5.5 数学归纳法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

*5.5　数学归纳法 第五章　数列 [学习目标]　1.了解数学归纳法的原理.　2.能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题. 知识点1　数学归纳法的定义 内容索引 知识点2　用数学归纳法证明等式 课时作业 巩固提升 知识点3　用数学归纳法证明不等式 课堂达标·素养提升 知识点4　用数学归纳法解决平面几何问题 知识点5　归纳—猜想—证明 3 知识点1　数学归纳法的定义 一个与 有关的命题,如果: (1) ; (2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立.那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立. 自然数 当n=n0时,命题成立 [例1]　(1)(多选)下面四个判断中错误的是(　 　) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1+k C.式子1+++…+(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1++ D.设f(n)=++…+(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+++ (2)用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+,第一步应验证的等式是　　　　;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是 　 　　　.  ABD 1-= - [解析]　(1)A中,当n=1时,式子的值为1+k,故A错误;B中,当n=1时,式子的值为1,故B错误;C中,当n=1时,式子的值为1++,故C正确;D中,f(k+1)=f(k)+++-,故D错误. (2)当n=1时,应当验证的第一个式子是1-=,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是-. 数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法,它们的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.在用数学归纳法证明问题的过程中,还要注意从k→k+1时命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误. 思维提升 1.(1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是(　　) A.1　　　　　　　　　 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 (2)用数学归纳法证明:1+++…+<n(n∈N+,n>1)时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是(　　) A.2×3k B.3k C.3k+1 D.1 跟踪训练 D A 解析:(1)当n=1时,左边应为1+2+3+4. (2)当n=k时,共有3k-1项;当n=k+1时,共有3k+1-1项,故左边增加的项数为(3k+1-1)-(3k-1)=2×3k. 知识点2　用数学归纳法证明等式 [例2]　用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,其中n∈N+. [证明]　①当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立. ②假设当n=k(k∈N+)时等式成立, 即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2, 那么当n=k+1时, 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1) [3(k+1)+1] =(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当n=k+1时等式也成立. 根据①和②可知等式对任意n∈N+都成立. 用数学归纳法证明等式的方法 思维提升 2.用数学归纳法证明:对任意正整数n都有 +++…+=成立. 跟踪训练 证明:①当n=1时,左边==,右边=,等式成立. ②假设n=k(k∈N+)时,+++…+=成立,则当n=k+1时,+++…++=+====, 所以n=k+1时,等式成立. 由①②可得对一切正整数n,等式均成立. 知识点3　用数学归纳法证明不等式 [例3]　证明:不等式1+++…+<2(n∈N+). [证明]　①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立. ②假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立, 即1+++…+<2. 则当n=k+1时, 1+++…++<2+=<==2. ∴当n=k+1时,不等式成立. 由①②可知,原不等式对任意n∈N+都成立. 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 思维提升 3.设n∈N+,n>1,用数学归纳法证明:1+++…+>. 跟踪训练 证明:设f(n)=1+++…+(n∈N+,n>1). ①当n=2时,f(2)=1+>,不等式成立. ②假设n=k(k∈N+,k≥2)时,不等式成立, 即f(k)=1+++…+>, 则当n=k+1时, 有f(k+1) =f(k)+ >+ = > =. 所以当n=k+1时,不等式也成立. 综合①②知,原不等式对任意的n∈N+,n>1都成立. 知识点4　用数学归纳法解决平面几何问题 [例4]　已知n个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证:这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分. [证明]　①当n=1时,1个平面把空间分成2部分,而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分),所以命题正确. ②假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,即k个符合条件的平面把空间分为f(k)=k(k-1)+2(部分), 当n=k+1时,第k+1个平面和其他每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分,所以共增加2k部分, 故f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分), 即当n=k+1时,命题也成立. 根据①②,知n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分. 