5.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.3　等比数列 5.3.2　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列的前n项和的性质及应用 第五章　数列 [学习目标]　1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.　2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 知识点1　等比数列前n项和的性质及应用 内容索引 知识点2　利用错位相减法求数列的前n项和 课时作业 巩固提升 知识点3　等比数列前n项和的实际应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　等比数列前n项和的性质及应用 角度1　等比数列的奇、偶项和的问题 若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则: (1)在其前2n项中,=q; (2)在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1= =(q≠-1);S奇=a1+qS偶. [例1]　(1)若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,其偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为　　　　,项数为　　　　.  (2)一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍, 前3项之积为64,则数列的通项公式an=　　　 　.  [解析]　(1)由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q,所以q=2, S2n+1==341+170=511,解得n=4,即这个等比数列的项数为9. 2 9 12× (2)设数列{an}的首项为a1,公比为q, 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇,S偶,由题意可知, S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶. 因为数列{an}的项数为偶数, 所以有q==. 又因为a1·a1q·a1q2=64, 所以·q3=64, 即a1=12, 故所求通项公式为an=12×. 1.若等比数列{an}共有2n项,要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形. 2.灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 思维提升 1.(1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　.  (2)若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为　　　　.  跟踪训练 2 300 解析:(1)由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80, ∴S奇=-80,S偶=-160, ∴q==2. (2)由=2,S偶-S奇=100可知S偶=200,S奇=100,故S2n=300. 角度2　等比数列中的片段和问题 1.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+). 2.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列. [例2]　已知等比数列前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n,求证:+=Sn(S2n+S3n). [证明]　法一:设此等比数列的公比为q,首项为a1, 当q=1时,Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1, ∴+=n2+4n2=5n2, Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2, ∴+=Sn(S2n+S3n). 当q≠1时,Sn=(1-qn), S2n=(1-q2n), S3n=(1-q3n), ∴+=·[(1-qn)2+(1-q2n)2] =·(1-qn)2·(2+2qn+q2n). 又Sn(S2n+S3n)=·(1-qn)2·(2+2qn+q2n), ∴+=Sn(S2n+S3n). 法二:根据等比数列的性质,有S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn, ∴+=+[Sn(1+qn)]2=(2+2qn+q2n), Sn(S2n+S3n)=(2+2qn+q2n), ∴+=Sn(S2n+S3n).` 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1.充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质,能有效减少运算. 2.运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. 思维提升 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=4,S8=12,则a21+a22+a23+a24=　　　　.  跟踪训练 128 解析:由等比数列前n项和的性质, 可知S4,S8-S4,S12-S8,…,S4n-S4n-4,…成等比数列. 由题意可知上述数列的首项为S4=4, 公比为=2, 故S4n-S4n-4=2n+1(n≥2), 所以a21+a22+a23+a24=S24-S20=27=128. 知识点2　利用错位相减法求数列的前n项和 [例3]　设数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,数列{bn}的通项公式为bn=(x≠0). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设cn=anbn,数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn. [解]　(1)∵an= ∴an= 当n=1时,an=2n也成立,∴an=2n,即数列{an}的通项公式为an=2n. (2)由an=2n,bn=且cn=anbn可得cn=2n, Tn=2+4x+6x2+8x3+…+2n,① 则xTn=2x+4x2+6x3+8x4+…+2nxn.② ①-②得(1-x)Tn=2+2x+2x2+…+2-2nxn. 当x≠1时,(1-x)Tn=2×-2nxn, ∴Tn=. 当x=1时,Tn=2+4+6+8+…+2n=n2+n. ∴Tn= 错位相减法的适用范围及注意事项 1.适用范围:它主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和. 2.注意事项:①利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式错位对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式. ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况. 思维提升 3.求数列的前n项和. 跟踪训练 解:设Sn=+++…+, 则有Sn=++…++, 两式相减,得Sn-Sn=+++…+-, 即Sn=-=1--. ∴Sn=2--=2-(n∈N+). 知识点3　等比数列前n项和的实际应用 [例4]　《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”大致意思是:有一个人要到距离出发地378里的地方,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为(　　) A.96　　　　　　　　　 B.126 C.192 D.252 C [解析]　由题意得,该人每天走的路程里数形成以a1为首项,以为公比的等比数列, 因为该人6天后到达目的地,则有 S6==378, 解得a1=192, 所以该人第1天所走路程里数为192. 1.实际生活中的增长率问题、分期付款问题等都是等比数列问题. 2.解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用数列知识求解. 思维提升 4.一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗? 跟踪训练 解:用an表示热气球在第n分钟内上升的高度, 由题意,得an+1=an; 因此,数列{an}是首项a1=25,公比q=的等比数列. 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn=a1+a2+…+an===125×<125, 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 〈课堂达标·素养提升〉 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于(　　) A.3∶4　　　　　　　　 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 解析:在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,所以(S10-S5)2=S5(S15-S10).因为S10∶S5=1∶2,所以S10=S5,S15=S5,得S15∶S5=3∶4. A 2.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍,初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为(　　) A.35 B.75 C.155 D.315 C 解析:由题意知该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为==155. 3.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 012,偶数项之和为2 024,则这个数列的公比为(　　) A.8 B.-2 C.4 D.2 解析:由=q,可知q=2. D 4.若等比数列{an}的公比为,且a1+a3+…+a99=60,则{an}的前100项和为　　　　.  80 解析:令X=a1+a3+…+a99=60, Y=a2+a4+…+a100, 则S100=X+Y, 由等比数列前n项和性质知=q=, 所以Y=20, 即S100=X+Y=80. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=(　　) A.31　　　　　　　　　 B.32 C.63 D.64 解析:法一:由(S4-S2)2=S2(S6-S4),即144=3(S6-15),解得S6=63. 