4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.2　随机变量 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 第四章　概率与统计 [学习目标]　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.　2.能写出离散型随机变量的可能取值,并能解释其表示的事件.　3.理解随机变量之间的关系. 知识点1　随机变量的概念 内容索引 知识点2　随机变量的取值与试验结果的对应 课时作业 巩固提升 知识点3　随机事件的关系及其应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　随机变量的概念 概念 一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都有唯一确定的　　　　与之对应,就称X为一个随机变量  表示 随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示 取值 随机变量的取值由随机试验的　　　　决定  取值 范围 随机变量　　　　　　　　组成的集合,称为这个随机变量的取值范围  实数值 结果 所有可能的取值 分类 离散型随 机变量 随机变量的所有可能的取值可以一一列举出来 连续型随 机变量 随机变量可以在某个实数范围内连续取值,不能一一列举出来 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)标准大气压下,水沸腾的温度; (2)王老师在某天内接电话的次数; (3)在一次绘画作品评比中,设一、二、三等奖,你的一件作品获得的奖次; (4)体积为64 cm3的正方体的棱长. [分析]　判断所给的量是否随试验结果的变化而变化,发生变化的是随机变量. 例1 [解]　(1)在标准大气压下,水沸腾的温度是100 ℃,是常量,故不是随机变量. (2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的,因此是随机变量. (3)作品获奖奖次的可能性不确定,可能是一、二或三,因此是随机变量. (4)体积是64 cm3的正方体的棱长是4 cm,因此不是随机变量. 随机变量的辨析方法 1.随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同. 2.随机试验的结果具有确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,则该变量即为随机变量. 思维提升 1.指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由. (1)某座大桥一天经过的车辆数X; (2)某超市5月份每天的销售额; (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ; (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ. 跟踪训练 解:(1)车辆数X的取值可以一一列出,故X为离散型随机变量. (2)某超市5月份每天销售额可以一一列出,故为离散型随机变量. (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量. (4)不是离散型随机变量,水位在(0,29]这一范围内变化,不能按次序一一列举. 知识点2　随机变量的取值与试验结果的对应 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且: (1)当a≠b时,事件X=a与X=b　　　　;  (2)事件X≤a与X>a　　 　　,  因此P(X≤a)+P(X>a)=1. 互斥 相互对立 写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数; (2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和. 例2 [解]　(1)设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,10,11,X=i表示前(i-1)次取到的均是红球,第i次取到白球,这里i=1,2,3,4,…,11. (2)设所取卡片上的数字之和为X, 则X=3,4,5,6,7. {X=3}表示“取出标有1,2的两张卡片”; {X=4}表示“取出标有1,3的两张卡片”; {X=5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”; {X=6}表示“取出标有2,4的两张卡片”; {X=7}表示“取出标有3,4的两张卡片”. 解答用随机变量表示随机试验的结果 问题的关键点和注意点 1.关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果. 2.注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果. 思维提升 2.袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出一个球,直到取出的球是白色为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为(　　) A.1,2,…,6　　　　　 B.1,2,…,7 C.1,2,…,11 D.1,2,3,…,5 跟踪训练 B 从袋中每次任意取出一个球,直到取出的球是白色为止,所需要的取球次数为随机变量X,则有可能第一次取出白球,也有可能取完6个红球后才取出白球. 知识点3　随机事件的关系及其应用 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变量.由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)= . P(Y=at+b) 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的:底薪800元,每工作1 h再获取15元.从该快餐店中任意抽取一名小时工,设其月工作时间为X h,获取的税前月工资为Y元. (1)当X=100时,求Y的值; (2)写出X与Y之间的关系式; (3)若P(X≤120)=0.8,求P(Y>2 600)的值. 例3 [解]　(1)当X=100时,表示工作了100个小时,所以Y=100×15+800=2 300. (2)根据题意有Y=15X+800. (3)因为X≤120,故15X+800≤2 600,即Y≤2 600. 所以P(Y≤2 600)=P(X≤120)=0.8, 从而P(Y>2 600)=1-0.8=0.2. 求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义.对于变量间的关系问题,可类比函数关系求解. 思维提升 3.某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的:底薪1 500元,每工作1天再获取100元.从该商场促销员中任意抽取一名,设其月工作时间为X天,获取的税前月工资为Y元. (1)当X=25时,求Y的值; (2)写出X与Y之间的关系式; (3)若P(Y >3 500)=0.7,求P(X≤20)的值. 跟踪训练 解:(1)当X=25时,Y=25×100+1 500=4 000. (2)由题意可知Y=100X+1 500. (3)由Y>3 500可知100X+1 500>3 500,即X>20. ∴P(X>20)=P(Y>3 500)=0.7, ∴P(X≤20)=1-0.7=0.3. 〈课堂达标·素养提升〉 1.给出下列四个命题: ①15秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量; ②在一段时间内,某候车室内候车的旅客人数是随机变量; ③一条河流每年的最大流量是随机变量; ④一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量. 其中正确的个数是(　　) A.1　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 D 由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的. 2.