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k增加到k+1时,所证的几何量增加多少,同时要善于利用几何图形的直观性,建立k与k+1之间的递推关系. 思维提升 4.平面内有n(n∈N+,n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,求证:交点的个数f(n)=. 跟踪训练 证明:①当n=2时,两条直线的交点只有一个,又f(2)=×2×(2-1)=1, ∴当n=2时,命题成立. ②假设当n=k(k∈N+,k≥2)时命题成立,即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)=k(k-1), 那么,当n=k+1时, 任取一条直线l,除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1), l与其他k条直线的交点个数为k, 从而k+1条直线共有f(k)+k个交点, 即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1], ∴当n=k+1时,命题成立. 综上所述,对任意n∈N+,n≥2命题都成立. 知识点5　归纳—猜想—证明 [例5]　已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=且a1=. (1)求a2,a3; (2)猜想数列{an}的通项公式,并证明. [解]　(1)a2==,a1=, 则a2=,类似地求得a3=. (2)由a1=,a2=,a3=,…,猜得: an=. 证明:①当n=1时,由(1)可知等式成立; ②假设当n=k时猜想成立,即ak=,当n=k+1时,由题设an=, 得ak=, ak+1=, 所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)=, =(k+1)(2k+1), =-Sk=(k+1)(2k+1)-. 因此,k(2k+3)=, 所以==. 这就证明了当n=k+1时命题成立. 由①②可知命题对任何n∈N+都成立. 1.“归纳—猜想—证明”的一般环节 思维提升 2.“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和. (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在. (3)给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,∀n∈N+,Sn=(2n+1)an+. (1)求a1,a2,a3; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法给予证明. 跟踪训练 解:(1)分别取n=1,2,3,得 S1=a1=a1+, S2=a1+a2=a2+, S3=a1+a2+a3=a3+, 解得a1=1,a2=3,a3=5. (2)猜想an=2n-1(n∈N+).证明如下: 当n=1时,由(1)知,a1=1=2×1-1,猜想成立, 假设n=k(k≥1)时,猜想成立, 即ak=2k-1,则ak+1=Sk+1-Sk =- =(2k+3)ak+1-(2k+1)ak, 所以(2k-1)ak+1=(2k+1)ak, 因为ak=2k-1, 所以ak+1=2k+1=2(k+1)-1, 所以当n=k+1时,猜想也成立. 综上所述,对任意的n∈N+,an=2n-1. 〈课堂达标·素养提升〉 1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(　　) A.2　　　　　　　 B.3 C.5 D.6 解析:当n取1,2,3,4时2n>n2+1不成立,当n=5时,25=32>52+1=26,第一个能使2n>n2+1的n值为5. C 2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d时,假设当n=k时,公式成立,则Sk=(　　) A.a1+(k-1)d B. C.ka1+d D.(k+1)a1+d C 解析:假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k即可,即Sk=ka1+d. 3.以下是用数学归纳法证明“n∈N+时,2n>n2”的过程,证明:①当n=1时,21>12,不等式显然成立. ②假设当n=k(k∈N+)时不等式成立,即2k>k2. 那么,当n=k+1时,=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=(k+1)2. 即当n=k+1时不等式也成立. 根据①和②,可知对任意n∈N+不等式都成立.其中错误的步骤为 　　　　(填序号).  ② 解析:在=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1中用了k2≥2k+1,这是一个不确定的结论.如k=2时,k2<2k+1. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证(　　) A.n=1　　　　　　　　 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析:由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 2.凸n边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为(　　) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:凸多边形边数增加1条,即增加一个顶点,自这一顶点向其他不相邻的(n-2)个顶点可引(n-2)条对角线;原来的一条边变为对角线,所以共增加(n-1)条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.”那么下列命题总成立的是(　　) A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:由数学归纳法原理可得, 若f(3)≥9成立,则当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A不正确. 若f(5)≥25成立,则当k≥5时,均有f(k)≥k2成立,故B不正确. 若f(7)<49成立,则当k≤6时,均有f(k)<k2成立,故C不正确. 若f(4)=25>42成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×=3n(na-b)+对一切n∈N+都成立,那么a,b的值为(　　) A.a=,b= B.a=b= C.a=0,b= D.a=,b= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:法一:特值验证法,将各选项中a,b的值代入原式,令n=1,2验证易知选A. 法二:∵1+2×3+3×32+4×33+…+n×=3n(na-b)+对一切n∈N+都成立, ∴当n=1,2时有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ⇒ 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+…+-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证n=　　　　时,等式成立.