4.1.2 第1课时 乘法公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式 第四章　概率与统计 [学习目标]　1.掌握条件概率的乘法公式及其推广.　2.会用乘法公式求相应事件的概率. 知识点1　乘法公式及其应用 内容索引 知识点2　乘法公式的推广及应用 课时作业 巩固提升 知识点3　乘法公式的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　乘法公式及其应用 公式P(BA)=　　　　　　 ,其中P(A)>0,称为概率的乘法公式.  P(A)P(B|A) 一袋中装10个球, 其中3个黑球、7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率. [解]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i=1,2),则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”. 由题设知P(A1)=,P(A2|A1)=, 于是根据乘法公式, 有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=. 例1 [变设问1]　在本例条件不变的情况下,求第一次取得黑球,第二次取得白球的概率. 解:用A表示第一次取得黑球,则P(A)=, 用B表示第二次取得白球,则P(B|A)=. 故P(AB)=P(A)P(B|A)=×=. [变设问2]　在本例条件不变的情况下,两次均取得白球的概率. 解:用Bi表示第i次取得白球,i=1,2,则B1B2表示事件“两次取到的均是白球”.由题意得P(B1)=,P(B2|B1)=. ∴P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=×=. 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法,即当直接计算P(AB)不好计算时,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解即可. 思维提升 1.某厂的产品中有4%的废品,在100件合格品中有75件一等品,则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为　　　　.   设A为“任取的一件是合格品”,B为“任取的一件是一等品”. 因为P(A)=1-P()=96%,P(B|A)=75%,且事件B发生时事件A一定发生, 所以P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96×0.75=0.72. 跟踪训练 0.72 知识点2　乘法公式的推广及应用 乘法公式的推广: 设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0, 则P(A1A2A3)=　　　　　　　　　　　　.  其中　　　　　　　　表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率, 　　 　　表示A1,A2,A3同时发生的概率.  P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A3|A1A2) P(A1A2A3) 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为. 试求透镜落下三次而未打破的概率. 例2 [解]　以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”,以B表示事件“透镜落下三次而未打破”,则B=, 故有P(B)=P()=P()P(|)P(|)==. 该类问题在概率中被称为“机遇问题”,求解的关键是分清事件之间的互相关系,充分利用P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…)求解. 思维提升 2.10个考签中有4个难签,3个同学参加抽签(不放回),甲先抽,乙再抽,丙 最后抽,则甲、乙、丙都抽到难签的概率为　　　　.  设A,B,C分别表示甲、乙、丙都抽到难签, 则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=. 跟踪训练 知识点3　乘法公式的综合应用 已知某厂家的一批产品共100件,其中有5件废品.但采购员不知有几件废品,为慎重起见,他对产品进行不放回的抽样检查,如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品,则他拒绝购买这一批产品.求采购员拒绝购买这批产品的概率. [分析]　本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解. 例3 [解]　设Ai={被抽查的第i件产品是废品},i=1,2,3,4,5. 设A={采购员拒绝购买},则A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5,从而=, 由题意,得 P()=,P(|)=,P(|)=, P(|)=,P(|)=. ∴P()=P() =P(|)P(|)P(|)·P(|)P() =××××≈0.769 6. 故P(A)=1-P()≈0.230 4. 分解计算,代入求值,为了求比较复杂事件的概率,一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率. 思维提升 3.某种疾病能导致心肌受损害,若第一次患该病,则心肌受损害的概率为0.3,第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时,心肌受损害的概率为0.6,试求某人患病两次心肌未受损害的概率. 跟踪训练 解:设A1=“第一次患病心肌受损害”,A2=“第二次患病心肌受损害”, 则所求概率为P(). 由题意可知:P(A1)=0.3,P(A2|)=0.6. 又P()=1-P(A1)=0.7, P(|)=1-P(A2|)=0.4, 所以P()=P()P(|)=0.7×0.4=0.28. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于(　　) A. B. C. D. P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=. C 2.在市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　) A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285 记事件A为“买到一个灯泡为甲厂产品”,事件B为“买到一个合格灯泡”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,所以P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665. A 3.若P(B|A)=,则P(|A)=　　　　.  P(|A)=1-P(B|A)=1-=. 4.已知6个高尔夫球中有2个不合格,每次取1个,不放回地取两次,则两次 均取到不合格球的概率为　　　　.  法一:所求事件的概率P=×=. 法二:用Ai表示第i次取到不合格球,i=1,2. 