4.2.3 第1课时 n次独立重复试验与二项分布-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.2　随机变量 4.2.3　二项分布与超几何分布 第1课时　n次独立重复试验与二项分布 第四章　概率与统计 [学习目标]　1.理解n次独立重复试验的概念.　2.掌握二项分布.　3.能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题. 知识点1　n次独立重复试验 内容索引 知识点2　二项分布的分布列 课时作业 巩固提升 知识点3　独立重复试验与二项分布的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　n次独立重复试验 1.定义 在　 　　　下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是 　　　 　的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.  2.n次独立重复试验的特点 (1)同一个伯努利试验重复做n次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同. (2)各次试验的结果相互独立. 相同条件 相互独立 判断下列试验是不是n次独立重复试验: (1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; (2)某人射击且击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中; (3)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球,恰好抽出4个白球. 例1 [解]　(1)由于试验的条件不同(质地不同),因此不是n次独立重复试验. (2)某人射击且击中的概率是稳定的,因此是n次独立重复试验. (3)每次抽取,试验的结果有三种不同的颜色,且每种颜色出现的可能性不相等,因此不是n次独立重复试验. n次独立重复试验的判断依据 1.要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行. 2.每次试验相互独立,互不影响. 3.每次试验都只有两种结果,即事件发生、不发生. 思维提升 1.(多选)下列事件不是n次独立重复试验的是(　　 ) A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D.在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标 跟踪训练 ABC A,C符合互斥事件的概念,是互斥事件;B是相互独立事件;D是n次独立重复试验. 知识点2　二项分布的分布列 一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列; (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列. [分析]　(1)首先判断ξ是否服从二项分布,再求分布列.(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义,并明确η的取值,再求η取各值的概率. 例2 [解]　(1)ξ~B,ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列为P(η=k)=P(前k个是绿灯,第k+1个是红灯)=·,k=0,1,2,3,4; P(η=5)=P(5个均为绿灯)=. 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P 2.在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做每道题的可能性均为,且各人的选择相互之间没有影响. (1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率; (2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名,求ξ的分布列. 跟踪训练 解:(1)设事件A表示“甲选做14题”,事件B表示“乙选做14题”,则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“(A∩B)+(∩)”,且事件A,B相互独立. ∴P((A∩B)+(∩))=P(A)P(B)+P()P() =×+×=. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B. ∴P(ξ=k)==(k=0,1,2,3,4). ∴随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 知识点3　独立重复试验与二项分布的综合应用 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. (1)求随机变量ξ的分布列; (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB). 例3 [分析]　(1)由于甲队中每人答对的概率相同,且正确与否没有影响,所以ξ服从二项分布,其中n=3,p=. (2)AB表示事件A,B同时发生,即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分. [解]　(1)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,且 p(ξ=0)=×=, P(ξ=1)=××=, P(ξ=2)=××=, P(ξ=3)=×=. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件, 所以AB=C∪D,且C,D互斥, 又P(C)=×××=, P(D)=××=, 由互斥事件的概率公式得 P(AB)=P(C)+P(D)=+==. 对于综合题,首先,要准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种;其次,要判断事件是A+B还是AB,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别应用相加或相乘事件公式;最后,选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解. 思维提升 3.9粒种子分别种在3个坑内,每坑放3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,求需要补种坑数的分布列. 跟踪训练 解:因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为=,所以单个坑不需要补种的概率为1-=. 设需要补种的坑数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,这是3次独立重复试验, P(X=0)=××=, P(X=1)=××=, P(X=2)=××=, P(X=3)=××=, 所以需要补种坑数的分布列为 X 0 1 2 3 P 〈课堂达标·素养提升〉 1.某学生通过英语听力测试的概率为,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 记“恰有1次获得通过”为事件A,则P(A)=·=. A 2.某电子管正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)=(　　) A.× B.× C.× D.× C ξ=3表示第3次首次测到正品,而前两次都没有测到正品,故其概率是×. 3.