4.2.2 离散型随机变量的分布列-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.2　随机变量 4.2.2　离散型随机变量的分布列 第四章　概率与统计 [学习目标]　1.通过具体实例,理解离散型随机变量的分布列.　2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.　3.理解两点分布. 知识点1　离散型随机变量的分布列 内容索引 知识点2　离散型随机变量的分布列的性质 课时作业 巩固提升 知识点3　两点分布 课堂达标·素养提升 3 知识点1　离散型随机变量的分布列 定义:一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率　　　　 　　都是已知的,则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的概率分布或分布列.  X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn P(X＝xk)＝pk 某射手有5发子弹,射击一次命中率为0.8,若命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数X的分布列. [分析]　求出X的所有取值,并求出对应的概率,然后列出分布列. 例1 [解]　X的取值范围为{1,2,3,4,5}.当X=1时,即第一枪就中了,故P(X=1)=0.8; 当X=2时,即第一枪未中,第二枪中了,故P(X=2)=0.2×0.8=0.16;同理,P(X=3)=0.22×0.8=0.032;P(X=4)=0.23×0.8=0.006 4;P(X=5)=0.24=0.001 6. 则耗用子弹数X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.8 0.16 0.032 0.006 4 0.001 6 求离散型随机变量分布列的一般步骤 1.确定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义. 2.利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…). 3.写出分布列. 4.根据分布列的性质对结果进行检验. 思维提升 1.袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取1个球,每次取出的黑球不再放回,直到取出白球为止,求取球次数X的分布列. 跟踪训练 解:X的取值范围为{1,2,3,4,5}, 则第1次取到白球的概率为P(X=1)=, 第2次取到白球的概率为P(X=2)=×=, 第3次取到白球的概率为P(X=3)=××=, 第4次取到白球的概率为P(X=4)=×××=, 第5次取到白球的概率为P(X=5)=××××=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 知识点2　离散型随机变量的分布列的性质 离散型随机变量的分布列必须满足: 1.pk　　　　0,k=1,2,…,n.  2.pk=p1+p2+…+pn=　　　　.  ≥ 1 设随机变量X满足P(X=k)=,k=1,2,3,C为常数,求P(0.5<X<2.5)的值. [解]　由C=1,得C=. 所以P(0.5<X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=+=. 例2 设随机变量X满足P=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a的值; (2)求P; (3)求P. [分析]　先根据分布列的性质,求出参数的数值,再根据分布列求出对应的概率. 例3 [解]　由P=ak(k=1,2,3,4,5),知随机变量X的分布列为 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=. (2)法一:P=P+P+P(X=1)=++=. 法二:P=1-P=1-=. (3)P=P+P+P=++=. X 1 P a 2a 3a 4a 5a 离散型随机变量分布列性质的应用 1.利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围,还可以检验所求分布列是否正确. 2.由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的,所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 思维提升 2.若随机变量X的概率分布如表所示,则表中的a的值为　　　　, P(X≥3)=　　　　.  跟踪训练 X 1 2 3 4 P a 由题意可知+++a=1,∴a=. P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=. 知识点3　两点分布 1.两点分布 如果随机变量X的分布列为 则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0-1分布). 2.伯努利试验 一个所有可能结果只有　　　　的随机试验,通常称为伯努利试验.  两点分布也常称为伯努利分布,p常被称为　　　　　　　　.  X 1 0 P p 　　　  1－p 两种 成功概率 袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=求X的分布列. [分析]　X服从两点分布,求出X=0和X=1时的概率,列出分布列. 例4 [解]　显然X服从两点分布,P(X=0)==. 所以P(X=1)=1-=, 所以X的分布列是 X 0 1 P 两点分布的关注点 1.判断方法: (1)看取值:随机变量只取两个值0和1. (2)验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立. 2.特别情况:有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,可以利用两点分布来研究. 思维提升 3.设某项试验成功的概率是失败概率的2倍,记Y=则P(Y=0)=(　　) A.0 B. C. D. 跟踪训练 C 由题意知,可设P(Y=1)=p,则P(Y=0)=1-p,又p=2(1-p),解得p=,故P(Y=0)=. 〈课堂达标·素养提升〉 1.设离散型随机变量X的分布列为 若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A 由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3. 又P(Y=2)=P(X=4)=0.3. 2.一批产品的次品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量X来描述次品出现的情况,即X=0表示抽取的一个产品为合格品,X=1表示抽取的一个产品为次品,则X的分布列为 则a=　　　　,b=　　　　.  X 0 1 P a b X=0表示抽取的一个产品为合格品,概率为95%,即a=;X=1表示抽取的一个产品为次品,概率为5%,即b=. 3.设随机变量X的可能取值为5,6,7,…,16这12个值,且取每个值的概率均 相同,则P(X>8)=　　　　,P(6<X≤14)=　　　　.  P(X>8)=×8=,P(6<X≤14)=×8=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为 则常数a的值为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C.