4.1.2 第2课时 全概率公式、贝叶斯公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.2　乘法公式与全概率公式 第2课时　全概率公式、贝叶斯公式 第四章　概率与统计 [学习目标]　1.结合古典概型,理解并掌握全概率公式.　2.会利用全概率公式解决简单的实际问题.　3.了解贝叶斯公式.　4.结合古典概型和全概率公式以及贝叶斯公式计算概率.(不作考试要求) 知识点1　全概率公式 内容索引 知识点2　贝叶斯公式及其应用 课时作业 巩固提升 知识点3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　全概率公式 一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,如图所示,从而P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()·P(B|)(P(A)>0, P()>0),即:P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)称为全概率公式. 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有如表所示的数据: 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率. 例1 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 [解]　设事件Bi表示所取到的产品是由第i(i=1,2,3)家元件制造厂提供的,事件A表示取到的是一件次品.其中B1,B2,B3两两互斥,A发生总是伴随着B1,B2,B3之一发生,即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A两两互斥.运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式,得P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A) =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03 =0.012 5. 因此,在仓库中随机地取一只元件,它是次品的概率为0.012 5. “化整为零”求多事件的全概率问题 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n,且任意两种情形均互斥),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 思维提升 1.口袋中有10张卡片,其中两张卡片是中奖卡.三个人依次从口袋中摸出一张,问中奖概率是否与摸卡的次序有关? 跟踪训练 解:我们从条件概率的角度来说明中奖概率与摸卡次序无关.设Ai为第i个人中奖的事件,显然P(A1)=,第二个人中奖情况与第一个人是否中奖有关,即 P(A2|A1)=,P(A2|)=. 所以由全概率公式 P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|) =×+×==. 故P(A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2)+P(A2)P(A3|A2)+P(A1)P(A3|A1)+ P()P(A3|) =×0+×+×+×=. 故此中奖概率与摸卡的次序无关. 知识点2　贝叶斯公式及其应用 一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有P(A|B)==,这称为贝叶斯公式. 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病.在患有此种疾病的人群中,通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应.某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性,问此人确实患有此病的概率是多大? 例2 [解]　设A=“呈阳性反应”,B=“患有此种疾病”, 则P(A)=P(B)·P(A|B)+P()·P(A|)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%, 所以P(B|A)==≈32.3%. 此人确实患有此病的概率是32.3%. 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步:利用全概率公式计算P(A),即P(A)=P(Bi)P(A|Bi); 第二步:计算P(AB),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解; 第三步:代入P(B|A)=求解. 思维提升 2.某工厂有四条流水线生产同一种产品,该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,又这四条流水线的不合格品率依次为0.05,0.04,0.03及0.02,现在从该厂产品中任取一件,问恰好抽到不合格品的概率为多少?该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少? 跟踪训练 解:设Ai=“第i条流水线生产的产品”,i=1,2,3,4;B=“抽到不合格品”, ∴P(A1)=0.15;P(A2)=0.20;P(A3)=0.30;P(A4)=0.35. ∴P(B|A1)=0.05;P(B|A2)=0.04;P(B|A3)=0.03;P(B|A4)=0.02. ①P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.031 5. ②P(A4|B)=≈0.222 2. 知识点3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 假定具有症状S={S1,S2,S3,S4}的疾病有d1,d2,d3三种,现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数字: 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,他患有疾病的可能性是多少?在没有别的资料可依据的诊断手段情况下,诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适? 例3 疾病 人数 出现S症状人数 d1 7 750 7 500 d2 5 250 4 200 d3 7 000 3 500 [解]　以A表示事件“患者出现S中的某些症状”, Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题观察的个数很多,用事件的频率作为概率的近似是合适的,由统计数字可知 P(D1)==0.387 5,P(D2)==0.262 5, P(D3)==0.35,P(A|D1)=≈0.967 7, P(A|D2)==0.8,P(A|D3)==0.5. 从而P(A)=P(A|D1)P(D1)+P(A|D2)P(D2)+P(A|D3)P(D3) =0.387 5×0.967 7+0.262 5×0.8+0.35×0.5≈0.76. 故他患有疾病的可能性是0.76. 由贝叶斯公式得 P(D1|A)==≈0.493 4, P(D2|A)==≈0.276 3, P(D3|A)==≈0.230 3, 由以上3个数作比较,从而推测病人患有疾病d1较为合理. 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么:(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率,熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确高效. 思维提升 3.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数所占比例为2∶3∶5,将三家产品混合在一起. (1)从中任取一件,求此产品为正品的概率; (2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大? 跟踪训练 解:设事件A表示“取到的产品为正品” ,B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”, 由已知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5, P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8. (1)由全概率公式得 P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)==≈0.220 9, P(B2|A)==≈0.314 0, P(B3|A)==≈0.465 1. 由以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大. 〈课堂达标·素养提升〉 1.有朋自远方来,乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为(　　) A.0.65 B.0.075 C.0.145 D.0 C 设A1=他乘火车来,A2=他乘船来,A3=他乘汽车来,A4=他乘飞机来,B=他迟到. 易见:A1,A2,A3,A4构成一个完备事件组,由全概率公式得 P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.145. 2.两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍,现任取一零件,则它是合格品的概率为(　　) A.0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95 D 令B=取到的零件为合格品,Ai=零件为第i台机床的产品,i=1,2.