1+n(n-1)d=nan. 必要性:若a1+(n-1)an+1=nan,则a1+nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得nan+2-(n-1)an+1=(n+1)an+1-nan, 即nan+2+nan=2nan+1,所以是等差数列. 所以甲是乙的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知数列单调递增,且由被2除余数为1的所有正整数构成,现将a6,a9,a11,a13的末位数按从小到大排序作为加密编号,则该加密编号为(　　) A.1157　　　　　　　　 B.1177 C.1155 D.1122 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:由题可知数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1,得a6=11,a9=17,a11=21,a13=25, 所以a6,a9,a11,a13的末位数依次为1,7,1,5,故加密编号为1157. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知数列an=2n-1,bn=3n-2,则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为,则数列的通项公式为(　　) A.cn=3n-2 B.cn=4n-1 C.cn=5n-3 D.cn=6n-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:因为数列是首项为1,公差为2的等差数列,而数列是首项为1,公差为3的等差数列, 所以这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1,公差为6的等差数列,故cn=1+(n-1)×6=6n-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知数列满足a1=5,an+1=an+5,若an=20,则n等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:由an+1=an+5可得,an+1-an=5,数列为等差数列,且公差d为5. 所以an=a1+(n-1)d=5n, 令an=5n=20,所以n=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.已知公差为d的等差数列的前n项和为Sn,且S20<0,S21>0,则的取值范围是(　　) A. B. C.(-7,-6) D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:因为S20==10(a10+a11)<0,S21=21a11>0, 所以a10+a11<0,a11>0, 所以a10<0,d=a11-a10>0, 由a10+a11<0,a11>0, 得 即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得-7<<-, 即的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)已知Sn为等差数列的前n项和,且a1=-7,S2=-12,则下列结论正确的是(　 　) A.an=2n-9 B.为递减数列 C.a3+a6=0 D.S7=a1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 解析:设等差数列的公差为d, 因为a1=-7,S2=-12,可得a2=S2-a1=-12-(-7)=-5,解得d=2, 所以an=a1+(n-1)d=-7+2(n-1)=2n-9,所以A正确; 因为d=2>0,所以数列为递增数列,所以B错误; 由a3=-3,a6=3,可得a3+a6=0,所以C正确; 因为S7=7×(-7)+×2=-7,所以S7=a1,所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(多选)下列语句叙述正确的有(　　) A.数列成等差数列的充要条件是an=2n-1 B.若数列满足:a1=4,an+1=2an-3(n∈N+),则an=2n-1+3 C.在等差数列中,Sn是其前n项和,a3=3a1,a2=3a1-1,则是一个公差为的等差数列 D.公差非零的等差数列的前n项和为Sn,若a3=2S5,a2a4=S4,则使Sn>an成立的n的最小值为6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 解析:对于A选项,若an=2n-1,则an+1-an=2,即数列一定是等差数列; 若数列成等差数列,则通项公式不一定是an=2n-1, 所以an=2n-1是数列成等差数列的充分不必要条件,故A错误; 对于B选项,因为an+1=2an-3(n∈N+),所以an+1-3=2(an-3),又a1-3=4-3=1, 所以数列是一个以首项为1,公比为2的等比数列,所以an-3=2n-1, 所以an=2n-1+3,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于C选项,令等差数列公差为d,因为a3=3a1,a2=3a1-1, 所以a1+2d=3a1,a1+d=3a1-1,所以a1=1,d=1,所以an=n,所以Sn=,所以=(n+1),即是一个公差为的等差数列,故C正确; 对于D选项,令等差数列公差为d,因为a3=2S5,a2a4=S4, 所以a1+2d=2(5a1+10d),(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,所以a1=-4,d=2, 所以an=2n-6,Sn=n2-5n,则n2-5n>2n-6,解得n>6,所以使Sn>an成立的n的最小值为7,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知a=6-2,c=6+2.若a,b,c成等差数列,则b=　　　　.  解析:因为a=6-2,b,c=6+2成等差数列, 所以2b=(6-2)+(6+2)=12,解得b=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 9.设Sn是公差不为0的等差数列的前n项和,若S21=7(a5+a10+ak),则k =　　　　.  解析:由S21=7(a5+a10+ak),所以=7(a5+a10+ak),∴3a11=a5+a10+ak,即3a11=a4+a11+ak,即2a11=a4+ak, 由等差数列下标和性质可得k=18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 10.在等差数列中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取最 大值,则d的取值范围为　 　　　.  解析:由题意得:a8>0,a9<0,所以解得-1<d<-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.记等差数列的前n项和为Sn,已知a1=4,且S3=0. (1)求Sn; (2)若对于任意的n∈N+,2n+1·λ-6n+Sn≥0恒成立,求实数λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)设公差为d,则S3=3a1+3d=0,解得d=-4, 故Sn=4n+×(-4)=-2n2+6n. (2)由2n+1·λ-6n+Sn≥0,可得2n+1·λ-6n-2n2+6n≥0, 即λ≥恒成立. 设cn=,则cn+1-cn=-=, 当n=1,2时,cn+1-cn>0,则cn<cn+1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当n>1+,即n≥3时,cn+1-cn<0,则cn>cn+1, 所以c1<c2<c3,c3>c4>c5>…,故(cn)max=c3=,所以λ≥, 即实数λ的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.等差数列的前n项和Sn=4n2-25n. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)当n=1时,a1=S1=4-25=-21; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4n2-25n)-=8n-29. 当n=1时,a1=-21=8×1-29也符合8n-29的形式, 所以数列的通项公式为an=8n-29(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)令an=8n-29≥0,又n∈N+,解得n≥4. 当n≤3时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=25n-4n2; 当n≥4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a6|+|a7|+…+|an|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+an=-S3+Sn-S3=4n2-25n+78, 所以Tn= $$