5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.3　等比数列 5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 第五章　数列 [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.　2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.　3.掌握等比数列前n项和的函数特征. 知识点1　等比数列的前n项和公式 内容索引 知识点2　等比数列前n项和公式的函数特征 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　等比数列的前n项和公式 [例1]　在等比数列{an}中. (1)若q=2,S4=1,求S8; (2)若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5. [解]　(1)法一:∵q=2,S4=1, ∴=1,即a1=, ∴S8===17. 法二:∵S4==1,且q=2, ∴S8==·(1+q4)=S4·(1+q4)=1×(1+24)=17. (2)由通项公式及已知条件得 即 ∵a1≠0,1+q2≠0,∴得q3=,即q=,∴a1=8, ∴a4=a1q3=8×=1, S5===. 1.解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不明显时,均可用a1与q列方程组求解. 2.运用等比数列的前n项和公式要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元. 思维提升 1.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn. (1)S2=30,S3=155,求Sn; (2)已知S4=1,S8=17,求an. 跟踪训练 解:(1)由题意知 解得或 从而Sn=×-或Sn=(n∈N+). (2)由S4=1,S8=17知q≠1, 所以 得=, 解得q=±2, 所以或 所以an=或an=(n∈N+). 知识点2　等比数列前n项和公式的函数特征 1.当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1).即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数. [例2]　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是不是等比数列. [解]　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1. 当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式. ∴an= 法一:由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列. 法二:由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,2≠1,故{an}不是等比数列. 1.已知Sn,通过an=求通项公式an,应特别注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1. 2.若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列. 思维提升 2.(1)数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k= 　　　　.  (2)数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=a·+5,则实数a= 　　　　.  跟踪训练 - 解析:(1)∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k,且{an}为等比数列, ∴3-2k=0,即k=. (2)由Sn=a·+5,可得Sn=3a·+5,依题意有3a+5=0,故a=-. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在公比为整数的等比数列{an}中,a1-a2=3,a3=4,则{an}的前5项和为(　　) A.10　　　　　　　　 B. C.11 D.12 C 解析:设公比为q(q∈Z),则a1-a2=a1-a1q=3,a3=a1q2=4,求解可得q=-2,a1=1,则{an}的前5项和为=11. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=p·3n-2,则p等于(　　) A.-3 B.3 C.-2 D.2 解析:依题意q≠1,所以等比数列{an}的前n项和为Sn==-·qn+, 所以p+(-2)=0,解得p=2. D 3.已知等比数列{an}的公比q=,则=　　　　.  解析:∵q====,∴==3. 3 4.已知在等比数列{an}中,a3=,S3=,则a1=　　　 　.  或6 解析:法一:当q=1时,a1=a2=a3=,满足S3=. 当q≠1时,依题意,得 解得 综上可得a1=或a1=6. 法二:依题意,得 所以a1+a2=3, 所以==2, 解得q=1或q=-. 所以a1=或a1=6. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100等于(　　) A.4-2100　　　　　　　　 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:q==.S100===4×(1-2-100)=4-2-98. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知等比数列{an}的公比为2,且其前5项和为1,那么{an}的前10项和等于(　　) A.31 B.33 C.35 D.37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:设{an}的公比为q,由题意,q=2,a1+a2+a3+a4+a5=1,则a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5)=q5=25=32,∴S10=1+32=33. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则++++…+=(　　) A.(2n-1)2 B.(2n-1) C.4n-1 D.(4n-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:由an=Sn-(n≥2)可以求出an=.由等比数列的性质知数列{}是等比数列,此数列的首项是1,公比是22,则++++…+==(4n-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=1,++=,则(　　) A.{an}必是递减数列 B.S5= C.公比q=4或 D.a1=4或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 14 解析:设等比数列{an}的公比为q,则q>0, 因为a1a5==1,a3=a1q2=1, 所以++=1++=1+=1+a1+a5=a1+1+=, 解得或 当a1=4,q=时,S5==,数列{an}是递减数列; 当a1=,q=2时,S5==,数列{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=　　　　.  解析:∵S6=4S3,∴q≠1,∴=, ∴q3=3,∴a4=a1·q3=1×3=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 14 6.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,则项数n=　　　　,a1=　　　　.  解析:由Sn=93,an=48,公比q=2, 得解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 3 14 7.已知数列{an}是等比数列. (1)若a1=3,q=2,n=6,求Sn; (2)若a1=-2.7,q=-,an=,求Sn; (3)若a1=-1,a4=64,求q与S4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)S6===189. (2)Sn===-. (3)由q3===-64,得q=-4, ∴S4===51. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:设数列{an}的公比为q(q≠0). 由已知可得 所以 解②得q=3或q=1. 由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去. 故公比q=3,首项a1=1. 所以数列{an}的前n项和Sn===(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)已知等比数列{an}的前n项和是Sn,则下列说法一定成立的是(　　 ) A.若a3>0,则a2 023>0 B.若a4>0,则a2 022>0 C.若a3>0,则S2 023>0 D.若a3>0,则S2 023<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 14 解析:设数列{an}的公比为q, 当a3>0时,a2 023=a3q2 020>0,A正确; 当a4>0时,a2 022=a4·q2 018>0,B正确; a3=a1·q2>0,∴a1>0, 又当q≠1时,S2 023=, 当q<0时,1-q>0,1-q2 023>0, ∴S2 023>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当0<q<1时,1-q>0,1-q2 023>0, ∴S2 023>0, 当q>1时,1-q<0,1-q2 023<0, ∴S2 023>0, 当q=1时,S2 023=2 023a1>0,故C正确,D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7(n∈N+),则f(n)等于(　　) A.(4n-1) B.(4n+1-1) C.(4n+3-1) D.(4n+4-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:易知1,3,5,7,…是首项为1,公差为2的等差数列, 设该数列为,则am=2m-1,设an=2n+7, 令2m-1=2n+7,∴m=n+4, ∴f(n)是以2为首项,22=4为公比的等比数列的前n+4项的和, ∴f(n)==(4n+4-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1-1,则Sn=　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:当n=1时,则有2S1=a2-1, ∴a2=2S1+1=2a1+1=3; 当n≥2时,由2Sn=an+1-1得出2Sn-1=an-1, 上述两式相减得2an=an+1-an, ∴an+1=3an, 得=3且=3, ∴数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列, ∴Sn==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为2的等比数列,那么an=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2n-1 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:an-an-1=a1qn-1=2n-1, 即 各式相加得an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2, 故an=a1+2n-2=2n-1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列? (2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上, ∴an+1=3Sn+1, 当n≥2时,an=3Sn-1+1. 于是an+1-an=3(Sn-Sn-1), ∴an+1-an=3an,∴an+1=4an. 又当n=1时,a2=3S1+1, ∴a2=3a1+1=3t+1, ∴当t=1时,a2=4a1,此时,数列{an}是等比数列. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)可得an=4n-1,an+1=4n, ∴bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n, 那么Tn=c1+c2+…+cn =(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n) =+. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列. (1)求{an}的通项公式. (2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使得数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)依题意,得2Sn=an+1-a1.于是,当n≥2时,有 两式相减,得an+1=3an(n≥2). 又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列. 因此,an=a1·3n-1(n∈N+). (2)因为Sn==a1·3n-a1, 所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n. 要使{bn}为等比数列,则1+a1=0,即a1=-2,所以存在a1=-2使得数列{bn}为等比数列. 13 14 $$