3.3 第1课时 二项式定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 第三章　排列、组合与二项式定理 [学习目标]　1.能用计数原理证明二项式定理.　2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.　3.解决与二项式定理有关的简单问题. 知识点1　二项式定理 内容索引 知识点2　二项式系数与项的系数问题 课时作业 巩固提升 知识点3　求展开式中的特定项 课堂达标·素养提升 3 知识点1　二项式定理 一般地,当n是正整数时,有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn. 上述公式称为二项式定理. (1)等式右边的式子称为(a+b)n的展开式,它共有n+1项. (2)各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. (3)(a+b)n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项公式,记作Tk+1= an-kbk. (1)求二项式的展开式; (2)化简(x-2)5+5(x-2)4+10(x-2)3+10(x-2)2+5(x-2). 例1 [解]　(1)=(3)4+(3)3· +(3)2+(3)+ =81x2-108x+54-+. (2)原式=(x-2)5+(x-2)4+(x-2)3+(x-2)2+(x-2)+(x-2)0-1 =[(x-2)+1]5-1=(x-1)5-1. 运用二项式定理的解题策略 1.正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开. 2.逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 思维提升 1.求的展开式. 跟踪训练 解:法一:=(3)4+ (3)3· +(3)2·+(3)+ =81x2+108x+54++. 法二:= =(81x4+108x3+54x2+12x+1) =81x2+108x+54++. 2.化简:1+2+4+…+2n. 解:原式=1+2+22+…+2n=(1+2)n=3n. 知识点2　二项式系数与项的系数问题 (1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求的展开式中x3的系数. 例2 [解]　(1)由已知得二项展开式的通项为 Tr+1=(2)6-r·=26-r·(-1)r·, ∴T6=-12·. ∴第6项的二项式系数为=6, 第6项的系数为·(-1)5·2=-12. (2)设展开式中的第r+1项为含x3的项,则Tr+1=x9-r·=(-1)r··x9-2r, 令9-2r=3,得r=3, 即展开式中第四项含x3, 其系数为(-1)3·=-84. 1.求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数,主要是利用通项公式求出相应的项,特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别. 2.二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 思维提升 3.求的展开式的第三项的系数和常数项. 解:T3=(x3)3=·x5,所以第三项的系数为·=. 通项Tr+1=(x3=·x15-5r,令15-5r=0,得r=3, 所以常数项为T4=(x3)2=. 跟踪训练 知识点3　求展开式中的特定项 已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162,求: (1)n的值; (2)展开式中含x3的项. 例3 [解]　(1)因为T3=()n-2=4, T2=()n-1=-2, 依题意得4+2=162,所以2+=81, 所以n2=81,n=9. (2)设第r+1项含x3项,则Tr+1=()9-r=(-2)r, 所以=3,r=1, 所以第2项为含x3的项:T2=-2x3=-18x3. 1.求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第r项,Tr=an-r+1br-1; (2)求含xr的项(或xpyq的项); (3)求常数项; (4)求有理项. 思维提升 2.求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项); (2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解; (3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 4.(1)在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是　　　　;  (2)若展开式的常数项为60,则常数a的值为　　　　.  跟踪训练 207 4 (1)x5应是(1+x)10中含x5项、 含x2项分别与1,-x3相乘的结果, ∴其系数为+(-1)=207. (2)的展开式的通项是Tr+1=x6-r·(-)rx-2r=x6-3r(-)r, 令6-3r=0,得r=2,即当r=2时, Tr+1为常数项,即常数项是a, 根据已知得a=60,解得a=4. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在(x-)10的展开式中,含x6的项的系数是(　　) A.-27　　　　 B.27 C.-9 D.9 含x6的项是T5=x6(-)4=9x6,故系数是9. D 2.的展开式中的第4项是(　　) A.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4 T4=x6=84x3. B 3.(1-x)10的展开式中第7项为　　　　.  T7=(-x)6=210x6. 210x6 4.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为　　　　.  (x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2 (-1)2+(x+1)·(-1)3+(-1)4=[(x+1)-1]4=x4. x4 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于(　　) A.