由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×0.96+×0.93=0.95. 3.袋中有10个黑球,5个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球,则掷出3点的概率为　 　　　.  0.048 35 设B=取出的球全是白球, Ai=掷出i点(i=1,2,…,6),则由贝叶斯公式,得 P(A3|B)===0.048 35. 4.一袋中装有大小、形状均相同的5个球,其中2个黑球,3个白球,从中先 后不放回地任取一球,则第二次取到的是黑球的概率为　　　　.  设事件A,B分别表示第一、二次取到的是黑球,由古典概型可知P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=. 则P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4,汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为(　　) A.0.72　 B.0.96 C.0.86　　 D.0.84 C 设事件A表示甲正点到达目的地,事件B表示甲乘火车到达目的地,事件C表示甲乘汽车到达目的地,由题意知P(B)=0.4,P(C)=0.6,P(A|B)=0.8,P(A|C)=0.9. 由全概率公式得 P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.4×0.8+0.6×0.9=0.32+0.54=0.86. 2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A.0.8 B.0.832 5 C.0.532 5 D.0.482 5 D 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1,A2,A3,A4,则它们构成样本空间的一个划分.设B=“从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒”,则: P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05= 0.482 5. 3.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(　　) A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2 A 以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品, P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=; 则由全概率公式,所求概率为 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×= 0.08. 4.一个盒子中装有15个乒乓球,其中9个新球,在第一次比赛时任意抽取3只,比赛后仍放回原盒中;在第二次比赛时同样地任取3只球,则第二次取 出的3个球均为新球的概率为　　　　.  设A=“第二次取出的均为新球”, Bi=“第一次取出的3个球恰有i个新球”(i=0,1,2,3). 由全概率公式 P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =·+·+·+·=. 5.设甲盒有3个白球,2个红球,乙盒有4个白球,1个红球,现从甲盒任取2球放入乙盒,再从乙盒任取2球,求: (1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球,求从甲盒取出2个红球的概率. 解:(1)设A1=从甲盒取出2个红球;A2=从甲盒取出2个白球;A3=从甲盒取出1个白球和1个红球;B=从乙盒取出2个红球.则A1,A2,A3两两互斥,且A1+A2+A3=Ω, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×+×+×=. (2)P(A1|B)====. 6.设5支枪中有2支未经试射校正,3支已校正.一射手用校正过的枪射击,中靶率为0.9,用未校正过的枪射击,中靶率为0.4. (1)该射手任取一支枪射击,中靶的概率是多少? (2)若任取一支枪射击,结果未中靶,求该枪未校正的概率. 解:设A表示枪已校正,B表示射击中靶. 则P(A)=,P()=,P(B|A)=0.9, P(|A)=0.1,P(B|)=0.4,P(|)=0.6. (1)由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()·P(B|)=×0.9+×0.4=0.7. (2)由贝叶斯公式可得P(|)===0.8. [B组　关键能力练] 7.从数字1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个整数,记为Y,则P(Y=2)=(　　) A. B. C. D. C 由题意,知P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=.易得P(Y=2|X=1)=0,P(Y=2|X=2)=,P(Y=2|X=3)=,P(Y=2|X=4)=,由全概率公式,可得P(Y=2)=P(X=1)P(Y=2|X=1)+P(X=2)P(Y=2|X=2)+P(X=3)P(Y=2|X=3)+P(X=4)P(Y=2|X=4)=×=. 8.(多选)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,其中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,其中60%表现出症状S.则(　 　) A.任意一位病人有症状S的概率为0.02 B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4 C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45 D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25 ABC P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)= 0.6, 由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02. 由贝叶斯公式得:P(D1|S)===0.4, P(D2|S)===0.45, P(D3|S)===0.15. 9.人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该只股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为40%, 则该只股票将上涨的概率为　　　　.  64% 记A为事件“利率下调”, 那么即为 “利率不变”, 记B为事件“股票价格上涨”. 依题设知P(A)=60%,P()=40%,P(B|A)=80%,P(B|)=40%, 于是P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()·P(B|)=60%×80%+40%×40%= 64%. 10.某仓库有同样规格的产品12箱,其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的,且三个厂的次品率分别为,,.现从这12箱中任取一箱,再从取得的一箱中任意取出一个产品. (1)则取得的一个产品是次品的概率为　　　　;  (2)若已知取得一个产品是次品,则这个次品是乙厂生产的概率是　　　　.(精确到0.001)  0.083 0.287 (1)设A={取得一个产品是次品},B1={取得一箱是甲厂的},B2={取得一箱是乙厂的},B3={取得一箱是丙厂的}. 三个厂的次品率分别为,,, ∴P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=. 12箱产品中,甲占,乙占,丙占, 由全概率公式得P(A)=P(A|Bk)P(Bk)=×+×+×≈0.083. (2)依题意,已知A发生,要求P(B2|A),此时用贝叶斯公式: P(B2|A)=≈≈0.287. 11.5张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,每次从中任取一张,连取两次. (1)若第一次取出的卡片不放回,求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率; (2)若第一次取出的卡片放回,求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出数字的概率. 解:设Bk表示事件“从5张卡片中取出一张标有数字k的卡片”,k=1,2,3,4,5. A表示事件“第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字”,则 (1)P(Bk)=,P(A|Bk)=(k=1,2,3,4,5), 由P(A)=P(Bk)·P(A|Bk)=·=×=. (2)P(Bk)=,P(A|Bk)=(k=1,2,3,4,5), ∴P(A)=P(Bk)P(A|Bk)=×=. [C组　素养培优练] 12.某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通电话的概率.若已知最后一位数字是奇数,那么此概率又是多少? 解:设Ai =“第i次接通电话”,i = 1,2,3,B=“拨号不超过三次接通电话”, 则事件B的表达式为B=A1∪(A2)∪(A3). 利用概率的加法公式和乘法公式 P(B)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =P(A1)+P()P(A2|)+P()P(|)P(A3|)=+×+××=. 若已知最后一位数字是奇数,则 P(B)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =P(A1)+P()P(A2|)+P()P(|)P(A3|)=+×+××=. $$