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则{ξ=5}表示的试验结果是(　　) A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标 C.前4次均未击中目标 D.第4次击中目标 {ξ=5}表示前4次均未击中,而第5次可能击中,也可能未击中. C 3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X的取值范围是　　　 　.  由于抽球是在有放回条件下进行的,所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个.故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10. {2,3,4,5,6,7,8,9,10} 4.甲进行3次射击,击中目标的概率为,记甲击中目标的次数为ξ,则ξ的可能取值为　　 　　.  甲可能在3次射击中,一次也未中,也可能中1次,2次,3次. 0,1,2,3 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是(　　) A.取到产品的件数　　　　 B.取到正品的概率 C.取到次品的件数 D.取到次品的概率 A中取到产品的件数是一个常量不是变量,B,D也是一个定值,而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量. C 2.抛掷两枚骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验的结果是(　　) A.一枚是3点,一枚是1点 B.两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点 ξ=4可能出现的结果是一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点. D 3.抛掷两枚骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差,则X的取值范围为(　　) A.0≤X≤5,X∈N B.-5≤X≤0,X∈Z C.1≤X≤6,X∈N D.-5≤X≤5,X∈Z 两次掷出的点数均可能为1~6的整数,所以-5≤X≤5,X∈Z. D 4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为(　　) A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4 第一次取到黑球,则放回1个球;第二次取到黑球,则放回2个球……共放了5回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6. C 5.下列随机变量中是离散型随机变量的有　　 　　,是连续型随机变量的有　　　　.(填序号)  ①某宾馆每天入住的旅客数量X; ②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X; ③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X; ④虎门大桥一天经过的车辆数X. ①③④ ② ①③④中的随机变量X的所有取值,我们都可以按照一定的次序一一列出,因此它们是离散型随机变量;②中随机变量X可以取某一区间内的一切值,但无法按一定次序一一列出,故是连续型随机变量. 6.若随机变量ξ,η之间满足η=2ξ+3,若P(ξ=2)=0.5,则P(η=7)=　　　　.  P(η=7)=P(ξ=2)=0.5. 0.5 7.盒中有9个正品和3个次品零件,每次从中取一个零件,如果取出的是次品,则不再放回,直到取出正品为止,设取得正品前已取出的次品数为ξ. (1)写出ξ的取值范围; (2)写出{ξ=1}所表示的事件. 解:(1)ξ取值范围为{0,1,2,3}. (2){ξ=1}表示的事件为:第一次取得次品,第二次取得正品. 8.投掷两枚骰子,所得点数之和为X,所得点数之和是偶数为Y. (1)求P(X=6); (2)求P(Y=6). 解:(1)样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点,所得点数之和为X,则X的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. “X=6”表示的事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个样本点,所以P(X=6)=. (2)所得点数和为偶数的样本空间Ω={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1), (5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)},共18个样本点,所得点数之和是偶数为Y,则Y的取值范围是{2,4,6,8,10,12}, “Y=6”表示的事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个样本点,所以P(Y=6)=. [B组　关键能力练] 9.(多选)将一颗均匀骰子掷两次,能作为随机变量的是(　 　) A.两次掷得的点数 B.两次掷得的点数之和 C.两次掷得的最大点数 D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差 两次掷得的点数的取值是一个数对,不是一个数,故B,C,D正确,A错误. BCD 10.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　) A.20 B.24 C.4 D.18 B 由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24种. 11.已知随机变量X的取值范围为{1,2,3},且满足P(X=i)=(i=1,2,3),随机 变量Y=2X-1,则P(Y≥3)=　　　　.  由题意可知P(Y≥3)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=. 12.一用户在输密码时忘记了最后3个数字,只记得最后3个数两两不同,且都大于5.于是他随机按最后3个数(两两不同),设他输入的密码为X,随机变量X的可能取值有　　　　个.  后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的,共有=24(个). 24 13.在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果. 解:因为x,y可能取的值为1,2,3, 所以0≤|x-2|≤1,0≤|y-x|≤2,所以0≤ξ≤3, 所以ξ可能的取值为0,1,2,3. 用(x,y)表示第一次抽到卡片号码为x,第二次抽到卡片号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为 {ξ=0}表示“两次抽到卡片标号都是2,即(2,2)”. {ξ=1}表示“(1,1),(2,1),(2,3),(3,3)”. {ξ=2}表示“(1,2),(3,2)”. {ξ=3}表示“(1,3),(3,1)”. [C组　素养培优练] 14.某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需加答3个问题,组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择,其中有5道文史类题目,3道科技类题目,2道体育类题目.测试时,每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题,回答完该题后,再抽取下一道题目作答.某选手抽到科技类题目ξ道. (1)试求出随机变量ξ的可能取值. (2)“ξ=1”表示的事件是什么?可能出现多少种结果? 解:(1)由题意得ξ的可能取值是{0,1,2,3}. (2)“ξ=1”表示的事件是“恰抽到一道科技题”. 考虑顺序,三类题目各抽取一道有5×3×2×=180种结果; 1道科技题2道文史题有3×3×=180种结果; 1道科技题2道体育题有3×3×2=18种结果. 由分类加法计数原理知可能出现180+180+18=378种结果. $$