(x-1)3　　　　　 B.(x-2)3 C.x3 D.(x+1)3 S=[(x-1)+1]3=x3. C 2.已知的展开式的第4项等于5,则x等于(　　) A. B.- C.7 D.-7 T4=x4=5,则x=-. B 3.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(　　) A.-840 B.840 C.210 D.-210 在通项公式Tk+1=(-y)kx10-k中,令k=4,得x6y4的系数为(-)4=840. B 4.(多选)对于二项式(n∈N+),下列判断正确的有(　　) A.存在n∈N+,展开式中有常数项 B.对任意n∈N+,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N+,展开式中有x的一次项 AD 二项式的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N+)和n=4k-1(k∈N+)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故A,D正确. 5.若二项式(1+2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍,则n=　　　　.  (1+2x)n的展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk,又x3的系数等于x2的系数的4倍,所以23=422,解得n=8. 8 6.若(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　.(用数字作答)  二项展开式的通项为Tk+1=x10-kak,当10-k=7时,k=3,T4=a3x7,则a3=15,解得a=. 7.化简:S=1-2+4-8+…+(-2)n(n∈N+). 解:将S的表达式改写为:S=+(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n=[1+(-2)]n=(-1)n.∴S=(-1)n= 8.在的展开式中,求: (1)第3项的二项式系数及系数; (2)含x2的项. 解:(1)第3项的二项式系数为=15, 又T3=(2)4=24·x, 所以第3项的系数为24=240. (2)Tr+1=(2)6-r=(-1)r26-rx3-r,令3-r=2,得r=1. 所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2. [B组　关键能力练] 9.(3x-2)5的展开式中x2的系数为(　　) A.296 B.-296 C.-1 864 D.-1 376 依题意,所求x2的系数为×32×(-2)3+2×(-2)5-1××33×(-2)2=-720-64-1 080=-1 864. C 10.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.21 ∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+·23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3,∴a2=6. B 11.已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+,n>4),若2a2+=0,则n=　　　　.  (1-x)n的展开式的通项公式为Tk+1=(-x)k,所以ak=(-1)k·(k=0,1,2,…,n).由2a2+an-3=0,当n为偶数时,2(-1)2·+(-1)n-3=0,即2×-=0,所以n-2=6,解得n=8;当n为奇数时,2×+=0,方程无解.故n=8. 8 12.已知在的展开式中,第9项为常数项,则: (1)n的值为　　　　;  (2)含x的整数次幂的项有　　　　个.  10 6 二项展开式的通项为Tk+1=·=(-1)k. (1)因为第9项为常数项,所以当k=8时,2n-k=0,解得n=10. (2)要使20-k为整数,需k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项. 13.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N+). (1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项; (2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值? 解:(1)当m=3,n=4时, f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4. (1+x)3展开式的通项为Tr+1=xr, (1+2x)4展开式的通项为Tk+1=(2x)k, f(x)g(x)的展开式中含x2的项为 1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2. (2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n. ∵h(x)的展开式中含x的项的系数为12, ∴+2=12, 即m+2n=12,所以m=12-2n. ①当n=1,m=10时,含x2项的系数为=45. ②当n≥2,m≤8时,含x2项的系数为+4=+4 =(12-2n)(11-2n)+2n(n-1) =4n2-25n+66=4+,n∈N+, ∴当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值,且最小值为32. 综上,当n=3,m=6时,含x2项的系数取得最小值. [C组　素养培优练] 14.求的展开式的常数项. 解:法一:由二项式定理得==·+··+··()2+··()3+··()4+·()5. 其中为常数项的有: ·中的第3项:··; ··()3中的第2项:··()3; 展开式的最后一项:·()5. 综上可知,常数项为··+··()3+·()5=. 法二:原式==·[(x+)2]5=·(x+)10. 求原式中展开式的常数项,转化为求(x+)10的展开式中含x5的项的系数,即·()5,所以所求的常数项为=. 法三:由二项式定理的原理可知,展开式的常数项为: ()5+()3+()=24+=. $$