有4位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是,假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学通过测试的概 率为　　　　.  所有同学都不通过的概率为,故至少有一位同学通过的概率为1-=. 4.设X~B(4,p),且P(X=2)=,那么一次试验成功的概率p等于　　 　　.  P(X=2)=p2(1-p)2=,即p2(1-p)2=·,解得p=或p=. 或 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.一头病牛服用某药品后被治愈的概率是90%,则服用这种药的5头病牛中恰有3头牛被治愈的概率为(　　) A.0.93　　　　　　　　　 B.1-(1-0.9)3 C.×0.93×0.12 D.×0.13×0.92 由独立重复试验恰好发生k次的概率公式知,该事件的概率为×0.93×0.12. C 2.设随机变量ξ服从二项分布ξ~B,则P(ξ≤3)等于(　　) A.　　 B.　　　 C.　　　 D. P(ξ≤3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=×+·+·+· =. C 3.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(　　) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 A 根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为P=×0.62×0.4+0.63=0.648. 4.现有10张分别标有-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4的卡片,它们的大小和颜色完全相同,从中随机抽取1张,记下数后放回,连续抽取3次,则记下的数中有正有负且没有0的概率为(　　) A. B. C. D. B 由题意,知每次抽到标有正数的卡片的概率为,抽到标有负数的卡片的概率为,抽到标有0的卡片的概率为,而记下的数中有正有负且没有0的情况有两种:2正1负,1正2负,则所求的概率为××+××=. 5.某射手射击一次,击中目标的概率是0.9,他连续射击三次,且他每次射击是否击中目标之间没有影响,有下列结论: ①他三次都击中目标的概率是0.93; ②他第三次击中目标的概率是0.9; ③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1; ④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12. 其中正确结论的序号是　　　　.(把正确结论的序号都填上)  ①②④ 三次射击是3次独立重复试验,故正确结论的序号是①②④. 6.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申 请人中恰有2人申请A片区房源的概率为　　　　.  每位申请人申请房源为一次试验,这是4次独立重复试验,设申请A片区 房源记为A,则P(A)=,所以恰有2人申请A片区的概率为··=. 7.某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医,方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A,B,C三家社区医院,并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X,求X的分布列. 解:由已知每位参加保险人员选择A社区医院的概率为,4名人员选择A社区医院即4次独立重复试验, 即X~B,所以P(X=k)=·· (k=0,1,2,3,4),所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 8.甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中,规定先赢三局的队获胜,并且比赛就此结束,现已知甲、乙两队每比赛一局,甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,且每局比赛的胜负是相互独立的. (1)求甲队以3∶2获胜的概率; (2)求乙队获胜的概率. 解:(1)设甲队以3∶2获胜的概率为P1,则P1=··=. (2)设乙队获胜的概率为P2,则P2=+··+··=. [B组　关键能力练] 9.在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶.现有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击相互独立,且命中概率都是.则打光子弹的概率是(　　) A. B. C. D. B 5次中0次:,5次中一次:××,5次中两次:前4次中一次,最后一次必中×××,则打光子弹的概率是+××+×××=. 10.(多选)已知随机变量X~B,若使P(X=k)的值最大,则k等于(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 BC 令==>1,得k<6, 即当k<6时,P(X=k+1)>P(X=k); 当k=6时,P(X=7)=P(X=6); 当k>6时,P(X=k+1)<P(X=k). 所以P(X=6)和P(X=7)的值最大. 11.某校开展了“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高二六班同学利用假期在东城、西城两个小区逐户进行关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合低碳排放标准的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例如表所示:   低碳家庭 非低碳家庭 东城小区 西城小区 如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭(视比例为概率),则 这4个家庭中恰好有2个家庭是“低碳家庭”的概率为　　　　.  易知所求概率为×+×××××+×=. 12.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则p=　　　　;P(η≥2)的值 为　　　　.  因为随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),又P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=,解得p=,所以η~B,则P(η ≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)=1--××=. [C组　素养培优练] 13.为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的,,.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列. 解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=,P(Bj)=,P(Ck)=. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为 P= P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6×××=. (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,由已知,η~B,且ξ=3-η,所以 P(ξ=0)=P(η=3)==,P(ξ=1)=P(η=2)==,P(ξ=2)=P(η=1)=·=,P(ξ=3)=P(η=0)==. 故ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P $$