4.2.3二项分布与超几何分布（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

4.2.3二项分布列与超几何分布 主讲： 人教B版选择性必修第二册 第4章 概率与统计 学习目标 1.理解二项分布与超几何分布的定义及实际意义 2.掌握两种分布的概率公式与性质 3.能解决实际情境中的相关问题 2 思考：为了增加系统的可靠性，人们经常使用“完备冗余设备”（即正在使用设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？ 情境中的问题，利用本节所要学习的知识，可以快速地得到解决. 情境与问题 1、二项分布 我们已经知道，一个伯努利试验是试验结果可记为“成功”与“不成功”的试验. 例如，为了观察抛硬币时出现的统计规律性，可多次重复进行抛硬币这个伯努利试验； 现实生活中，经常需要在相同的条件下将一个伯努利试验重复多次. 为了了解支持改革的人的比例，可随机向多人进行访问，询问他们的态度是“支持”还是“不支持”；等等. 在相同条件下重复 n 次伯努利试验时，人们总是约定这 n 次试验是相互独立的，此时这n 次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. 一、n 次独立重复试验与二项分布 例如，对一批产品进行抽样检查，每次取一件来判断是否合格，有放回地抽取5次，就是一个5次独立重复试验； 篮球运动员练习投篮10次，可以认为每次投中的概率都相同，这是一个10次独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中，人们经常关心的是“成功”出现的次数. n次独立重复试验 理解与领悟 不难想到，4个患者是否会被治愈是相互独立的，因此上述问题中的情形可以看成4次独立重复试验. 尝试与发现1 思考：已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (1)这能否看成独立重复试验？ 如果用 A1，A2，A3，A4 分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、丁被治愈，则不难看出 此时，甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为 ， 因此由独立性可知 尝试与发现1 思考：已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (2)求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率; 注意到恰有3个患者被治愈的情况共有 种（4个人中，选出3个是被治愈的，剩下的那个是没被治愈的)，即 尝试与发现1 思考：已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (3)求出恰有3个患者被治愈的概率； 思考：已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (3)求出恰有3个患者被治愈的概率； 这四种情况两两都是互斥的，而且每一种情况的概率均为 因此所求概率为 尝试与发现1 思考：已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (4)设有 X 人被治愈，求 X 的分布列. 因为共有4名患者服用了药物，所以X的取值范围应该是 而且我们已经算出 因此X的分布列为 尝试与发现1 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 p ，记 q=1-p ，且 n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为 X ， 则 X 的取值范围是 而且 因此 X 的分布列如下表所示. 注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式 中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作 二项分布 1.试验独立性：试验独立性确保每次试验结果互不影响，这是二项分布成立的基本条件。 2.固定概率：固定概率p使每次试验成功概率保持一致，即在每次试验中，事件A发生的概率始终为p。 二项分布 判断是否为二项分布的关键点： 因为共有4名患者服用了药物，所以X的取值范围应该是 而且我们已经算出 因此X的分布列为 随机变量 X 服从参数 的二项分布，即 服从二项分布的随机变量， 其概率分布也可用图直观地表示. 思考：已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (4)设有 X 人被治愈，求 X 的分布列. 可以看出，X 服从参数为3，0.9的二项分布，即 例1：设上述思考题：“已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈”中，能正常工作的设备数为 X . （1）写出 X 的分布列； 从而 X 的分布列为 典例分析1 要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即 X ≥1，因此所求概率为 例1：设上述思考题：“已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈”中，能正常工作的设备数为 X . （1）写出 X 的分布列； （2）求出计算机网络不会断掉的概率. 典例分析1 例2：假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿，已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8.随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为 X ，保险公司要赔偿给这三人的总金额为 Y 万元. （1）指出 X 服从的分布； 不难看出，X服从参数为3，0.8的二项分布，即 典例分析2 例2：假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿，已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8.随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为 X ，保险公司要赔偿给这三人的总金额为 Y 万元. （2）写出 Y 与 X 的关系； （2）因为3个投保人中，活过65岁的人数为 X，则没活过65岁的人数为3-X，因此 典例分析2 2、超几何布 思考：某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名去采集自然标本。 （1）抽取的人中恰有1名女生的概率是多少？ 注意到从10 名同学中随机抽取 3人，共有 种不同的抽法， 也就是说，样本空间中样本点的数量是 . 另外，抽取的人中恰有1名女生，等价于抽取的是1名女生和2名男生， 因此包含的样本点数为 ，因此所求概率为 尝试与发现2 思考：某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名去采集自然标本。 （2）设抽取的人中女生有 X 名，写出 X 的分布列. 如果抽取的人中女生数为X，则X的取值范围是 而且我们已经算出 因此X的分布列为 尝试与发现2 这里的 X 称为服从参数为 N，n，M 的超几何分布， 记作 一般地，若有总数为 N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M 件( M < N )，从所有物品中随机取出 n 件( n ≤ N )，则这 n 件中所含甲类物品数 X 是一个离散型随机变量，X 能取不小于 t 且不大于 s 的所有自然数，其中 s 是 M 与 n 中的较小者，t 在 n 不大于乙类物品件数(即 n ≤ N – M )时取 0 ,否则 t 取 n 减乙类物品件数之差(即 t = n - ( N – M ) )，而且 超几何分布 特别地，如果 且 n + M – N ≤ 0 ， 则 X 能取所有不大于 s 的自然数，此时 X 的分布列如下表所示. 超几何分布 1.不放回抽样：不放回抽样使每次抽取概率改变，这是超几何分布与二项分布的主要区别之一。 超几何分布 判断是不是超几何分布的关键点： 2.有限总体：有限总体容量限制了抽取范围，即总体中的元素数量是有限的，且抽取过程中不进行放回。 思考：某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名去采集自然标本。 （2）设抽取的人中女生有 X 名，写出 X 的分布列. 如果抽取的人中女生数为X，则X的取值范围是 而且我们已经算出 因此X的分布列为 由此可以看出，上述思考题中的随机变量X服从参数为10，3，4的超几何分布，即 .服从超几何分布的随机变量，其概率分布也可用图直观地表示，如下图所示. 典例分析 例3：学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求 P ( X ≤ 1 ). 由题意知，X服从参数为7，3，2的超几何分布，即 因此 典例分析3 例4：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. （1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为 X ，求 X 的分布列； 若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为 因此X的分布列为 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此 典例分析4 例4：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. （2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为 Y ，求 Y 的分布列. 若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了 3 个，因此黑球数Y服从参数为 10，3，2 的超几何分布，即 因此Y的分布列为 典例分析 对比与联系 C 1.已知随机变量X服从二项分布，则 =（ ） 课堂练习 A． B． C． D． 2.下列说法正确的个数是（ ）． ①某同学投篮的命中率为0.7，他10次投篮中命中的次数 X 是一个随机变量，且 X 服从二项分布B(10,0.7) ； ②某福彩中奖概率为 p ，某人一次买了20张彩票，中奖张数 X 是一个随机变量，且 X 服从二项分布B(20, p )； ③从装有大小与质地相同的5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数 X 是随机变量，且 X 服从二项分布B( n , 0.5)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C 课堂练习 3.从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的概率分布. 因此 的分布列为 课堂练习 4.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过 A 、B 、C 三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是 . (1)求甲被录用的概率； 通过两个项目测试的概率为 通过三个项目测试的概率为 则甲被录用的概率为 课堂练习 所以X的分布列为 由于甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是 ， 课堂练习 4.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过 A 、B 、C 三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是 . (1)求甲被录用的概率； 5.（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有( ) A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X AB是重复试验问题，服从二项分布，故AB不符题意； CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布. CD 课堂练习 6.学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数，请写出随机变量X的分布列.（结果用分数表示） X的可能取值为0，1，2， 当X=0时，表示没有抽到女生；当X=1时，表示抽到1名女生； 当X=2时，表示抽到2名女生， 课堂练习 的所有可能取值为3，4，5，6， 7.球车中装有12个排球，其中9个是新的，3个是旧的．从球车中任取3个来用，用完后装回球车中（新球用完后变为旧球），此时球车中旧球的个数 是一个随机变量，求的分布列． 课堂练习 课堂小结 课后作业 教材P83 习题4.2 第4题（二项分布） 教材P83 习题4.2 第8题（超几何分布） $$