则P(A1)=,P(A2|A1)=, ∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则P(B)等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. B P(AB)=P(A)P(B|A)=×=, 由P(A|B)=,得P(B)==×2=. 2.一个盒子里有7只好的晶体管,5只坏的晶体管,依次不放回地取两次,每次取一只,则第二次才取出好的晶体管的概率为(　　) A. B. C. D. C 令Ai表示第i次取到好的晶体管,i=1,2,则P()=,P(A2|)=,∴P(A2)=×=. 3.已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是(　　) A. B. C. D. C 设从1号箱取到红球为事件A,从2号箱取到红球为事件B, 由题意,可得:P(A)==,P(B|A)==, 则P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=, 所以两次都取到红球的概率是. 4.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A|B)=0.6,则P(B|A)为　　　　.  因为P(A|B)=,所以P(AB)=0.3,所以P(B|A)===0.75. 0.75 5.某项射击游戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为　　　　.  记“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个目标”为事件B, 则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5. 所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手过关的概率为0.4. 0.4 6.在空战中,若甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为0.2,若乙机未被击落,进行还击,击落甲机的概率为0.3,若甲机亦未被击落,再次进行进攻,击落乙机的概率是0.4,分别计算这三个回合中甲、乙被击落的概率. 解:设“第一个回合中乙机被击落”为事件A,“第二个回合中甲机被击落”为事件B,“第三个回合中乙机被击落”为事件C,则P(A)=0.2,P(B|)=0.3,P(C| )=0.4, 甲机被击落的事件为B,P(B)=P()P(B|)=(1-0.2)×0.3=0.24. 乙机被击落的事件为A+ C, 则P(A+ C)=P(A)+P( C) =P(A)+P()P(|)P(C| ), 而P(|)=1-P(B|)=1-0.3, 所以P(A+ C)=0.2+(1-0.2)×(1-0.3)×0.4=0.424. 7.一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次. 求:(1)第一次取得白球的概率; (2)第一次、第二次都取得白球的概率; (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 解:设A表示第一次取得白球, B表示第二次取得白球,则AB表示第一次、第二次都取得白球, B表示第一次取得黑球,第二次取得白球, 且P(B|A)=,P(B|)==. (1)P(A)==0.6. (2)P(AB)=P(A)P(B|A)=×=. (3)P(B)=P()P(B|)=×=. [B组　关键能力练] 8.(多选)下列说法中错误的是(　 　) A.P(B|A)=P(A|B) B.P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A) C.P(AB)=P(B|A)·P(A) D.P(B|A)·P(A)≥P(A)+P(B) ABD A中,P(A|B)=,P(B|A)=,而P(A)与P(B)不一定相等,故不正确;B中,B,C应为互斥事件,故不正确;C正确;D中,P(B|A)·P(A)=P(AB)≤P(A)+P(B),故不正确. 9.某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面,第一次未摔裂的概率为0.4,当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3.则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是(　　) A.0.12 B.0.18 C.0.28 D.0.42 A 设Ai表示第i次扔向地面椰子没有摔裂,i=1,2,则P(A1)=0.4,P(A2|A1)=0.3, P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)=0.4×0.3=0.12.故这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率为0.12. 10.6个人用摸彩的方式决定谁得到一张电影票,他们依次摸彩. (1)已知前两个人都没摸到,则第三个人摸到的概率为　　　　;  (2)电影票被第3个人摸到的概率为　　　　.  (1)由题意可知,所求概率P=. (2)设Ai表示电影票被第i个人摸到,i=1,2,3,则 P(A3)=P()P(|)P(A3|)=××=. 11.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.5,则P(B|A∪B)=　　　　, P(∪|A∪B)=　　　　.  由乘法公式,P(AB)=P(A|B)P(B)=0.5×0.4=0.2, 因此P(B|A)===,又因为B⊂(A∪B),所以B∩(A∪B)=B, 从而P(B|A∪B)====, P(∪|A∪B)=1-P(AB|A∪B)=1-=1-=. 12.设袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,试按:(1)有放回抽样;(2)不放回抽样两种方式摸球三次,每次摸得一球,求第三次才摸得白球的概率. 解:设A={第一次未摸得白球},B={第二次未摸得白球},C={第三次摸得白球}. 则事件“第三次才摸得白球”可表示为ABC. (1)有放回抽样,P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=, ∴P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=××=. (2)无放回抽样, P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=, ∴P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=××=. [C组　素养培优练] 13.已知在10只晶体管中有2只次品,在其中取两次,每次取一只作不放回抽样.求下列事件的概率: (1)两只都是正品; (2)两只都是次品; (3)正品、次品各一只; (4)第二次取出的是次品. 解:设Ai={第i次取正品},i=1,2. (1)两只都是正品,则 P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=. (2)两只都是次品,则 P()=P()P(|)=×=. (3)一只是正品,一只是次品,则 P(A1+A2)=P(A1)P(|A1)+P()P(A2|)=×+×=. (4)第二次取出的是次品,则 P()=P(A1+)=P(A1)P(|A1)+P()P(|)=×+×=. $$