法二:S4=S2+q2S2⇒15=3+3q2⇒q2=4,所以S6=S2+q2S4=3+4×15=63. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数为(　　) A.4 B.8 C.10 D.12 B 14 解析:设等比数列的项数为2n,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶, 则q==2,又它的首项为1,所以通项为an=2n-1, 中间两项的和为an+an+1=2n-1+2n=24,解得n=4,所以项数为8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(　　) A. B.- C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 14 解析:易知q≠-1, 因为a7+a8+a9=S9-S6, 且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列, 所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=,所以a7+a8+a9=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 4.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1,<0,则下列结论正确的是(　 　) A.0<q<1 B.a7a9<1 C.Tn的最大值为T7 D.Sn的最大值为S7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 1 14 解析:由a1>1,a7a8>1,<0可知a7>1,0<a8<1,∴0<q<1,a7a9=<1,∴T7是数列{Tn}中的最大项,故A,B,C正确. 因为a1>0,q>0,∴Sn是递增的,无最大值,故D不正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 5.正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S30=13S10,S10+S30=140,则S20=　　　　.  解析:由S30=13S10,知q≠1, 由得 由等比数列的前n项和的性质得S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,则(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20),解得S20=40或S20=-30(舍去). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 1 14 6.一个球从256米的高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半,当它第6次着地时,共经过的路程是　　　　米.  解析:设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an},则数列{an}为等比数列, a1=128,q=,S5==248, 共经过的路程为256+2S5=752(米). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 752 1 14 7.一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 解:法一:设原等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N+). 由已知a1=1,q≠1,有 由,得q=2, ∴=85,4n=256, ∴n=4. 故公比为2,项数为8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 法二:易知q===2,Sn=85+170=255, 由Sn=,得=255, ∴2n=256, ∴n=8.即公比q=2,项数n=8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列是公差为1的等差数列,且a2=3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=an·3n,求数列{bn}的前n项和Tn. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 解:(1)数列是公差为1的等差数列, ∴=a1+n-1, 可得Sn=n(a1+n-1),∴a1+a2=2(a1+1), 又a2=3,解得a1=1,∴Sn=n2, ∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2 =2n-1(n=1时也成立), ∴an=2n-1(n∈N+). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)bn=an·3n=(2n-1)·3n(n∈N+), ∴数列{bn}的前n项和 Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n, ∴3Tn=32+3×33+…+(2n-3)×3n+(2n-1)×3n+1, ∴-2Tn=3+2×(32+33+…+3n)-(2n-1)×3n+1=3+2×-(2n-1)×3n+1=-6+(2-2n)×3n+1, 可得Tn=3+(n-1)×3n+1(n∈N+). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 [B组　关键能力练] 9.已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于(　　) A.40 B.60 C.32 D.50 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 14 解析:由等比数列前n项和的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 10.等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1),则Tn的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 14 解析:设数列{an}共有(2m+1)项,由题意得 S奇=a1+a3+…+a2m+1=, S偶=a2+a4+…+a2m=, 因为项数为奇数时,=q,即2+q=, 所以q=. 所以Tn=a1·a2·…·an=q1+2+…+n-1=, 故当n=1或2时,Tn取最大值2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 11.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若S6-3S3=4,则S9-S6的最小值为　　　　.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 1 14 解析:由等比数列的性质,知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.又S6-3S3=4, ∴S9-S6== =4S3++16≥2+16=32, 当且仅当S3=2时,等号成立, ∴S9-S6的最小值为32. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 12.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y,都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=,an=f(n)(n∈N+),则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1- 1 14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:令x=n,y=1,则f(n)·f(1)=f(n+1), 又an=f(n),∴==f(1)=a1=, ∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列, ∴an=, ∴Sn==1-. 13 1 14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式. 13 1 14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:第1年投入800万元,第2年投入800×万元,…,第n年投入800×万元, 所以总投入an=800+800×+…+800×=4 000×(万元). 同理,第1年收入400万元,第2年收入400×万元,…,第n年收入400×万元, 13 1 14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以总收入bn=400+400×+…+400×=1 600×(万元). 综上,an=4 000×, bn=1 600×(n∈N+). 13 1 14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.从①b1+b2+b3+…+bn=(n∈N+),②{bn}为等差数列且b2=2,2b1+b5=7,这两个条件中选择一个条件补充到问题中,并完成解答. 问题:已知数列{an},{bn}满足an=,且　　　　.  (1)证明:数列{an}为等比数列; (2)若cm表示数列{bn}在区间(0,am)内的项数,求数列{cm}的前m项的 和Tm. 13 1 14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:选择①,因为b1+b2+b3+…+bn=(n∈N+), 当n=1时,b1=1, 当n≥2时,bn=-=n,n=1时也成立,故bn=n(n∈N+), 所以an=2n,==2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列. 若选择②,设数列{bn}公差为d, 由题意得得bn=n,所以an=2n,所以==2, 所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列. 13 1 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:因为an=2n, 所以c1对应的区间为(0,2),则c1=1;c2对应的区间为(0,4),则c2=3; c3对应的区间为(0,8),则c3=7;…;cm对应的区间为(0,2m),则cm=2m-1, 所以Tm=21-1+22-1+…+2m-1=-m=2m+1-2-m. 13 14 $$