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k+2 14 解析:当n=k(k≥2且k为偶数)时,1-+-+…+-=2成立. 由于是所有正偶数,则归纳推广,下一个数为n=k+2时,等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.在用数学归纳法证明“f(n)=+++…+<1(n∈N+,n≥3)”的过程中,假设当n=k(k∈N+,k≤3)时,不等式f(k)<1成立,则需证当n=k+1时, f(k+1)<1也成立.若f(k+1)=f(k)+g(k),则g(k)=　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 +- 14 解析:∵f(k)=+++…+, f(k+1)=++…+++, ∴f(k+1)-f(k)=+-. ∵f(k+1)=f(k)+g(k), ∴g(k)=+-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.用数学归纳法证明·…·=(n≥2,n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明:①当n=2时,左边=1-=,右边==, 所以左边=右边,所以n=2时等式成立. ②假设当n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即 ·…·=,则当n=k+1时,·…··==·==,即当n=k+1时等式成立. 综上所述,对任意n≥2,n∈N+等式恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.用数学归纳法证明:+++…+<1-(n≥2,n∈N+). 证明:①当n=2时,左边==,右边=1-=. 因为<,所以不等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ②假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,即+++…+<1-, 则当n=k+1时, +++…++ <1-+ =1-=1- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 <1-=1-, 所以当n=k+1时,不等式也成立. 综上所述,对任意n≥2的正整数,不等式都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N+),若当n=1,2,…,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时也成立,则下列判断中正确的是(　　) A.p(k)对k=528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 14 解析:由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边(　　) A.增加了一项 B.增加了两项, C.增加了两项,,但减少了一项 D.以上各种情况均不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:依据数学归纳法的证明步骤可知,假设当n=k时,则有++…+<成立; 当n=k+1时,不等式的左边为++…+=++…+++. ∴增加了,两项,减少了一项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.用数学归纳法证明+能被14整除的过程中,当n=k+1时, +应变形为　　　　　 　 　　　　　　.  解析:当n=k+1时,+=81·+25·= +56·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 +56· 14 12.探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N+)的结果时,第一步当n=　　　　时,A=　　　　.  解析:∵n>1,且n∈N+, ∴当n=2时,A=(2-1)·(2-1)!=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.将正整数进行如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21)……分别计算各组包含的正整数的和如下: S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, …… 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)求S7的值; (2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175. (2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256. 猜测S1+S3+…+S2n-1=n4. 证明如下: 记Mn=S1+S3+…+S2n-1. ①当n=1时,猜想成立. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4. 则当n=k+1时, 由题设,可知Sn是由1+2+3+…+(n-1)+1=+1开始的n个连续自然数的和, 所以Sn=+ +…+=, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以S2k+1= =(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1, 从而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4, 所以当n=k+1时猜想也成立. 由①②,可知对任意n∈N+,猜想都成立. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.是否存在常数a,b,使等式+++…+=对任意的n∈N+成立?若存在,请用数学归纳法证明;若不存在,请说明理由. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:假设存在常数a,b,使等式成立. 将n=1,n=2分别代入等式,得 解得 下面证++…+=对任意的n∈N+成立. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ①当n=1时,左边==,右边==,所以等式成立. ②假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即++…+=, 那么当n=k+1时, ++…++=+==·=· 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ==, 所以当n=k+1时,等式成立. 综上所述,可知等式+++…+=对任意的n∈N+成立. 13 14 $$