3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

3.3　二项式定理与杨辉三角 第2课时　二项式系数的性质、 杨辉三角和二项式定理的应用 第三章　排列、组合与二项式定理 [学习目标]　1.掌握二项式系数的性质及其应用.　2.了解杨辉三角,并结合二项式系数的性质加以说明.　3.掌握二项式定理的应用. 知识点1　二项式系数的性质 内容索引 知识点2　与杨辉三角有关的问题 课时作业 巩固提升 知识点3　二项式定理的应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　二项式系数的性质 1.+++…+=　　　　.  2.+++…=+++…=　　　　.  即(1)二项展开式的二项式系数的和等于　　　　.  (2)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,且都等于　　　　.  2n 2n-1 2n 2n-1 设(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025·x2 025(x∈R). (1)求a0+a1+a2+…+a2 025的值; (2)求a1+a3+a5+…+a2 025的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 025|的值. [分析]　先观察所求式子与展开式各项的特点,利用赋值法求解. 例1 [解]　(1)令x=1,得 a0+a1+a2+…+a2 025=(-1)2 025=-1.① (2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2 025=32 025.② ①-②得2(a1+a3+…+a2 025)=-1-32 025, ∴a1+a3+a5+…+a2 025=. (3)∵Tr+1=(-2x)r=(-1)r··(2x)r, ∴a2k-1<0(k∈N+),>0(k∈N+). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 025|=a0-a1+a2-a3+…-a2 025=32 025. 1.解决二项式系数和问题思维流程 思维提升 2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差. 1.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6. 跟踪训练 解:(1)令x=0,则a0=-1; 令x=1,得a7+a6+…+a1+a0=27=128,① ∴a1+a2+…+a7=129. (2)令x=-1,得-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,② 由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7, ∴a1+a3+a5+a7=8 256. (3)由①+②得2(a0+a2+a4+a6)=128+(-4)7, ∴a0+a2+a4+a6=-8 128. 知识点2　与杨辉三角有关的问题 杨辉三角的性质 (1)每一行都是　　　　的,且两端的数都是　　　　;  (2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之　　　　.  对称 1 和 如图所示,在“杨辉三角”中斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,….记其前n项和为Sn,求S19的值. [分析]　由题图知,数列中的首项是,第2项是,第3项是,第4项是,…,第17项是,第18项是,第19项是. 例2 [解] S19=(+)+(+)+(+)+…+(+)+=(+++ …+)+(++…++)=(2+3+4+…+10)+=274. 解决“杨辉三角”问题的一般方法 思维提升 2.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　　行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.  跟踪训练 34 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3,它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比,所以∶=2∶3,即=,解得n=34,所以在第34行中,从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 知识点3　二项式定理的应用 (1)用二项式定理证明:1110-1能被100整除; (2)求9192被100除所得的余数. [分析]　(1)1110-1=(1+10)10-1,展开求证便可; (2)9192=(1+90)92,展开求解便可. 例3 (1)[证明]　∵1110-1=(10+1)10-1 =(1010+·109+·108+…+·10+1)-1 =1010+·109+·108+…+·10 =100(108+·107+·106+…+1), ∴1110-1能被100整除. (2)[解]　9192=(100-9)92=·10092-·10091·9+·10090·92-…+992,展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数. ∵992=(10-1)92=·1092-·1091+…+·102-·10+1,前91项能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,∴9192被100除可得余数为81. 1.利用二项式定理可以解决余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系. 2.整除性问题或求余数问题的处理方法: (1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式. (2)用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了. 思维提升 3.求++…+除以9的余数. 解:++…+=227-=89-1=(9-1)9-1=·99-·98+…+·9--1=9(·98-·97+…+)-2=9(·98-·97+…+-1)+7. 显然上式括号内的数是正整数,故++…+除以9的余数为7. 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1.二项式(x-1)n的奇数项二项式系数和是64,则n等于(　　) A.5　　　　　　　　 B.6 C.7 D.8 二项式(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,∴=64,∴n=7. C 2.