或 D.-或- X 0 1 P 9a2-a 3-8a A 由离散型随机变量分布列的性质可得解得a=. 2.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X= D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X A 选项A中随机变量X的可取值有6个,不服从两点分布. 3.若P(X≤n)=1-a,P(X≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤X≤n)=(　　) A.(1-a)(1-b) B.1-a(1-b) C.1-(a+b) D.1-b(1-a) P(m≤X≤n)=P(X≤n)-P(X<m)=1-a-[1-(1-b)]=1-(a+b). C 4.(多选)设离散型随机变量X的分布列为 则下列各式正确的是(　　) A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)= C.P(2<X<4)=1 D.P(X<0)=0 X -1 0 1 2 3 P AB ∵事件“X=1.5”不存在,∴P(X=1.5)=0,∴A正确. ∵P(X>-1)=1-P(X=-1)=,∴B正确. ∵P(2<X<4)=P(X=3)=,P(X<0)=,∴C,D均不正确. 5.设离散型随机变量X的概率分布列为 则P(X≤2)=　　　　.  P(X≤2)=1-=. X -1 0 1 2 3 P m 6.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如表,其中2b=a+c,且c=ab, 则这名运动员得3分的概率是　　　　.  X 0 2 3 P a b c 由题中条件,知2b=a+c,c=ab,再由分布列的性质,知a+b+c=1,且a,b,c都是非负数,由三个方程联立成方程组,可解得a=,b=,c=,所以得3分的概率是. 7.设离散型随机变量X的分布列为 试求: (1)2X+1的分布列; (2)|X-1|的分布列. X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 解:由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,所以m=0.3. 列表为 (1)2X+1的分布列为 X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 |X-1| 1 0 1 2 3 2X+1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X-1|的分布列为 |X-1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S. (1)设“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举事件A包含的基本事件; (2)设ξ=m2,求ξ的分布列. 解:(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}. 由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0, 所以事件A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3, 所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有 P(ξ=0)=, P(ξ=1)==, P(ξ=4)==, P(ξ=9)=. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 4 9 P [B组　关键能力练] 9.随机变量ξ的分布列如表所示. 其中a+c=2b,则函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点的概率为(　　) A. B. C. D. ξ 0 1 2 P a b c B 由题意知解得b=. ∵f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点,∴Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,∴P(ξ=1)=. 10.(多选)已知随机变量X的分布列如表所示. 若P(X2<x)=,则实数x的值可以是(　　 ) A.3 B.5 C.7 D.9 X -2 -1 0 1 2 3 P BCD 由随机变量X的分布列知X2的可能取值为0,1,4,9,且P(X2=0)=,P(X2=1)=+=,P(X2=4)=+=,P(X2=9)=. ∵P(X2<x)==++,∴实数x的取值范围是4<x≤9. 11.随机变量η的分布列如表所示. 则x=　　　　,P(η ≤3)=　　　　.  由分布列的性质得0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1, 解得x=0.故P(η ≤3)=P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)=0.2+0.35=0.55. η 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2 0 0.55 12.已知随机变量X只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次相差为d,则d的取值 范围为　 　　　.  设X的分布列为 由离散型随机变量分布列的基本性质知 解得-≤d≤. X x1 x2 x3 P a-d a a+d 13.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中原有的白球的个数; (2)求随机变量ξ的分布列; (3)求甲取到白球的概率. 解:(1)设袋中原有n个白球,由题意知===, 可得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球. (2)由题意得,ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P(ξ=1)=,P(ξ=2)==, P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P (3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球,记“甲取到白球”为事件A,则P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=. [C组　素养培优练] 14.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图.如图所示,经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将T表示为X的函数; (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的分布列. 解:(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以T= (2)由(1)知利润T不少于57 000元时,120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 $$