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A.1 B.-1 C.215 D.315 令x=1即得各项系数和,∴各项系数和为-1. B 3.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3的值为　　　　.  令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.① 又Tk+1=(-3)4-k(2x)k, ∴当k=4时,x4的系数a4=16.② 由①-②得a0+a1+a2+a3=-15. -15 4.如图所示,满足如下条件: ①第n行首尾两数均为n; ②表中的递推关系类似“杨辉三角”. 则第10行的第2个数是　　　　.  46 由题图可知第10行的第2个数为(1+2+3+…+9)+1=46. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x项的系数是(　　) A.5　　　　　　　　　 B.20 C.10 D.40 C 根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n=32,可得n=5, Tr+1=x2(5-r)·x-r=x10-3r, 令10-3r=1,解得r=3, 所以展开式中含x项的系数是=10. 2.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+,则a0+a2+a4+…+等于(　　) A.2n B. C.2n+1 D. D 令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n,① 令x=-1,得1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n,② ①+②得3n+1=2(a0+a2+…+a2n), ∴a0+a2+…+a2n=. 3.在如图所示的杨辉三角中,第11行中的各数的和为(　　) A.26 B.211 C.29 D.210 第11行中各数的和为+++…+=210. D 4.已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则的值为(　　) A. B. C. D. A a==70,设b=2r,则得5≤r≤6,所以b=26=25=26=7×28,所以=. 5.若的展开式中各项系数的和为1,则该展开式中含x3项的系数为　　　　.  -80 因为的展开式中各项系数的和为1, 令x=1,可得(a-1)5=1,解得a=2.即二项式为, 展开式中含x3的项为(2x)4=-24x3=-80x3. 所以展开式中含x3项的系数为-80. 6.若n是正整数,则7n+7n-1+7n-2+…+7除以9的余数是　　　　.  7n+7n-1+7n-2+…+7=(7+1)n-=8n-1=(9-1)n-1=9n(-1)0+9n-1(-1)1+…+90(-1)n-1,∴当n为偶数时,余数为0;当n为奇数时,余数为7. 7或0 7.已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展开式中二项式系数最大的项的系数. 解:由++=37,得1+n+n(n-1)=37,解得n=8.的展开式共有9项,其中T5=(2x)4=x4,该项的二项式系数最大,系数为. [B组　关键能力练] 8.若x+x2+…+xn能被7整除,则x,n的值可能为(　　) A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5 x+x2+…+xn=(1+x)n-1,分别将选项A,B,C,D代入检验知,仅C适合. C 9.(多选)关于下列(a-b)10的说法,正确的是(　 　) A.展开式中的二项式系数之和是1 024 B.展开式的第6项的二项式系数最大 C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 ABD 由二项式系数的性质知+++…+=210=1 024,故A正确;二项式系数最大的项为,是展开式的第6项,故B正确;由展开式的通项为Tk+1=a10-k(-b)k=(-1)ka10-kbk知,第6项的系数-最小,故D正确. 10.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为　　　　.  因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1, 再令x=-1,得 310=a0-a1+a2-a3+…+a10, 两式相减,可得a1+a3+…+a9=. 11.已知多项式(x+2)m(x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+am+nxm+n满足a0=4,a1=16,则m+n=　　　　,a0+a1+a2+…+am+n=　　　　.  5 72 ∵多项式(x+2)m(x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+am+nxm+n满足a0=4,a1=16, ∴令x=0,得a0=2m×1n=4,则m=2, ∴(x+2)2(x+1)n=(x2+4x+4)(x+1)n, ∴a1=41n+41n-1=16, ∴n=3,∴m+n=5.令x=1, 得(1+2)2×(1+1)3=a0+a1+a2+…+a5=72. 12.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律,如图是一个11阶杨辉三角. (1)求第20行中从左到右的第4个数; (2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15,在第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,有这样的结论:第m-1斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m斜列中第k个数. 试用含有m,k(m,k∈N+)的数字公式表示上述结论,并给予证明. 解:(1)=1 140. (2)++…+=. 证明如下: 左边=++…+ =++…+ =…=+ = =右边. [C组　素养培优练] 13.(1)求证32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除; (2)求230-3除以7的余数. (1)证明:-8n-9=(8+1)n+1-8n-9= 8n+1+8n+…+-8n-9 =8n+1+8n+…+82+·8+1-8n-9=8n+1+8n+…+82. 该式每一项都含因式82,故能被64整除. (2)解:230-3=(23)10-3=810-3=(7+1)10-3 =710+79+…+7+-3=7×(79+78+…+)-2. 又∵余数不能为负数(需转化为正数),∴230-3除以7的余数为5. $$